湖北省武汉二中09-10学年高二上学期期中考试(数学理)doc

周宁十中09-10年度高二（上）期中检测数学试卷（本试卷满分100分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共39分．1．已知等差数列｛a n ｝的通项公式,4,554==a a ,则a 9等于( ).A. 1B. 2C. 0D. 32. 在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为（ ）A 、3B 、2C 、3D 、23．设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<4.在各项都为正数的等比数列}{n a 中13a =，前三项的和321S =，则345a a a ++=() A.33 B.72 C.84 D.1895. 等比数列}{n a 中,S 3:S 2=3:2,则公比q 的值为( ) A.1 B.21- C.211-或 D.211或-6．在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π7．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8. 数列3 , 7 , 11,…，则 35 是该数列的（ ）A. 每17项B.第18项C. 第19项D.第20项9. 若011<<b a ，则下列结论不正确的是（ ）A ．22b a <B ．2b ab <C ．2>+b aa bD ．||||||b a b a +>+10. 已知x ，y 为非负整数，则满足x+y ≤2的点（x ，y ）共有（ ）A 、1个B 、3个C 、6个D 、9个11．二次不等式a 2x +b x +c ＜0的解集是R 的条件是（ ）A a ＞0B a ＞0C a ＜0D a ＜0△＞0 △＜0 △＞0 △＜012.设等差数列前项和为1020,100,400,n S S S ==则30S 等于（ ）A. 800B.900C. 1000D. 110013. 如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2 3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．74．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，事件A与事件B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上答案都不对8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）化为九进制数的结果为．312．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF 折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC ∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离【解答】解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r （半径），故直线和圆相切，故选：C．2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2【解答】解：由题意可知n=6，=，=∴b1==﹣，a1=，而由直线方程的求解可得b2=2，把（1，0）代入可得a2=﹣2，∴b1＜b2，a1＞a2．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．7【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=5；第二次循环i=2，a=14；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=20；第五次循环i=5，a=10；第六次循环i=6，a=5；…，输出的a值的周期为5，∵跳出循环的i值为2015，∴第2014次循环的a=20．故选：A．4．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，∴甲队技术比乙队好，故①正确，∵甲全年比赛丢失球的个数的标准差为 1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，总上可知有4种说法正确，故选：D．5．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：C．6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，由圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在点到原点的距离为，∴2﹣≤|a|≤2+，∴1≤|a|≤3解得1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．故选：D．7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，事件A与事件B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上答案都不对【解答】解：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A 与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的．故选：D．8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选：A．9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种【解答】解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选：D．10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，故③正确．综上可知：只有③正确．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为8888（9）．【解答】解：（22222222）3=2×30+2×31+2×32+2×33+2×34+2×35+2×36+2×37=6560，∵6560=8×90+8×91+8×9 2+8×93∴把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果是8888（9）故答案为：8888（9）12．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为．故答案为：13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．【解答】解：=+++．∵x，y∈（0，1），如图所示．∴+++=|OP|+|PC|+|PA|+|PB|≥|OB|+AC|=2．∴的最小值为．故答案为：．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【解答】解：分别画出集合A={（x，y）|}|x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆，如图所示，欲使得A∩B≠∅，只需点A或点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为2．【解答】解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角α﹣l﹣β，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120°，根据余弦定理有：MN2=MP2+NP2﹣2MP•NP•cos∠MPN=42+62﹣2×4×6×（﹣）=76，∴MN=2，∴△PAB周长的最小值等于2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．【解答】解：（1）由题意，第一个小矩形的高度为0.0002，公司员工的月平均收入0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元（3分）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）；（3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知，甲、乙同时被抽到的概率为（6分）17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【解答】解：（1）01连在一起时有15中情况；12连在一起时有10种情况；23连在一起有11种情况；34连在一起有11种情况；45连在一起有11种情况；56和34一样，67和23一样；78和12一样；89和01一样，共有105种．