难点2-12 推理与新定义问题教学案-备战2018高考高三二轮文数一本过新课标版 含解析 精品

一．考场传真1. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D2．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 3．【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A4．【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee --+=+，则()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a = .故选C.6．【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞.设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥.因为()()10,0g g x =≥，因()'10g =，而()()1','11g x a g a x=-=-，得1a =. 若1a =，则()1'1g x x=-.当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=，综上，1a =. （2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--.设()22ln h x x x =--，则()1'2h x x =-.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x < ；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x > ， 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 单调递增.又()20h e ->，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h = ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 有唯一零点0x ，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有唯一零点1，且当()00,x x ∈ 时，()0h x > ；当()0,1x x ∈ 时，()0h x < ，当()1,x ∈+∞ 时， ()0h x >.因为()()'f x h x = ，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点.由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈ 得 ()014f x <. 因为0x x =是()f x 在（0,1）的最大值点，由()10,1e -∈，()1'0f e -≠ 得()()120f x f e e -->=.所以()2202ef x --<<.8．【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求1．函数：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用：（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用：（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：法则1 .法则2 .法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.2.命题规律高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合.导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.3．学法导航1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.一．基础知识整合 基础知识： 1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其周期T ＝ka (k ∈Z )．3．函数的零点与方程的根：(1)函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.4．导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．5．函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x.6．函数的导数与极值： 对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．7．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 8．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰二．高频考点突破考点1 函数的定义及其表示【例1】函数()f x =+ ）A ．[0 )+∞，B ．( 2]-∞， C. []0 2， D ．[0 2)， 【分析】()f x 的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围. 【答案】D()f x [0 2)，，故选D. 【例2】【2018陕西西安长安区质检】已知(),0{ ,0x lgx x f x a b x ->=+≤且()()02,14f f =-=，则()()2f f -= A. -1 B. 2 C. 3 D. -3【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.． 【答案】A【例3】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()3121f x x x =-- B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =--- 【分析】本题紧扣图像，可排除不符合图像的选择支，从而可得答案． 【答案】A 【解析】12x ≠，排除C 选项；0,0x y =<，排除D 选项；100,0x y =->，排除B ，故选A ． 【规律方法】1、求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数；②()f x 是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③()f x 为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若()f x 是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数(())f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 2、函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. 利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 3、分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． (3)分类讨论时要遵循分类的原则． 4、求函数的解析式的常用方法：（1）.代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.（2）.待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.（3）.拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用x 代替即可.（4）.换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用x 代替()f t 解析式中所有的t 即可.（5）.方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的x ，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .（6）.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.（7）.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． （8）.应用题求解析式可用待定系数法求解．注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 【举一反三】1.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x 都有()21213x f f x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则2(log 3)f =（ ） A ．1 B ．45 C.12D ．0 【答案】C2. 【2018湖南株洲两校联考】已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则()abf c 的范围为__． 