38从两道高考试题到等周问题的变式研究

考点十：导数的几何意义【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1fx x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求()f x 的导函数. 【答案】（I ）()()(12121()221x x x e f x x x ----=>-'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3 【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x xe '=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x '=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭ C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B 【解析】由题得()222x x f x e e a'=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令xt e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B.【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C. 3π[,π) 4 D.π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,1【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21 y xx=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x=+【解析】设()y f x=，则()212f x xx-'=，所以()1211f='-=，所以曲线21y xx=+在点()1,2处的切线方程为()211y x-=⨯-，即1y x=+．【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y是曲线()y f x=上的一点，则以P为切点的切线方程是()()000y y f x x x'-=-．若曲线()y f x=在点()()00,P x f x处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x=．【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知()f x为偶函数，当0x<时，()()ln3f x x x=-+，则曲线()y f x=在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x=--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e xf x bx a=-+（a，Rb∈）.若曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，求a，b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x的定义域为R，()()e1ex xf x b bx=+-'()1e xbx b=+-.因为曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，所以()()00,{01,ff'==得10,{11,ab-=-=解得1,{2.ab==（四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy=上“过”点),(nm的切线问题，一般要先设切点),(yx，于是切线为))(('mxxfny-=-，再根据切点在曲线上得)(xfy=，切点在切线上得))(('mxxfny-=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P是函数()()()1ln1f x x x=++图象上的动点，点()1,1A--，则直线AP斜率的取值范围为（）A. [)1,+∞B.[]0,1C.(1,e e-⎤⎦D.(1,e-⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1--，则：()()()()000011ln1ln111x x x x⎡⎤--++=++--⎣⎦，解得：00x=，切线的斜率()ln111k x=++=，综上可得：则直线AP斜率的取值范围为[) 1,+∞.（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a= ． 【答案】8【解析】由11y x '=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】由y=ax2(a>0),得y ′=2ax ，由y=ex,得y ′=ex ，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex 存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，可得2x2=x1+2，∴11212x ea x +=，记()122x ef x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-=，当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)递增.∴当x=2时,()2min4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ . 【数学思想】 无限逼近的极限思想（1）由()()'()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵. （2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【处理导数的几何意义问题注意点】对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x=+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC. 1e D. 0【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e=- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲xy e =相切，符合情况的切线 A. 有0条 B. 有1条 C. 有2条 D. 有3条 【答案】A【解析】函数f(x)= xax e -的导数为f ′(x)=1−1xa ea ，a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l 的斜率为1−1a,切点为(0,−1)，可得切线的方程为y=(1−1a )x −1.假设l 与曲线y=ex 相切,设切点为(x0,y0)，即有e x0=1−1a =(1−1a )x0−1，消去a 得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx −ex −1， 则h ′(x)=exx,令h ′(x)>0，则x>0，所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h(x )→−1,x →+∞,h(x )→+∞， 所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1， 而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()x f x e x=--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l，总存在曲线()32cos g x ax x=+上某点处切线2l，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e <<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D . 4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞B. ()2,0e - C. 21,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1xa x e -=-有两个不同的解，设()1xy x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴，()1xy x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x=-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x ==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________． 