（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面．所以共有．（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关．所以．18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】解：（1）由题可知，圆M的半径r=2，，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°又因MP==2r，又∠MPA=30°，∠APB=60°；（6分）（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，解得或，所以圆过定点（6分）19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF 折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．【解答】解：（1）∵E、F分别为AB、BC中点，在平面图形中连结AF，BD交O 点，AF交DE于M，则O为三角形DEF的垂心，三角形AED在沿DE的折叠过程中，AM始终垂直于DE，∴过A在过M且与DE垂直的平面上，又AM=，∴A在以M为圆心，AM为半径的圆上．（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，故PD⊥平面PEF，∴当三角形PEF面积最大时，三棱锥P﹣DEF体积最大，设PE=t，∠EPF=α，则（2﹣t）2+1=1+t2﹣2tcosα，即cosα=，则=，故当t=时，体积最大为．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC ∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD．…（3分）（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵AB=CD=2，∠BAD=60°，∴AO=AC=，又∵AA1=2，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，又∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD．…（7分）（Ⅲ）解：如图，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，由题意知，C（﹣，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），∵，∴，∵M（），∴=（﹣，1，﹣），，=（﹣2，﹣1，3），设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得，…（9分）∴cos＜＞==﹣，…（11分）∴直线BM与平面BC1D所成角的正弦值为．…（12分）21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．【解答】解：（1）当AB⊥x时，a=2，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大，∵NC≤PC，∴N，P重合时，∠PAC最大，此时PA⊥PC，直线AP的方程为y=﹣x+2；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x′，y′），圆C在A、B处的切线方程分别为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1﹣2）（y﹣2）=8，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2﹣2）（y﹣2）=8，它们交于点M，所以，，∴AB的方程为（x﹣2）（x′﹣2）+（y﹣2）（y′﹣2）=8，∵点P（x0，y0）在AB上，∴（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8，∴动点M的轨迹方程为（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8．。

武汉二中2009—2010学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文）时间：2010年2月2日 上午10:00-12:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分），各题答案必须答在答题卡上。

1．过空间一点与已知平面垂直的直线有（ ）A ．0条B ．1条C ．0条或1条D ．无数条 2．直线(1)y k x =+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关3．抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p=( )A B C. ． D ． 4．若a,b ∈R,则下列命题正确的是（ ）A ．若a>b ，则a 2>b 2B ．若|a|>b ，则a 2>b 2C ．若a>|b|，则a 2>b 2D ．若a ≠|b|，则a 2≠b 25．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为（ ）A ．01=-+y xB ．03=--y xC ．D ．03=-+y x6．已知钝角三角形ABC 的最大边长为2，其余两边长为,x y ，则以(,)x y 为坐标的点所 表示平面区域的面积是（ ）A ．πB ．2π-C ．4πD ．42π- 7．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为( )A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.8 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，B 1C 的中点，作EF 和平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A B C ．12D ．210．如图，正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =） A ．AC ⊥BEB ．EF//平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值二，填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）各小题答案必须填写在答题卡上。

武汉市高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知全集 ,集合 ,，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·承德期末) 已知函数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A .B .C .D . 不存在4. （2分） (2016高二上·邹平期中) 若定义在R上的偶函数y=f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列各式成立的是（）A . f（）＞f（﹣）B . f（﹣2）＞f（3）C . f（3）＜f（4）D . f（）＞f（）5. （2分）不等式组表示的平面区域的面积是（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（0，3），曲线C：x2+6y+y2=0，那么平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3的点的轨迹是（）A . 一条直线，一条射线，一条线段B . 二条射线C . 一条直线，一条线段D . 一条直线，一条射线7. （2分）连接椭圆(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0,则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知,则为函数的零点的充要条件是（）A . ,B . ,C . ,D . ,二、填空题： (共7题；共7分)9. （1分）已知x+y=3﹣cos4θ，x﹣y=4sin2θ，则 + =________．10. （1分）(2016·四川模拟) 某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中α角的正切值为________．11. （1分）(2016·潮州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣ =1的离心率为，则实数m的值为________．12. （1分）(2017·吴江模拟) 已知平面向量，的夹角为，且| |=1，| |= ，则与的夹角大小是________．13. （1分）已知，在函数与的图像的交点中。