【答案】（1，2）【解析】作函数()2,02{ 2,22log x x f x x x x<<=+≥的图象如下：0a b c ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()21122c f c c c +==+，()112f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，考点2 函数的图象【例4】函数()()21616log x xf x x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】识图时应从函数性质方面（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），函数的极值或者特殊点考虑. 【答案】A【规律方法】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．(3)作图、识图、用图技巧(a )作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(b )识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(c )用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 【举一反三】【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦考点3 函数的性质【例5】【2018辽宁两校联考】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时，，则的值为（ ）A. -1,B. 0C. 1D. 不能确定【分析】利用奇偶性和周期性，结合函数求值即可解出． 【答案】C【解析】定义在上的奇函数的图象是关于直线对称，，,即故函数的周期为，，则，故选【例6】可导函数()f x 的导函数为()g x ，且满足：①()101g x x ->-；②()()222f x f x x --=-，记()21a f =-，()1b f ππ=-+，()12c f =-+则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. b c a >> D ．b a c >> 【分析】本题利用函数的单调性.比较,,a b c 的大小,想到利用函数的单调性,由()1b fππ=-+和()101g x x ->-想到构造函数()()1h x f x x =-+,求导,根据()101g x x ->-利用积商符号法则判断函数()()1h x f x x =-+的单调性,并对()12c f =-+根据()()222f x f x x --=-进行等价变形为(3)31c f =-+,根据函数的单调性即可得出,,a b c 的大小.【答案】C【规律方法】1．函数的单调性：（1）判断函数的单调性应先求定义域；（2）用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；（3）用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．(4)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（5）单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意一是函数定义域的限制，二是函数单调性的判定，三是等价转化思想与数形结合思想的运用．如若已知()f x 为偶函数且在[)0,+∞内单调递增，那么对于形如()()f m f n >的不等式中,m n 符号不确定，可转化为()()()()f m f n fm f n m n >⇔>⇔>，可避免分类讨论．2．函数的周期性：（1）判断函数的周期只需证明()()()0f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k Z ∈且0)k ≠ 也是函数的周期．2．函数的奇偶性：（1）判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x 是否有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，必要时，可对上式作变形处理：f (－x )±f (x )＝0.（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． 【举一反三】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．() C. ()),0-∞⋃+∞ D ．(),-∞⋃+∞【答案】A考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例7】【2018湖南株洲两校联考】设函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足条件：存在 [a ，b ]⊆D （a ＜b ），使f （x ）在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数()()24x f x log t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 1,4∞⎛⎫+⎪⎝⎭ B. ()0,1 C. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解. 【答案】D【解析】()()24xf x log t =+为增函数，存在[](),a b D a b ⊆<,使()f x 在[],a b 上的值域也为[],a b ，则()()22log 4{log 4a bt a t b+=+=，即42{42aab bt t +=+=，,a b ∴是方程420x x t -+=的两个不等的根，设2x m =，20m m t ∴-+=有两个不等的实根，且两根都大于0，140{t t =->∴>，解得104t <<，故答案选D 【例8】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【分析】（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，利用得151x +>求解．（2）转化得到()()24510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况．（3）讨论()f x 在()0,+∞上单调递减．确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．【规律方法】1.对数函数的定义域为{}0x x >，指数函数的值域{}0y y >.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】【2018河南漯河三模】已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a 值变化 【答案】A【解析】不妨设1a ＞ ，则令10a f x log x b =-=（）＞ ，则1a log x b -= 或1a log x b -=- ；故12341111b b b b x a x a x a x a --=-+=-+=+=+，，，，故22142311211211b bx x a x x a -+=+=--，； 2222212341111222221111b b b b b a x x x x a a a a -+++=+=+=----故，故选A ． 考点5 函数的零点【例9】【2018南宁摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【分析】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数.如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围.【答案】D【规律方法】1．求()f x 的零点值时，直接令()0f x =解方程，当()f x 为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知()f x 在区间[,]a b 上单调且有零点时，利用()()0f a f b <讨论；3．求()f x 的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数()y f x =与()y g x =的图象交点个数，即方程()()f x g x =的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．【举一反三】设12,x x 是函数()ln 2(f x x m m =--为常数）的两个零点，则12x x +的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．4- D ．与常数m 有关 【答案】A考点6 函数模型及其应用【例10】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. （1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以1PO 为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用1PO 分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，()()32636,063V V V h h h =+=-<<锥柱，最后利用导数求其最值【规律方法】1．给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等．