【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x =-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得：2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-.故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________．【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=） 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+ 【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos xf x x e ='+，()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为nb ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n nf x nx n x -=-+，则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯，且：()12222n n nf -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222nn y n x -+=--⨯⨯-，令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯，即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________. 【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x =+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-；试题解析：（Ⅰ）()21'a fxx x=-,函数()f x在1x=处的切线平行于直线20x y-=.()112,1f a a∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1lnt xf x e t x-=-（常数0t>）. （Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x=与直线y tx=相切，证明：2t<.【答案】(1)()f x的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x，()'0f x>得增区间，()'0f x<得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，由0011ln t x txx+-=，可得()0001lnxtx x x+=+，()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r<=，即2t<.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，因为()()11t xf x t ex-⎛⎫=-⎝'⎪⎭，所以()()011t xf x t e tx-⎛⎫=-=⎪⎝⎭'，即()111t xex-=+.因为直线y tx=经过切点()()00,x f x，所以()()01000lnt xf x e t x tx-=-=，于是，有0011ln t x txx+-=，即()0001lnxtx x x+=+.令()()111t xh x ex-=--，则()()121t xh x tex-+'=>，故()h x单增，又()110h=-<，11101th et t⎛⎫+=-->⎪+⎝⎭，所以()h x有唯一零点0x，且11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭.再令()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，则()()2223ln1lnx x xr xx x x----=<+'，故()r x单减，所以()()12r x r<=，即2t<.。

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

**教研室推荐高考必做38套（27）数学理**本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13v Sh =，其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，满分40分.每小题给出得四个选项中，只有一项符合题目要求得.1. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞2. i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A.1213B.513C.513- D. 1213-4. 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B53C.- 2 D 3 5. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.356. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+7．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A.13 B.3 C. 23 D. 38. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

课时作业(三十八) 直接证明和间接证明A 级1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x ＜0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ≤b3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥04．若x ，y ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．log 2(1＋2x 2)＞0 B ．x 2＋y 2≥2(x －y －1) C ．x 2＋3xy ＞2y 2D ．x y ＜x ＋1y ＋15．设x 、y 、z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________． 7．若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是____________．8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．9．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．10．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.B 级1．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a与b的等比中项，y是b与c 的等比中项，则x2，b2，y2三数( )A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列2．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)3．已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(a n，a n＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b1＝1，b n＋1＝b n＋2a n，求证：b n·b n＋2＜b2n＋1.详解答案课时作业(三十八)A 级1．B 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．2．A ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b . 3．D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 4．B ∵1＋2x 2≥1，∴log 2(1＋2x 2)≥0，故A 不正确；x 2＋y 2－2(x －y －1)＝(x －1)2＋(y ＋1)2≥0，故B 正确；令x ＝0，y ＝1，则x 2＋3xy ＜2y 2，故C 不正确；令x ＝3，y ＝2，则32＞3＋12＋1，故D 不正确．5．C 假设a 、b 、c 都小于2， 则a ＋b ＋c ＜6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2.6．解析： a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b .答案： a ＜b7．解析： ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b8．解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．答案： a ，b ，c ，d 全是负数9．