湖北省部分重点中学2008—2009学年高二期中联考数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

试卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共5 0分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若0ac >且0bc <，直线0ax by c ++=不通过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，2．若11,P lg lg ,(lg lg ),lg ,22a b a b a b Q a b R +⎛⎫>>=⋅=+= ⎪⎝⎭则 A ．R<P<QB ．P<Q<RC ．Q<P<RD ．P<R<Q3．直线l 的方向向量为（1-，2），直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=A ．43B ．43-C ．34D ．34- 4．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列大小关系正确的是A ．30.440.43log 0.3<< B ． 30.440.4log 0.33<<C ．30.44log 0.30.43<<D ．0.434log 0.330.4<<6．如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aob 平面上的区域（不包括边界及坐标轴）为7．已知椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为8，则它到右准线的距离为 A ．6B ．8C ．10D ．158．关于x 的不等式|3||2|x x a -+-<无实数解，则a 的取值范围是A ．1a ≥B ．1a >C ．1a ≤D ．1a <9．给定点00(,)A x y ，圆222C x y r =+=及直线200:l x x y y r +=，给出以下三个命题：①当点A 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切； ② 当点A 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离； ③ 当点A 在圆C 外时，直线l 与圆C 相交． 其中正确的命题个数是 A ．0B ．1C ．2D ．310．发射的“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为A ． BCD ．第Ⅱ卷（非选择题，共1 00分）二、填空题（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上） 11．不等式(1)|2|0x x -+≥的解集为 ．12．点(,)P a b 是单位圆上的动点，则点(,)Q ab a b +的轨迹方程是 ． 13．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P ，直线1PF （1F 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为 ．14．己知动点A ，B 分别在x 轴和直y x =上，C 为定点（2，1），则ABC 周长的最小值 为 ．15．已知点(,)P x y 满足43035y 2510x y x x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，设A(2,0)，则||sin OP AOP ∠（O 为坐标原点）的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分） 已知0,0a b >>且121a b+=，求： （1）a b +的最小值；（2）若直线l 与x 轴、y 轴分别交于(,0)A a 、(0,)B b ，求ABO （O 为坐标原点）面积的最小值．如图所示，ABC 中，已知顶点(3,1),A B -∠的内角平分线方程是4100x y -+=过点C 的中线方程为610590x y +-=．求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．19．（本小题满分12分）在单位正方形ABCD （边长为1个单位长度的正方形，如图所示）所在的平面上有点P 满足条件222||||||PA PB PC +=，试求点P 到点D 的距离的最大值与最小值．已知一个圆截y 轴所得的弦长为2，被x 轴分成的两段弧长的比为3：1． （1）设圆心(,)a b ，求实数a 、b 满足的关系式；（2）当圆心到直线:20l x y -=的距离最小时，求圆的方程．21．（本小题满分14分）定义：离心率12e =的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(,0)(0),F c c P >为椭圆E 上的任意一点．（1）试证：若,,a b c 不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；（2）没E 为黄金椭圆，问：是否存在过点F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足2RP PF =-?若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由；（3）已知椭圆E 的短轴长是2，点S （0，2），求使2SP 取最大值时点P 的坐标．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分） 11．}21|{-=≥x x x 或 12．122+=x y 13．13-14．1015．522三、解答题（共75分） 16．（1）若3=a ，则0)1)(3(013<+-⇔<+-x x x x }.31|{<<-=∴x x P ………………………………………………（5分）（2）由201|1|≤≤⇒≤-x x即}20|{≤≤=x x Q ………………………………………………（7分） 对0)1)((:<+-x a x PⅠ.1->a 时，}1|{a x x P <<-= Ⅱ.1-=a 时，0)1(2<+x ，Φ=PⅢ.1-<a 时，}1|{-<<=x a x P ………………………………（10分） 又P Q ⊆ ，而}20|{≤≤=x x Q.2>∴a ……………………………………………………………（12分）17．（1）121=+ba22323)21)((+≥++=++=+∴ba ab bab a b a ……………………（5分） 当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1212ba ba ab 时取“=”号即当⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2212b a 时 223)(min +=+b a ………………………………（6分）（2）由.822211:121≥⇒≥+==+ab abb a b a 可得………………………（10分） 当⎩⎨⎧==42b a 取“=”，又ab S ABO 21=∆，故当⎩⎨⎧==42b a 时ABO S ∆有最小值4.…………………………………………（12分）18．设),(b a B ，由过点B 的角平分线方程0104=+-y x 得0104=+-b a ，①…………………………………………………………（2分）又AB 中点⎪⎭⎫⎝⎛-+21,23b a 在过点C 的中线上， 592110236=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∴b a ，②由①②可得5,10==b a ，B ∴点坐标为（10，5）………………………（5分）则直线AB 的斜率.76310)1(5=---=AB k又B ∠的内角平分线的斜率.41=k ………………………………………（6分）所以得.41141764117641,11BCBC BC BC AB AB k k kk k k k k k k ⋅+-=⋅+-⋅+-=⋅+-即 解得.92-=BC k ……………………………………………………………（10分）∴直线BC 的方程为.06592),10(925=-+--=-y x x y 即综上，所求点B 的坐标为（10，5），直线BC 的方程为.06592=-+y x ……………………………………（12分） 19．以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则有：)0,0(A ，)0,1(B ，)1,1(C ，)1,0(D ………………………………（3分）设),(y x P ，由条件可得：222222)1()1()1(-+-=+-++y x y x y x.2)1(22=++∴y x …………………………………………………………（7分）这是一个以（0，1-）为圆心，以2为半径的圆.