2．实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决． 【举一反三】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了()*n n N ∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 【答案】B【解析】盈利总额为21341219(2(1)3)9222n n n n n n --+⨯-⨯=-+-，由于对称轴为416n =，所以当7n =时，取最大值，选B.考点7 导数的运算及其几何意义【例11】【陕西省吴起中学2018届期中】已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的方程为（ ）A. 240x y +-=B. 240x y ++=C. 440x y +-=D. 440x y ++=【分析】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 【答案】D【规律方法】导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0； (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【举一反三】已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（ ）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =-+D ．23y x =-- 【答案】B【解析】设0>x ，则0<-x ，∵()f x 为奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，∴()()[]2ln 2ln -+=+---=--=x x x x x x x f x f ，∴()2ln +='x x f ，∴()21='f 且()11-=f ，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程是23y x =-．故选B ．考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例12】【四川省内江市2018届第一次模拟】当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是A. [)()0,11,⋃+∞B. ()0,+∞C. (](),01,-∞⋃+∞ D. ()(),11,-∞⋃+∞【分析】在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量的取值范围 【答案】A【例13】已知函数()ln xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）在点1x =处取极值.（1）求k 的值及函数()f x 的单调区间； （2）设()()'g x xfx =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1g x e -<+.【分析】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数k 函数解析式()ln xx kf x e+=为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.【解析】（1）由()ln x x k f x e +=可得()'1ln xk xx f x e --=.而()'10f =，即10k e -=，解得1k =；()'11ln xxx f x e--=，令()'0f x =可得1x =，当01x <<时，()'11ln 0f x x x =-->；当1x >时，()'11ln 0f x x x=--<.于是()f x 在区间()0,1内为增函数；在()1,+∞内为减函数.。

函数、方程、不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.因此，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，处理好此类题目也是高考获取高分的关键.【类型一】函数性质与不等式【概要】1.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．奇偶性主要转化方向是f(－x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)＝f(x ＋a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．2. (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【题型示例】例1【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（ ）A. 若13M =，则3N =B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N =【答案】C在12b a =-=，时与题意相符，故选C例2【2018届浙江省台州市高三上学期期末】当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是A. []4,8-B. []2,8-C. []0,6D. []4,12【答案】A【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系， 属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【类型二】函数方程与不等式【概要】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解．【题型示例】例3【2017届浙江省杭州市第二中学高三5月仿真考】已知函数()()2log 02{ 424x x f x f x x <≤=-<<，设方程()()1x f x t t R e-=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ） A. 1212x x += B. 1214x x << C. 3449x x << D. ()()340444x x <--< 【答案】C点睛：函数的交点（零点）问题，一般采取图象法解题，本题画出两个图象，得到交点情况，再结合图象的单调性，可以得到()34344150x x x x -++>，根据基本不等式的关系，解得3449x x <<.本题考查了数形结合思想的应用及函数的零点与函数的图象的关系的应用，同时考查了基本不等式的应用.例4【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数()()21ln ,2f x x g x ax bx ==+. （1）当12a b ==，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）当0,1a b ==-时，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点，求正数m 的值.试题分析：（1）求导()()()212x x h x x -+-'=，易知：函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.（2）()2222x mx m H x x--'=，对m 进行分类讨论，得到函数()H x 的最小值，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点即函数()H x 的最小值为零.点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【类型三】函数、方程、不等式相结合【概要】1.解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解，注意结合具体函数，应用数形结合思想．2.一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．【题型示例】例5【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.例6【2018届天津市部分区高三上学期期末】已知函数()2,0{ 115,024x x f x a x x >=+-≤，函数()2g x x =，若函数()()y f x g x =-有4个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】155,2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：15 5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭点睛：根据函数零点的个数（方程根的个数）参数取值范围的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合，结合两函数图象的相对位置关系，转化为不等式的问题求解．【名师点睛】综合上面三种类型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后再研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.。