解析： 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1＜c n . 答案： c n ＋1＜c n10．证明： 要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc . 即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0.∴ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．11．证明： 假设∠B ＜90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角，∴b 是△ABC 的最大边，即b ＞a ，b ＞c .∴1a ＞1b ，1c ＞1b ，相加得1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b，这与1a ＋1c ＝2b矛盾．故∠B ≥90°不成立．因此∠B ＜90°.B 级1．B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b，c ＝y2b .代入①得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．2．解析： 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案： ③3．解析： (1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n·b n＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n＝－2n＜0，所以b n·b n＋2＜b2n＋1.。

培优点03同构函数问题（2大考点+强化训练）同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大．【知识导图】【考点分析】考点一：双变量同构问题规律方法含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．【例1】已知函数op=l+B2−3.y=-，求函数op的极小值；(1)若函数op的图像在点1,1处的切线方程为2(2)若=1，对于任意1,2∈[1,5]，当1<2时，不等式1−2>12的取值范围．【变式1】设函数=2−+l >0．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两个极值点1，212>4−12．【变式2】已知函数=e ln 1+．(1)求曲线=在点0,0处的切线方程；(2)设='，讨论函数在[0,+∞)上的单调性；(3)证明：对任意的s ∈0,+∞，有+>+．考点二：指对同构问题规律方法指对同构的常用形式(1)积型：a e a≤b ln b ，一般有三种同构方式：①同左构造形式：a e a≤ln b eln b，构造函数f (x )＝x e x；②同右构造形式：e aln e a≤b ln b ，构造函数f (x )＝x ln x ；③取对构造形式：a ＋ln a ≤ln b ＋ln (ln b )(b >1)，构造函数f (x )＝x ＋ln x .(2)商型：e a a ≤bln b ，一般有三种同构方式：①同左构造形式：e a a ≤e ln b ln b ，构造函数f (x )＝e xx；②同右构造形式：e a ln e a ≤b ln b ，构造函数f (x )＝xln x；③取对构造形式：a －ln a ≤ln b －ln(ln b )(b >1)，构造函数f (x )＝x －ln x .(3)和、差型：e a±a >b ±ln b ，一般有两种同构方式：①同左构造形式：e a ±a >e ln b ±ln b ，构造函数f (x )＝e x ±x ；②同右构造形式：e a ±ln e a >b ±ln b ，构造函数f (x )＝x ±ln x .考向1：指对同构与恒成立问题【例2】若不等式e(m －1)x＋3mx e x ≥3e x ln x ＋7x e x对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________.【变式1】设实数0m >，若对任意的(1,)x ∈+∞，不等式220mx lnxe m- 恒成立，则实数m 的取值范围是()A．1[2e，)+∞B．1[2，)+∞C．[1，)+∞D．[e ，)+∞【变式2】已知0a <，不等式10a x x e alnx ++ 对任意的实数2x >恒成立，则实数a 的最小值为()A．2e-B．e-C．1e-D．12e-考向2指对同构与证明不等式【例3】已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R ).当x ＞y ＞e－1时，求证：e xln(y ＋1)＞e yln(x ＋1).【变式】.已知函数f (x )＝x －ln x ，(1)求函数f (x )的单调性；(2)当x ＞1e ，证明：e x＋ln x ＋1x≥e＋1；(3)若不等式x ＋a ln x ＋1ex ≥x a对x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的最小值.【强化训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xa f x x a x=+，()2g x x x =-+，当()0,x ∈+∞时，()()f xg x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C．[)1,+∞D．[)e,+∞2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=，若()()21212ln ,f x t g x t =+=，则122ln tx x x -的最大值为（）A．12eB．1eC．12e D．e3．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数a ，b 满足22ln ()en a b ba<，则正整数n 的最大值为（）A．7B．8C．5D．114．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数M 、N 满足ln 1xM xe x x ≤---，2ln x e N x x x-≤+-在()0,x ∈+∞上均恒成立，记M 、N 的最大值分别为a 、b ，那么A．2a b =+B．1a b =+C．a b=D．1a b =-5．(2023·南宁模拟)已知α，β∈R ，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知x ∈N ，y ∈N ，x <y ，则方程x y＝y x的解的组数为()A．0B．1C．2D．无穷多个7．若2a＋log 2a ＝4b＋2log 4b ，则()A．a >2b B．a <2b C．a >b 2D．a <b 28．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a <b ln b ，则()A．ab >e B．b >e aC．ab <eD．b <ea9.(2023·大连模拟)若实数a ，b 满足4a＋log 3a ＝8b＋3log 27b ，则()A．a <3b 2B．a >3b 2C．a >b3D．a <b310.若对于0<x 1<x 2<a ，都有x 2ln x 1－x 1ln x 2≤x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B．1C．e D．2e11.(2023·德阳模拟)已知实数x ，y 满足e yln x ＝y e x，y >1，则x ，y 的大小关系为()A．y ≥x B．y <x C．y >x D．y ≤x二、多选题12.已知0<x <y <π，且e y sin x ＝e xsin y ，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是()A．y <π4B．x <π4C．cos x ＋cos y >0D．sin x >sin y13.已知a >b >1，若e a －2a ＝a e b ＋1－b e a ，则()A．ln(a －b )<0B．ln(a ＋b )>1C．3a＋3－b>23D．3a －1<3b三、填空题14．若f (x )＝x e x－a (x ＋ln x )有两个零点，则实数a 的取值范围是________．15．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式1ln m x x m x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的最小值为__________.四、解答题16.已知函数f (x )＝e x＋(1－a )x －ln ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若对于任意的x >0，有f (x )≥0，求正数a 的取值范围．17.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的最小值；(2)当x >2时，证明：x x －1e x>ln(x －1)．18.已知a >0，函数f (x )＝x e x－ax .