……………………（8分） 由平面几何知识可知22||max +=PD ，.22||min -=PD …………（12分） （其它解法参照给分）20．（1）设圆心),(b a P ，半径为r ，则.2,2||22r b rb ==………………（3分） 又221||r a =+，所以221r a =+，所以.1222+=a b ………… （6分）（2）点P 到直线02=-y x 的距离,5|2|b a d -=.12)(24445222222222=-=+-+≥+-=a b b a b a b ab a d ………（9分）所以⎩⎨⎧+==,12,22a b b a 所以⎩⎨⎧==,1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a …………………………（11分） 所以.2)1()1(2)1()1(2222=+++=-+-y x y x 或………………（13分）21．（1）假设E 为黄金椭圆，则.215,215a c a c e -=-==即…………（1分） .215215222222ac a a a c a b =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴………………（3分） 即c b a ,,成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”.…………………………………………………………………………（4分）（2）依题假设直线l 的方程为).(c x k y -= 令kc y x -==有0，即点R 的坐标为).,0(kc -2-= ，点)0,(c F ，∴点P 的坐标为).,2(kc c …………（6分）点P 在椭圆上，∴.1422222=+bc k a c.14,222=+∴=e k e ac b 故04122<-=ee k ，与02≥k 矛盾.所以，满足题意的直线不存在.……………………………………（9分）（3）依题有12=b ，由点),(11y x P 在E 上知)1(21221y a x -=，)4(4)1()2(||21212212122++--=-+==∴a y y a y x.14)4(12)1(222212a a a y a --++⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1>a ，.012<-∴a 又111≤≤-y ，…………………………（11分） ①当112312-≤-≤<a a 时，]1,1[12-∈∴y 是的减函数，故211SP y 时-=取得最大值，此时点P 的坐标是).1,0(- ②当112132<-<->a a 时，22112SP ay 时-=∴取得最大值， 此时点P 的坐标是.12,3212242⎪⎭⎫ ⎝⎛----±a a a a a ……………（14分）。

2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某中学高三年级共有学生900人，为了解他们视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为45的样本，若样本中共有女生11人，该校高三年级共有男生（ ）人．A ．220B ．225C ．680D ．6852．方程x 2+y 2+4x ﹣2y +5m ＝0表示圆，则m 的范围是（ ）A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m ≥1D ．m ≤13．已知直线l 1：(2m 2+m −3)x +(m 2−m)y =4m −1，l 2：x ﹣3y ﹣5＝0互相垂直，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．3或1C ．1D ．﹣3或﹣1 4．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，2BN ＝3NC ，则MN →=（ ）A ．−13a →−25b →+35c → B ．−23a →+35b →+25c → C ．−23a →+25b →+35c → D ．23a →+35b →−25c → 5．直线sin41°x +sin49°y ﹣4＝0的倾斜角是（ ）A ．41°B ．49°C ．131°D ．139°6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为2，方差为3.1B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12 8．已知三棱锥P ﹣ABC 的体积为15，M 是空间中一点，PM →=−115PA →+315PB →+415PC →，则三棱锥A ﹣MBC 的体积是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法，不正确的是（ ）A ．在空间直角坐标系中，j →=(0，0，1)是坐标平面Oxy 的一个法向量B ．若v →是直线l 的方向向量，则λv →（λ∈R ）也是直线l 的方向向量C ．若{a →，b →，c →}为空间的一个基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}构成空间的另一个基底D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →=2OA →−2OB →−OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面10．从装有2个红球和3个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）A ．至多有1个白球；都是红球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰好有1个白球；都是红球D ．至多有1个白球；全是白球11．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝6，AC ⊥BC ，E 、F 分别为BB 1，A 1C 1的中点，过点A 、E 、F 作三棱柱的截面α，则下列结论中正确的是（ ）A ．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球的表面积为108πB．BC1∥αC．若α交B1C1于M，则EM=3√2D．α将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13：512．已知在平面直角坐标系xOy中，M（﹣3，0），N（3，0），动点P是平面上动点，其轨迹为C．则下列结论正确的是（）A．若动点P满足|PM||PN|=2，则曲线C的方程为x2+y2﹣10x+6＝0B．若动点P轨迹为C：x2+y2+8x＝0，Q（4，0）则|PQ|+2|PN|的最小值为10C．若动点P满足|PM|•|PN|＝12，则曲线C关于y轴对称D．若动点P满足|PM|•|PN|＝12，则△PMN面积的最大值为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）13．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，则该题被乙独立解出的概率为．14．设点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）且与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是．15．若直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx﹣y+2＝0（m∈R）相交于点P，过P作圆C：（x+3）2+（y+3）2＝1的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为．16．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的三角形．将长方体ABCD ﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转60°得到如图2所示的十面体ABCD﹣EFGH．已知AB＝AD＝2，AE=√6，P是底面正方形ABCD内的点，且P到AB和AD的距离都为√32，过直线EP作平面α，则十面体ABCD﹣EFGH外接球被平面α所截的截面圆面积的最小值是．四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，边AB所在的直线斜率为k AB=−12，其中顶点A点坐标为（﹣1，1），顶点C的坐标为（1，2）．（1）求AB边上的高所在的直线方程；（2）若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程．18．