平面向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.因此，高考命题注重在知识点交汇处命题，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路一是代数法，即建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值；二是几何法，向量兼顾“数”与“形”的双重身份，利用数形结合思想、转化与化归思想求解．【类型一】与平面向量的模有关的综合问题【概要】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错． 【题型示例】例1【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】例2【2018浙江镇海中学模拟】在平面内， 6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ， M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是()A. 3B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】由6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=， 得()()()0,0,0AB AC BC BCBA CA AC AB CB ⋅+=+=+=.所以ABC 是等边三角形，设ABC 的边长为x ，则226062x AB AC x cos ⋅=︒==，得x =【类型二】与平面向量夹角有关的范围问题【概要】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【题型示例】例3.已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________.【答案】例4.非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3π 【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b+=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤11cos ,22a b a b a b a b⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π.【类型三】与平面向量投影有关的综合问题【概要】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，灵活应用三角函数、不等式、导数等知识求解． 【题型示例】例5【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性】设1e ， 2e 为单位向量，其中122a e e =+， 2b e =，且a 在b 上的投影为2，则a b ⋅=________， 1e 与2e 的夹角为______． 【答案】 23π【解析】()2122122122222cos 1221e e e e e e a b e e a b b e θ+⋅⋅+⋅===⋅+=⇒⋅=;设1e 与2e 夹角为θ，则()2122122122222cos 121e e e e e e a b e e b e θ+⋅⋅+⋅===⋅+=，解得1cos 2θ=，所以3πθ=．故填3π例6【2018福建省闽侯第六中学模拟】设1,2,0,OA OB OA OB OP OA OB λμ==⋅==+， 且1λμ+=， 则OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）A. ⎛⎤⎥ ⎝⎦B.⎤⎥⎝⎦C. ⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D法2：不妨设O 为坐标原点， ()0,1A ， ()2,0B ，则()2,P u λ，也就是()()21,P λλ-.而OA 在OP 上【类型四】与平面向量数量积有关的最值问题【概要】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍 加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【题型示例】例7【2018广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形AOB 中， 23AOB π∠=， P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥， ,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A.2B. C. 1 D.【答案】C例8【2018浙江省名校协作体】已知扇形AOB 半径为1， 60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(),OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是__； ·PA PB 最小值是__；【答案】32-【解析】以OB 为x 轴，过O 做OB 的垂线作y 轴，建立平面直角坐标系，O(0,0)，B(1,0),A(1,22),()cos ,sin 0,6P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()1cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以cos ,sin22λθμθλ=+=， sin cos 3λμθθ+=+ 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3≤.332πππθ≤+≤.·PA PB =()13cos sin 1cos ,sin 223πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32≥-填 (2). 332- 【类型五】平面向量系数的取值范围问题【概要】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、导数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.【题型示例】例9【2017届北京市丰台区高三5月二模】已知O 为ABC 的外心，且BO BA BC λμ=+. ①若90C ︒∠=，则λμ+=_______；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为_______． 【答案】12 23例10【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形ABCD 中， 12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45，设点P ， ）， ∵AP AB AD λμ=+，， ）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），， 2=2μ，∴λ+μ（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【类型六】平面向量与几何图形的综合问题【概要】对于平面向量应用问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示或构造出要题中给定的条件，再利用几何意义或转换为坐标运算进行求解.尤其要与平面几何结合考虑，本题较好的考查考生转化与化归思想、坐标运算的引入为向量提供了数形转化的基础，将数与形紧密结合起来． 【题型示例】例11【2018届高三南京市联合体学校调研】已知,A B 为直线l ： y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ， 使2210PA PB +=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________【答案】22⎡-⎢⎣⎦例12【2018届江苏省南通市高三上学期第一次调研】如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =， 1AD =.点P ，Q 分别在边BC ， CD 上，且45PAQ ︒∠=，则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4例13【2018北京市东城区东直门中学】如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是__________．【答案】【解析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，①若在上，设，，则，．∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．②若在上，设，，则，．∴．∵，∴．当或，有一解，当时有两解．【名师点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.。