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥ln x －x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．19．(2023·邵阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋1－a x ＋1，g (x )＝ln x x＋2.(1)讨论函数g (x )在定义域内的单调性；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．20．(2023·潍坊模拟)已知函数f (x )＝e x －1ln x ，g (x )＝x 2－x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(0,2)时，f (x )≤g (x )．21．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数()e x ax f x =和()ln xg x ax=有相同的最大值b .(1)求,a b ；(2)证明：存在直线y m =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.22．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a 的方程6a ae e =和关于b 的方程31(ln 2)(,)b b e a b R λ--=∈可化为同构方程.（1）求ab 的值；（2）已知函数1()(ln )3f x x x λ=+.若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =相交于11(,)A x y ，2212(,)()B x y x x <两点，求证：.121x x k<<23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 11f x x x =+-+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()e ln xg x a x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．24．（2023·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()l ln f x ax x =-和()ln b xg x x=有相同的最大值，并且e ab =.(1)求,a b ；(2)证明：存在直线y k =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.26．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数()e mx xf x =和()()ln mxg x x=有相同的最大值.(1)求实数m 的值；(2)证明：存在直线y n =，其与两曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.27．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数()()ln 22f x x x =+-+，()e ln xg x a x a =-+.(1)求函数()f x 的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；②若关于x 的方程()()f x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围.28．已知函数21()x f x e x=-．（1）讨论函数()f x 的零点的个数；（2）证明：220x xe lnx x ---．29．已知函数()1()f x ax lnx a R =--∈．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx - 恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：(1)(1)x y ln x e ln y -+>+．30．已知函数()2(1)sin 1f x ln x x =+++，函数()1(g x ax blnx a =--，b R ∈，0)ab ≠．（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x 时，()31f x x + ．（3）证明：当1x >-时，2sin ()(22)x f x x x e <++．。

课时作业(三十八)第38讲直接证明与间接证明基础热身1.[2017·莱芜一中模拟]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0没有实数根”时,应假设()A.方程x2+ax+b=0至多有一个实根B.方程x2+ax+b=0至少有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1≤C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.[2017·南昌二模]已知等差数列的前n项和为S n,若S2k+1>0,则一定有()A.a k>0B.S k>0C.a k+1>0D.S k+1>04.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设≥1.其中正确说法的序号是.能力提升5.[2017·大连模拟]“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是()A.男护士B.女护士C.男医生D.女医生6.[2017·福建师大附中一模]若O为△ABC平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为()A.钝角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形7.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sin C,N=cos A+2cos B,则()A.M<NB.M=NC.M>ND.M,N大小不确定8.[2017·武汉模拟]已知f=,a≠b,则|f-f|与|a-b|的大小关系为()A.>B.<C.=D.不确定9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是(填序号).①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于60°;④假设三个角至多有两个大于60°.难点突破10.(5分)[2017·山西运城调研]在△ABC中,AC=5,+-=0,则BC+AB=()A.6B.7C.8D.911.(5分)[2017·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是 ()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数图K38-1课时作业(三十八)1.B[解析] 没有实根的反面为至少有一个实根,故选B.2.D[解析] 由题意,将不等式左边因式分解即可,故选D.3.C[解析] 由等差数列的前n项和公式得S2k+1==(2k+1)a k+1>0,故选C.4.②[解析] ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2 的否定应为p+q>2,故①错误.②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1,根据反证法的定义,可假设≥1,故②正确.5.A[解析] 设女护士、男护士、女医生、男医生人数分别为a,b,c,d,则有:①a+b≥c+d;②d>a;③a>b;④c≥1.所以d>a>b>c≥1.易知只有a=4,b=3,d=5,c=1时符合要求.又a,b,c,d 中只有b减1后仍符合要求,故说话人是男护士.故选A.6.B[解析] 由题意可得·(+)=0,即(-)·(+)=0,据此有=,即△ABC为等腰三角形,故选B.7.C[解析] 因为A,B,C∈0,,所以A+B>,则sin A>sin-B,即sin A>cos B①,同理sin B>sin-A⇒sin B>cos A②,sin C>sin-B⇒sin C>cos B③,将不等式①②③两边相加可得M>N,故选C.8.B[解析] |f-f|=|-|==<≤=|a-b|,所以|f-f|<|a-b|,故选B.9.②[解析] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”,故答案为②.10.B[解析] 分别作∠ABC,∠BCA,∠CAB的平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.设AF=m,BF=n,OD=OE=OF=r,则AE=m,BD=n.∵AC=5,∴CE=CD=5-m.在Rt△AOF中,tan∠BAO=,∴=,同理:=,=.∵+-=0,∴+-=0,∴n=1,∴AB+BC=m+n+n+5-m=2n+5=7,故选B.11.A[解析] 根据题意知(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=T1+T2+T3+T4,所以T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.。