（12分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段，洪山区为了激发市民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第60百分位数；（精确到0.1）（2）现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄平均数和方差．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别在A1A，B1B，D1D上，且A1E＝2EA，BF＝2FB1，DG＝2GD1．（1）求证：EG∥FC1；（2）若底面ABCD，侧面A1ADD1都是正方形，且二面角A1﹣AD﹣B的大小为120°，AB＝2，若P是C1G的中点，求AP的长度．20．（12分）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展．本次亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．亚运期间，篮球比赛间隙安排了机器人吉祥物表演，由后台志愿者操控A，B，C三个开关，分别可操控“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，当A闭合时“琮琮”、“莲莲”表演；当B闭合时“莲莲”和“宸宸”表演；当C闭合时“琮琮”和“宸宸”表演，若A，B，C三个开关闭合的概率分别为12，13，14，且相互独立．（1）求机器人“琮琮”表演的概率；（2）求机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率．21．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠SAB＝∠SCB＝∠ABC＝90°．（1）求证：AC⊥SB；（2）若AB=2√2，SC＝4，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值．22．（12分）已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O 与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN 始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某中学高三年级共有学生900人，为了解他们视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为45的样本，若样本中共有女生11人，该校高三年级共有男生（ ）人．A ．220B ．225C ．680D ．685解：依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为（900﹣n ）人，由分层抽样可得900−n 900=1145，解得n ＝680． 故选：C ．2．方程x 2+y 2+4x ﹣2y +5m ＝0表示圆，则m 的范围是（ ）A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m ≥1D ．m ≤1 解：因为方程x 2+y 2+4x ﹣2y +5m ＝0表示圆，所以42+（﹣2）2﹣4×5m ＞0，解得：m ＜1． 故选：B ．3．已知直线l 1：(2m 2+m −3)x +(m 2−m)y =4m −1，l 2：x ﹣3y ﹣5＝0互相垂直，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．3或1C ．1D ．﹣3或﹣1解：因为直线l 1：(2m 2+m −3)x +(m 2−m)y =4m −1，l 2：x ﹣3y ﹣5＝0互相垂直，所以（2m 2+m ﹣3）×1+（m 2﹣m ）×（﹣3）＝0，所以 m ＝3或1，当m ＝1，直线l 1：0×x +0×y ＝﹣1不存在，故m ＝3．故选：A ．4．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，2BN ＝3NC ，则MN →=（ ）A ．−13a →−25b →+35c →B ．−23a →+35b →+25c →C ．−23a →+25b →+35c → D ．23a →+35b →−25c → 解：由OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OM ＝2MA ，2BN ＝3NC ，可得MA →=13OA →，BN →=35BC →， 所以MN →=MA →+AB →+BN →=13OA →+(OB →−OA →)+35(OC →−OB →) =−23OA →+25OB →+35OC → =−23a →+25b →+35c →． 故选：C ．5．直线sin41°x +sin49°y ﹣4＝0的倾斜角是（ ）A ．41°B ．49°C ．131°D ．139°解：直线sin41°x +sin49°y ﹣4＝0的斜率为k =−sin41°sin49°=sin139°cos139°=tan139°， 故直线的倾斜角为139°．故选：D ． 6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为2，方差为3.1B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为2解：对于选项A ，若平均数为2，则方差S 2＞15(6−2)2=3.2＞3.1，平均数为2，方差为3.1， 所以一定没有出现点数6，故选项A 正确；对于选项B ，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为：S 2=15[(3−4)2+(3−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(6−4)2]=1.6， 此时出现点数为6，故选项B 错误；对于选项C ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项C 错误；对于选项D ，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项D 错误．故选：A ．7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12解：由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形ABCD 为边长为1的菱形，又△AEC ≌△BED ，所以AC ＝BD ，故四边形ABCD 为正方形，同理四边形BEDF 也为正方形， 取AE 的中点K ，连接PK ，KQ ，则PQ →=PK →+KQ →=12DA →+12EB →，同理MN →=12DF →+12AB →， 所以PQ →⋅MN →=（12DA →+12EB →）•（12DF →+12AB →）=14DA →⋅DF →+14DA →⋅AB →+14EB →⋅DF →+14EB →⋅AB →=14×1×1×cos60°+0+14×1×1+14×1×1×cos60°=12． 故选：A ．8．已知三棱锥P ﹣ABC 的体积为15，M 是空间中一点，PM →=−115PA →+315PB →+415PC →，则三棱锥A ﹣MBC 的体积是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 解：已知PM →=−115PA →+315PB →+415PC →，则15PM →=−PA →+3PB →+4PC →， 即15PM →=−PM →−MA →+3PM →+3MB →+4PM →+4MC →，即9PM →=−MA →+3MB →+4MC →，即32PM →=−16MA →+12MB →+23MC →， 因为−16+12+23=1， 由空间向量基本定理可得：在平面ABC 内存在一点D ，使得MD →=−16MA →+12MB →+23MC →成立，即32PM →=MD →，即MD →=35PD →， 又三棱锥P ﹣ABC 的体积为15，则V A−MBC =V M−ABC =35V P−ABC =35×15=9． 故选：C ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法，不正确的是（ ）A ．在空间直角坐标系中，j →=(0，0，1)是坐标平面Oxy 的一个法向量B ．若v →是直线l 的方向向量，则λv →（λ∈R ）也是直线l 的方向向量C ．