【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题推理与证明、算法、复数一、选择题1．【2018湖北八校联考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3,4则输出v的值为（）A. 399B. 100C. 25D. 6【答案】B点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题；对于循环结构的程序框图，当循环次数较少时，逐一写出循环过程，当循环次数较多时，寻找其规律尤其是循环的终止条件一定要仔细斟酌.2．【2018湖南湘东五校联考】程序框图如下图所示，当时，输出的的值为A. 23B. 24C. 25D. 26【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算的值，∵，退出循环的条件为S⩾A，当k=24时,满足条件，故输出k=24，故选：B.3．【2018黑龙江齐齐哈尔三模】《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n （）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D4．【2018陕西西安长安区联考】执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为A. 16B. 256C.D.【答案】D5．【2018华大新高考联盟质检】我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想.如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 19B. 31C. 51D. 63 【答案】C【解析】按照程序框图执行，依次为0,1,3,3,3,19,51，故输出.故选C.6．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中可填（ ）A. 4?k ≤B. 3?k ≥C. 3?k ≤D. 4?k > 【答案】B7．【2018江西宜春六校联考】执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】DD 项：当t 等于7时， 2345678sin sinsin sin sin sin sin sin 33333333S ππππππππ=++++++++=故D 项不符合题意点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．【2018山西两校联考】如图所示的程序框图中，输出的S 的值是（ ）A. 80B. 100C. 120D. 140 【答案】C9．【2018广西南宁八中联考】执行如图的程序框图，输出的值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 【答案】D【解析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求的值，由于，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．【2018贵州黔东南州联考】执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 2B. -1C. 1D. 0 【答案】C11．【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】秦九昭是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求多项式的一个实例．若输入5n =， n a n =， 2x =，则输出的v 的值为（ ）A. 31B. 64C. 129D. 258 【答案】C【解析】输入5n =， n a n =， 2x =，运行程序55,4,v a i === 满足0i >，输入44a =， 52414v =⨯+=， 3i = ，满足0i >，输入33a =，142331v =⨯+=， 2i = ，满足0i >，输入22a =， 312264v =⨯+=， 1i =，满足0i >，输入11a =， 6421129v =⨯+=， 0i =，不满足0i >，输出129v =，选C.12．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知复数()i 43i z =-，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 34i - B. 34i -+ C. 43i - D. 43i -- 【答案】A13．【2018湖北咸宁重点高中联考】若复数z 满足121ii z+=-，则z 等于（ ） A. 3122i + B. 3122i - C. 1322i -+ D. 1322i --【答案】C 【解析】121ii z+=- ()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i ++++++-+∴=====-+--+- 故选C14．【2018湖南五市十校联考】已知i 是虚数单位，复数952ii+的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】复数()95255122241i i i ii i i -===++++，共轭复数为12i -，在复平面上所对应的点为(1,-2)位于第四象限. 故选D.15．【2018衡水联考】已知i 为虚数单位，则下列各式计算错误的是（ ）A. 2017i i =B. ()11i i i +=-+C. 11ii i+=-- D. 2i +=【答案】C【解析】201750441i i i ⨯+==， ()11i i i +=-+， ()()()()1112i 1112i i i ii i i +++===--+， 2i +==故选：C16．【2018河南中原名校质检】复数11bii+-的实部与虚部相等，则实数b 的值为（ ） A. 0 B. 17 C. 17- D. 1- 【答案】A点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 17．【2018吉林乾安七中三模】设复数z 满足i 2i 2i z =++，则z =（ ）A. 3B.C. 9D. 10【答案】A【解析】由题意可得2i +=23z i ==，选A 。

立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1 立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例１【河南省中原名校2018届第五次联考】如图甲，在四边形ABCD 中， 2AD CD ==， ABC ∆是边长为4的正三角形，把ABC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得平面PAC ⊥平面ACD ，如图乙所示，点,,O M N 分别为棱,,AC PA AD 的中点．（1）求证： AD ⊥平面PON ；（2）求三棱锥M ANO -的体积．思路分析：（1）在正三角形APC ∆中可得PO AC ⊥，有根据题意得到PO ⊥平面ACD ，从而得PO AD ⊥，计算可得AD CD ⊥．由,O N 分别为棱,AC AD 的中点，得到//ON CD ，故ON AD ⊥．根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PON ．（2）由条件得ACD S ∆=，故142NAO ACD S S ∆∆==，又可得点M 到平面ANO 的距离为1h 2OP ==，故可求得三棱锥M ANO -的体积．点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在． 2 立体几何中的最值问题 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2【宁夏育才中学2018届第三次月考】一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为__________． 【答案】53【解析】设大正四面体的内切球半径为r ，则2211114553232r ⨯⨯⨯=⨯得12r =.设小正四面体棱长的最大值为x ，内切球为小正四面体的外接球，则22233r x x r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222123312x x ⎛⎛⎫⎛=+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得53x =.点评：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等．3 立体几何中的探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例3【江西省2018届1月联考】如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去一部分而成， D 是1AA 的中点.（1）若1AD AC ==， AD ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，求点C 到面11B C D 的距离；（2）若E 为AB 的中点， F 在1CC 上，且1CC CFλ=，问λ为何值时，直线//EF 平面11BC D ？思路分析：（1）由BC CD ⊥， 1CD C D ⊥，可得CD ⊥面11DC B ，即点C 到面11B C D 的距离等于CD ；（2）当4λ=时，直线//EF 平面11BC D ，理由如下：取1DB 的中点H ，连接EH ，可得1////AD EH CC ，当132C F EH ==时，四边形1C FEH 为平行四边形，即EF HC .点评：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明了充分性综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛．折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决．解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．。

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．若a 、b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1【解析】 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 【答案】 B2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【解析】 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．【答案】 D3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0 【解析】 由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0 ⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0. 【答案】 C4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定 【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7 ＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，∴P <Q . 【答案】 C5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2， 则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 【答案】 C6．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________________________________________________________．【解析】 “至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．【答案】 a ，b 中没有一个能被5整除7．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的序号是________．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0且a b＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立．【答案】 ①③④8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，329．已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 【证明】 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0，a ＋b ＞0，2a ＋b ＞0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知四棱锥S ­ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1. (1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2， ∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾， ∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b， 又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .【答案】 A12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 【答案】 D13．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 【答案】 c n ＋1＜c n14．(2016·江苏)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 【解析】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明 因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1＞0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)＜3k.因此，S T ＜a k ＋1. (3)证明 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D .③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E ＜a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E ＜a k ＋1＝3k，所以l －1＜k ，即l ≤k .又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .15．(2015·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1，2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 【解析】 (1)6，12，24.(2)证明 因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．。

（一）选择题（12*5=60分）1．已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5 B．3 C.9 D ．14 【答案】D【解析】设1122 (x,y) (,) (x ,y )Q T x y S ，，，12 QA QA ，斜率为12,k k ，则,OT OS 斜率为12,k k ，且 212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT +=2222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++，选D.3．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，则22m n =（ ） A ．8 B ．2 C ．18 D ．25【答案】A【解析】由椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，得22223253n m n m +=-， 即228n m =，则822=nm ，故选A.4．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F 的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2- 【答案】B5．若m ，n 满足210m n +-=，则直线30mx y n ++=过定点（ ）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】210,21m n m n +-=∴+=，30,()30mx y n mx n y ++=∴++=,当12x =时,1122m n +=， 113,26y y ∴=-∴=-,故直线过定点11(,)26-.故选B.6．已知P 是双曲线1322=-y x 上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为B A ,，则⋅的值是（ ）A ．83-B ．163C ．83- D ．不能确定 【答案】A7．以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线20x +=相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是A. ()0,2B. （2，0）C. （4，0）D. ()0,4 【答案】B【解析】∵抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∴由题可知动圆的圆心在y 2=8x 上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），故选B ．8．【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A. 48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B. 24,99⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,0 D ． ()9,0 【答案】A【解析】设()92,P m m - ，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则,OA PA OB PB ⊥⊥ ，AB 是以OP 为直径的圆D 与圆C 的公共弦，求得圆D 的方程为()22229292224m m m m x y -+-⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又知圆C 的方程为224x y += ②，②-①可得公共弦AB 所在直线的方程为()()2490m x y x -+-= ，令20{ 490x y x -=-= 可得49{89x y ==，所以直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 9．