若{a →，b →，c →}为空间的一个基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}构成空间的另一个基底D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →=2OA →−2OB →−OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解：对于A ，由j →=(0，0，1)，得到j →=(0，0，1)是坐标平面Oxy 的一个法向量，故A 正确；对于B ，当λ＝0时，不合题意，故B 错误；对于C ，由{a →，b →，c →}为空间的一个基底，得a →，b →，c →不共面，假设a →+b →，b →+c →，c →+a →共面，则存在唯一实数对（x ，y ），使得a →+b →=x(b →+c →)+y(c →+a →)，即a →+b →=xb →+ya →+(x +y)c →，显然不成立，故a →+b →，b →+c →，c →+a →不共面，故{a →+b →，b →+c →，c →+a →}构成空间的另一个基底，故C 正确；对于D ，若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x ，y ，z ∈R)，则当且仅当x +y +z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，而OP →=2OA →−2OB →−OC →，2﹣2﹣1＝﹣1≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选：BD ．10．从装有2个红球和3个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）A．至多有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；都是红球D．至多有1个白球；全是白球解：对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件．故A正确；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．故选：AB．11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝6，AC⊥BC，E、F分别为BB1，A1C1的中点，过点A、E、F作三棱柱的截面α，则下列结论中正确的是（）A．三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为108πB．BC1∥αC．若α交B1C1于M，则EM=3√2D．α将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13：5解：如图所示，将该三棱柱视为正方体ACBD﹣A1C1B1D1的一部分，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的直径2R=6√3，R=3√3，其表面积为4πR2＝108π，故A项正确；延长AF与CC1的延长线交于点P，连接PE交B1C1于M，连接FM，则平面AEMF即为截面α．若BC1∥α，则BC1∥ME．因为FC1∥AC，F是中点，所以C1是PC的中点，由△MPC1与△MEB1相似，得PC1EB1=MC1MB1=2，得B1M=13B1C1，而E是BB1的中点，所以ME 与BC 1不平行，故B 项错误；因为B 1M ＝2，又B 1E ＝3，所以在Rt △B 1EM 中，EM =√22+32=√13，故C 项错误；延长PE 交BC 于点Q ，则α将三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1分成体积较大部分的体积为：V P−ACQ −V P−FMC 1−V A−QBE =13×12×6×8×12−13×12×3×4×6−13×12×2×6×3=78， 所以剩余部分的体积为12×6×6×6−78=30，所以体积之比为7830=135，故D 项正确．故选：AD ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，M （﹣3，0），N （3，0），动点P 是平面上动点，其轨迹为C ．则下列结论正确的是（ ） A ．若动点P 满足|PM||PN|=2，则曲线C 的方程为x 2+y 2﹣10x +6＝0B ．若动点P 轨迹为C ：x 2+y 2+8x ＝0，Q （4，0）则|PQ |+2|PN |的最小值为10C ．若动点P 满足|PM |•|PN |＝12，则曲线C 关于y 轴对称D ．若动点P 满足|PM |•|PN |＝12，则△PMN 面积的最大值为6 解：不妨设P （x ，y ）， 对于选项A ：当|PM||PN|=2时，2222=2，整理得x 2+y 2﹣10x +9＝0，故选项A 错误；对于选项B ：因为动点P 轨迹为C ：x 2+y 2+8x ＝0，其表示以（﹣4，0）为圆心，4为半径的圆， 不妨设A （﹣2，0），连接P A ，PC ，因为|CP |＝4，|CA |＝2，|CQ |＝8，所以|CA||CP|=|CP||CQ|=12， 又∠ACP ＝∠PQC ，所以△ACP ∽△PCQ ，此时|PA||PQ|=|CA||CP|=|CP||CQ|=12，则|PQ|＝2|P A|，所以|PQ|+2|PN|＝2|P A|+2|PN|＝2（|P A|+|PN），当P与O重合时，|P A|+|PN|取得最小值，最小值为|OA|+|ON|＝2+3＝5，则（|PQ|+2|PN|）min＝2×5＝10，故选项B正确；对于选项C：若动点P满足|PM|•|PN|＝12，此时√(x−3)2+y2⋅√(x+3)2+y2=12，即x4+（2y2﹣18）x2+y4+18y2﹣63＝0，当x＝﹣x时，（﹣x）4+（2y2﹣18）（﹣x）2+y4+18y2﹣63x4+（2y2﹣18）x2+y4+18y2﹣63＝0，所以曲线C关于y轴对称，故选项C正确；对于选项D：由选项C可知方程x4+（2y2﹣18）x2+y4+18y2﹣63＝0一定有解，所以Δ＝（2y2﹣18）2﹣4（y4+18y2﹣63）＝576﹣144y2＝144（4﹣y2）≥0，解得﹣2≤y≤2，即|y|≤2，则S△PMN=12⋅|MN|⋅|y|≤12⋅6⋅2=6，当且仅当|y|＝2时，等号成立，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）13．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，则该题被乙独立解出的概率为0.8．解：设该题被乙独立解出的概率为p，并且甲独立解出的概率为0.6，则甲、乙两人都解不出来的概率为p1＝（1﹣0.6）•（1﹣p），又因被甲或乙解出的概率为0.92，故1﹣p1＝0.92，即1﹣（1﹣0.6）•（1﹣p）＝0.92，故0.4（1﹣p）＝0.08，解得p＝0.8．故答案为：0.8．14．设点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）且与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是(−4，34)．解：k PA=1+31−2=−4，k PB=1+21+3=34，直线l过点P（1，1）且与线段AB不相交，故−4＜k＜34，即k∈(−4，34)．故答案为：(−4，34 )．15．若直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx﹣y+2＝0（m∈R）相交于点P，过P作圆C：（x+3）2+（y+3）2＝1的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为7．解：由直线l1：x+my﹣2＝0，可得直线l1恒过定点A（2，0），由直线l2：mx﹣y+2＝0，可得直线l1恒过定点B（0，2），又易得直线l1与直线l2互相垂直，故点P轨迹是以AB为直径的圆，从而可得P的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆心为D（1，1），半径为√2，由圆C：（x+3）2+（y+3）2＝1，可得圆心C（﹣3，﹣3），半径为1，由题意|PQ|=√|PC|2−|QC|2=√|PC|2−1，又|PC|max＝|CD|+√2=5√2，∴|PQ|max=√50−1=7．故答案为：7．16．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的三角形．将长方体ABCD ﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转60°得到如图2所示的十面体ABCD﹣EFGH．已知AB＝AD＝2，AE=√6，P是底面正方形ABCD内的点，且P到AB和AD的距离都为√32，过直线EP作平面α，则十面体ABCD﹣EFGH外接球被平面α所截的截面圆面积的最小值是√3解：由下图可知，上底面的平面图如下所示：记A1B1C1D1的中心为O1，连接A1O1，O1E，因为旋转了60°，所以△O 1A 1E 为等边三角形，A 1E =O 1A 1=√2，又因为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面EFGH ，A 1E ⊂平面EFGH ，所以AA 1⊥A 1E ，所以AE 2=AA 12+A 1E 2=6，解得AA 1＝2，因为十面体ABCD ﹣EFGH 是将长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上底面绕着其中心旋转60°得到的， 所以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球就是十面体ABCD ﹣EFGH 的外接球， 设十面体ABCD ﹣EFGH 的外接球半径为R ，则4R 2=AB 2+AD 2+AA 12，即R=√22+22+224=√3，以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，结合第一幅图可知∠BA 1E ＝60°﹣45°＝15°， 可得A 1Esin∠BA 1E =√2sin15°=√3−12，A 1Ecos∠BA 1E =√2cos15°=√3+12，所以E(√3+32，√3+12，2)，又因为P 到AB ，AD 的距离为√32，所以P(2−√32，√32，0)，球心O （1，1，1），所以PE →=(√3−12，12，2)，OE →=(√3+12，√3−12，1)，所以最小截面圆的半径为|PE →⋅OE →||PE →|，此时截面圆面积为π(|PE →⋅OE →||PE →|)2=39+12330−4√3．故答案为：√330−4√3π．四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC 中，边AB 所在的直线斜率为k AB =−12，其中顶点A 点坐标为（﹣1，1），顶点C 的坐标为（1，2）．（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）若CA ，CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程．解：（1）由题意知AB边上的高过C（1，2），k AB=−1 2，因为AB边上的高所在的直线与AB所在的直线互相垂直，故高线的斜率为2，所以AB边上的高所在的直线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0；（2）由已知A（﹣1，1），C（1，2），故CA的中点为E(0，32 )，因为E，F分别是CA，CB的中点，所以EF是△ABC的一条中位线，所以EF∥AB，而k AB=−12，所以直线EF的斜率为−12，所以直线EF的方程为：y−32=−12(x−0)，化简可得：x+2y﹣3＝0．18．（12分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段，洪山区为了激发市民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第60百分位数；（精确到0.1）（2）现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄平均数和方差．解：（1）设第60百分位数为a，∵0.01×5+0.07×5＝0.4＜0.6，0.01×5+0.07×5+0.06×5＝0.7＞0.6，∴a 位于第三组：[30，35）内， ∴a =30+0.6−0.45×0.06×(35−30)≈33.3；（2）①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为2：1，即第四组4人，记为A ，B ，C ，甲， 第五组2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：AB ，AC ，A 甲，AD ，A 乙，BC ，B 甲，BD ，B 乙，C 甲，CD ，C 乙，甲D ，甲乙，D 乙，共15个样本点，设事件M 为“甲、乙两人至少一人被选上”，则有A 甲，A 乙，B 甲，B 乙，C 甲，C 乙，甲D ，甲乙，D 乙，共有9个样本点， ∴P （M ）=915=35； ②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为x =36，方差为s 12=52，设第五组的宣传使者的年龄平均数为y =42，方差为s 22=1，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为s 2， 则z =4x 6+2y 6=4×36+2×426=38， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，s 2=16{4×[s 12+(x −z)2]+2×[s 22+(y −z)2]}=10．即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别在A 1A ，B 1B ，D 1D 上，且A 1E ＝2EA ，BF ＝2FB 1，DG ＝2GD 1． （1）求证：EG ∥FC 1；（2）若底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，且二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，AB ＝2，若P 是C 1G 的中点，求AP 的长度．解：（1）证明：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∵E ，F ，G 分别在A 1A ，B 1B ，D 1D 上，且A 1E ＝2EA ，BF ＝2FB 1，DG ＝2GD 1，∴EA 1→=23AA 1→，D 1G →=−13DD 1→，FB 1→=13BB 1→，A 1D 1→=B 1C 1→，AA 1→=BB 1→=DD 1→，∴EG →=EA 1→+A 1D 1→+D 1G →=23AA 1→+B 1C 1→−13AA 1→=13BB 1→+B 1C 1→=FB 1→+B 1C 1→=FC 1→，∴EG ∥FC 1．（2）由题意可知：A 1A ⊥AD ，AB ⊥AD ，面ABCD ∩面AA 1D 1D ＝AD ， ∴∠A 1AB 为二面角A 1﹣AD ﹣B 的平面角，又二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，∴∠A 1AB ＝120°， 在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中有： ∵底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，∴AB →•AD →=0，AB →•AA 1→=|AB →|•|AA 1→|cos120°＝2×2×（−12）＝﹣2，AD →•AA 1→=0，∵P 是C 1G 的中点，∴AP →=12(AG →+AC 1→)=12(AD →+DG →+AB →+BC →+CC 1→)=AD →+56AA 1→+12AB →，AP →2=(AD →+56AA 1→+12AB →)2=AD →2+2536AA 1→2+14AB →2+53AD →⋅AA 1→+56AB →⋅AA 1→+AD →⋅AB →=4+2536×4+14×4+0+56×(−2)+0=559， 即AP =√553．20．（12分）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展．本次亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．亚运期间，篮球比赛间隙安排了机器人吉祥物表演，由后台志愿者操控A ，B ，C 三个开关，分别可操控“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，当A 闭合时“琮琮”、“莲莲”表演；当B 闭合时“莲莲”和“宸宸”表演；当C 闭合时“琮琮”和“宸宸”表演，若A ，B ，C 三个开关闭合的概率分别为12，13，14，且相互独立．（1）求机器人“琮琮”表演的概率；（2）求机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率．解：（1）设P （A ），P （B ），P （C ）分别为开关A ，B ，C 闭合的概率，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，记“机器人“琮琮”表演”为事件M ，M 发生则需要A 、C 两个开关至少一个闭合， ∴P （M ）＝P （A ∪C ），由于开关闭合相互独立，则P(A ∪C)=P(AC)+P(AC)+P(AC)=P(A)P(C)+P(A)P(C)+P(A)P(C)=12×(1−14)+(1−12)×14+12×14=58，所以，机器人“琮琮”表演的概率为5 8．（2）记“机器人“莲莲”和“宸宸”都表演”为事件N，分为两种情况：B开关闭合；或B开关不闭合且A、C同时闭合，则P(N)=P(B)+P(B)P(A∩C)=P(B)+[1−P(B)]P(AC)=13+(1−13)×12×14=512．所以，机器人“莲莲”和“宸宸”都表演的概率为5 12．21．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠SAB＝∠SCB＝∠ABC＝90°．（1）求证：AC⊥SB；（2）若AB=2√2，SC＝4，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值．