已知直线12y x =与双曲线22194x y -=交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 存在时，PA PB k k ⋅= ．【答案】9410．【江苏省如皋市2018届教学质调（三）】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆()222:616O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ，CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为_______. 【答案】1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】34AB CD =总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是63,84=∴点M 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为0x =，可设()00,M y ，设直线l 的方程为0y kx y =+，因为34AB CD =，所以91616=-，解得0187y =或018y =-（此时点M 在圆2O 外，舍去），故答案为1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11．【江苏省泰州中学2018届12月月考】已知点()30A -，和圆O ： 229x y +=， AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点， P （异于A ， B ）是圆O 上的动点， PD AB ⊥于D ， PE EDλ=（0λ>），直线PA 与BE 交于C ，则当λ=__________时， CM CN +为定值． 【答案】1812．已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切. （1）若直线225l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求MN ；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交圆O 于,B C 两点，且12,-3k k =，试证明直线BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的距离3d r ===，所以圆229O x y +=：.又圆心O 到直线:25l y x =-+的距离1d ==，所以4MN ==.（2）易知()30A -，,设()()1122,,,B x y C x y ，则直线()1:3AB y k x =+，由()2223{9y k x x y =++=，得()222211116990k x k x k +++-=，所以211219931k x k --=+，即21121331k x k -+=+，所以2112211336,11k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.由123k k =-得213k k =-，将13k -代替上面的1k ，同理可得211221132718,99k k C k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以11111222111221161819433327319BCk k k k k k k k k k k +++==----++，从而直线21112221116433:131k k k BC y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+-+⎝⎭.即()22111222111433933121k k k y x k k k ⎛⎫-- ⎪=-+ ⎪-++⎝⎭，化简得1214332k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过一定点，该定点为3,02-（）.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>M40y ++=的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.()()1212221621641,1414k k k k x x x x kk+++==++，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）.14.如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =l 的方程；（3）()BM BN BP +⋅是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．||AQ =1=，得34k =，∴直线l 的方程为3460x y -+=，∴所求直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BQ ⋅=，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2()BA AQ BP =+⋅2BA BP =⋅， 当直线l 与x 轴垂直时，得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅210BA BP =⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，由(2),270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，解得475(,)1212k k P k k ---++，∴55(,)1212kBP k k --=++，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅ 2BA BP =⋅5102()101212k k k-=-=-++，综上所述，()BM BN BP +⋅为定值10-． 15．【2018届年12月期末联考】已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的长轴长是短轴长的2倍，且过点12⎫⎪⎭． ⑴求椭圆C 的方程；⑵若在椭圆上有相异的两点,A B （,,A O B 三点不共线），O 为坐标原点，且直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2•(0)AB OA OB AB k k k k =>. （ⅰ）求证： 22OA OB +是定值；（ⅱ）设AOB ∆的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程．16．【吉林省榆树市2018届第三次模拟】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1(20C 2A ，），（两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，椭圆C 与y 轴正半轴交于B 点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得： 2,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为： 2214x y +=.又∵c =∴离心率c e a ==. (Ⅱ)设()00,x y P （00x <， 00y <），则220044x y +=．又∵()2,0A ， ()0,1B ，∴直线PA 的方程为()0022y y x x =--．令0x =，得0022y y x M=--，从而002112y y x M BM =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001x x y N =--，从而00221xx y N AN =-=+-． ∴四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+ 2=．∴四边形ABNM 的面积为定值．17. 【江苏省丹阳2018届期中】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN⋅为定值．由②③得， 22414N x k =+． 从而()()22222p N x AP AQ MN x +⋅= 22282214142414k k k⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⨯+，即证． 18．【黑龙江省齐齐哈尔市2018届第二次模拟】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45︒的直线l 过点F 与拋物线C 交于,A B 两点， O 为坐标原点， OAB ∆的面积为（1）求p ；（2）设点E 为直线2p x =与拋物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为12,k k 的两条弦,EM EN ，如果121k k +=-，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标.()343444,461y y t y y t +=--=+，代入MN 的方程得16111t y x t t +=--++，整理得()()610t y x y ++++=，若上式对任意变化的t 恒成立，则10{60x y y ++=+=，解得5,{ 6.x y ==- 故直线MN经过定点()5,6-. 19．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b +=相切，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使得MR RN λ=-，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．。

真题演练集训．[·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有和和和.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是．答案：和解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“和”，结合乙所言可知乙持有“和”，从而甲持有“和”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“和”，结合乙所言可知乙持有“和”，从而甲持有“和”，不符合甲所言情况．故甲持有“和”．．[·天津卷]已知和均为给定的大于的自然数．设集合＝{，…，－}，集合＝{＝＋＋…＋－，∈，＝，…，}．()当＝，＝时，用列举法表示集合；()设，∈，＝＋＋…＋－，＝＋＋…＋－，其中，∈，＝，…，.证明：若<，则<.()解：当＝，＝时，＝{}，＝{＝＋·＋·，可得，＝{}．()证明：由，∈，＝＋＋…＋－，＝＋＋…＋－，，∈，＝，…，及<，可得－＝(－)＋(－)＋…＋(－－－)－＋(－)－≤(－)＋(－)＋…＋(－)－－－＝－－＝－<，所以<.课外拓展阅读反证法应用举例反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：一证明否定性命题[典例] 已知数列{}的前项和为，且满足＋＝.()求数列{}的通项公式；()求证：数列{}中不存在三项按原来顺序成等差数列．()[解]当＝时，＋＝＝，则＝.又＋＝，所以＋＋＋＝，两式相减得＋＝，所以{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝. ()[证明]假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为＋，＋，＋(<<，且，，∈*)，则·＝＋，所以·－＝－＋.(*)又因为<<，所以－，－∈*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．[解题模板]用反证法证明问题的一般步骤二证明存在性问题[典例]若()的定义域为[，]，值域为[，](<)，则称函数()是[，]上的“四维光军”函数．。

解析几何中的范围、最值和探索性问题解析几何中的范围、最值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查范围、最值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．1．圆锥曲线中范围问题 圆锥曲线中参数的范围问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.例1【贵州省遵义市2018届第二次联考】设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为23E ⎛ ⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ= .（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围. 思路分析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据椭圆上的点及离心率可得关于,a b 的方程组，求得,a b 可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得1m =，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得PQ ，再根据λ的范围，利用函数的有关知识求得PQ 的范围即可．∴PQ ====4241616k PQ k -=，将()2241k λλ=+代入上式得 ()()242222221111616216PQ λλλλλλλ+++⎛⎫=-=-=++- ⎪⎝⎭，∵()11,12f λλλλ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭在上单调递减，∴()()112f f f λ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即1522λλ<+≤，∴211702164λλ⎛⎫<++-≤ ⎪⎝⎭，∴02PQ <≤，即PQ 的求值范围为0,2⎛ ⎝⎦． 点评：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.2．圆锥曲线中最值问题圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题，这些问题形式多变.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义和性质,而且要善于综合应用代数、平面几何、三角函数等相关知识.圆锥曲线最值问题常见的有两类：一类是有关长度、面积的最值问题；另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.圆锥曲线中最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值问题的基本思想是借助几何知识，建立目标函数和建立不等关系，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.例2【贵州省贵阳市2018届12月月考】已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1F ， 2F 分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆C 的短轴长为直径的圆与直线0x y -=相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于P ， Q ，求1F PQ ∆内切圆面积的最大值和此时直线l 的方程.思路分析：（1）由条件可设处圆的方程，根据直线和圆相切得到b =再根据点在椭圆上得到椭圆方程；（2）由111·2F PQ PF QF PQS r ++= 内切圆，故求△1F PQ 面积的最大值即可，联立直线和椭圆方程，得到二次方程，根据弦长公式和点线距得到S =.点评：这个题目考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭园中的范围和最值问题，这是圆锥曲线中的一大考查题型；在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的.3．圆锥曲线中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题.相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐.解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素. 探索性问题常见的命题是存在性问题，所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由．例3．如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析：（Ⅰ）因为直线过焦点，所以设直线1+=my x ，与抛物线方程联立，转化为24221+=+m x x ，利用焦点弦长公式521=++=p x x AB ，2=p ，解得直线方程；（Ⅱ）设2(,2)M a a ，用坐标表示直线MB MD MA ,,的斜率，若成等差数列，那么MB MA MD k k k +=2,代入（1）的坐标后，若恒成立，解得点M 的坐标.点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，属于难题，对于本题的第二问，考查的是恒成立的问题，若存在，说明与直线无关，即与直线的斜率无关，可求得定点M ,解析几何中有很多未知量，要通过设直线，设点的坐标，再根据条件进行消元，从而化简，例如本题，通过设点D M B A ,,,的坐标表示斜率，再通过直线方程与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，通过消元得到点M 的坐标与直线斜率的关系，组合通过恒成立解决.此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．综上所述：解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.避免繁复运算的基本方法：可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单，这就是“所谓寻求”.。