解：（1）证明：取AC的中点为E，连结SE，BE，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，在△SCB和△SAB中，∠SAB＝∠SCB＝90°，AB＝BC，SB＝SB，∴△SCB≌△SAB，∴SA＝SC，∵AC的中点为E，∴SE⊥AC，∵SE∩BE＝E，SE⊂平面SBE，BE⊂平面SBE，∴AC⊥面SBE，∵SB⊂面SBE，∴AC⊥SB；（2）过S作SD⊥面ABC，垂足为D，连接AD，CD，∴SD⊥AB，∵AB⊥SA，AB⊥SD，SA∩AD＝A，AB⊥平面SAD，∴AB ⊥AD ，同理，BC ⊥CD ，∵底面△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝2√2，SC ＝4， ∴四边形ABCD 为正方形且边长为2√2．以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， 则A （2√2，0，0），S （0，0，2），C （0，2√2，0），B （2√2，2√2，0）， ∴SC →=（0，2√2，﹣2√2），AC →=（﹣2√2，2√2，0），BC →=（﹣2√2，0，0）， 设平面SAC 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅SC →=2√2y 1−2√2z 1=0n →⋅AC →=−2√2x 1+2√2y 1=0，令x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝1， ∴平面SAC 的一个法向量为n →=(1，1，1)， 设平面SBC 的一个法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{m →⋅SC →=2√2y 2−2√2z 2=0m →⋅BC →=−2√2x 2=0，令y 2＝1，则x 1＝0，z 1＝1， ∴平面SBC 的一个法向量为m →=(0，1，1)，设平面SAC 与平面SBC 夹角为θ，cos θ＝|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=3×2=√63，故平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值为√63． 22．（12分）已知圆C 1：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝20与y 轴交于O ，A 两点，圆C 2过O ，A 两点，且直线C 2O 与圆C 1相切； （1）求圆C 2的方程；（2）若圆C 2上一动点M ，直线MO 与圆C 1的另一交点为N ，在平面内是否存在定点P 使得PM ＝PN 始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝20，令x ＝0，解得y ＝0或4． ∵圆C 2过O ，A 两点，∴可设圆C 2的圆心C 1（a ，2）．直线C 2的方程为：y =2ax ．∵直线C 2O 与圆C 1相切，∴2a ×24=−1，解得a ＝﹣1，∴圆C 2的方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2=(√5)2，化为：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0． （2）存在，且为P （3，4）． 设直线OM 的方程为：y ＝kx ．代入圆C 2的方程可得：（1+k 2）x 2+（2﹣4k ）x ＝0．x M =4k−21+k 2，y M =4k 2−2k 1+k2．代入圆C 1的方程可得：（1+k 2）x 2﹣（8+4k ）x ＝0．x N =8+4k 1+k 2，y N =4k 2+8k1+k2．设P （x ，y ），线段MN 的中点E (4k+31+k 2，4k 2+3k 1+k 2)．则4k 2+3k1+k 2−y 4k+31+k 2−x×k ＝﹣1，化为：k （4﹣y ）+（3﹣x ）＝0，令4﹣y ＝3﹣x ＝0，解得x ＝3，y ＝4． ∴P （3，4）与k 无关系．∴在平面内是存在定点P （3，4）使得PM ＝PN 始终成立．。

2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．43．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2D ．y =√33x −24．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞)B ．[125，+∞)C ．[0，125]D ．[0，512]5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√26．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√328．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73C ．24√77D ．12√77二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π310．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√2211．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√6612．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 ．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ ．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件：（i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠ABC =π3，H 为BC 的中点，P A ＝PB ＝PH =√2．E 为PD 上的一点，已知PD ＝4PE ． （1）证明：平面P AB ⊥平面ABCD ； （2）求平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值．21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行解：令m →=λn →，即（1，1，﹣2）＝λ（2，﹣2，1），则{1=2λ1=−2λ−2=λ，此方程组无解，则直线l 1，l 2不平行，即相交或异面．故选：A ． 2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．4解：椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1，可得a 2＝m +1，b 2＝m ， 所以该椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−m m+1=12，则m ＝3．故选：C ．3．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2 D ．y =√33x −2解：由题意知，入射光线所在直线的斜率为tan150°=−√33， 所以入射光线为y ﹣3=−√33（x +√3），整理得y =−√33x +2，令y ＝0，得x =2√3，所以入射光线与x 轴的交点为(2√3，0)， 由对称性知，反射光线的斜率为√33， 所以反射光线的方程为y ﹣0=√33（x ﹣2√3），即y =√33x ﹣2．故选：D ．4．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞) B ．[125，+∞) C ．[0，125] D ．[0，512] 解：方程x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，所以（x ，y ）是以（2，3）为圆心，半径为2的圆上的点，y−1x+1表示点（x ，y ）与点（﹣1，1）连线的斜率，设直线y ﹣1＝k （x +1），kx ﹣y +1+k ＝0与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4相切， （2，3）到直线kx ﹣y +1+k ＝0的距离√k 2+1=√k 2+1=2，解得k ＝0或k =125，所以y−1x+1的取值范围是[0，125]． 故选：C ．5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√2解：根据题意，由{x +y −5=03x −5y +1=0，解得{x =3y =2，可知B （3，2）．由直线BE 的方程为x +y ﹣5＝0，且AC 、BE 相互垂直，可知k AC =−1kBE=1，结合点A （﹣2，1），得直线AC 的方程为y ﹣1＝x +2，即x ﹣y +3＝0， 因为点B 到直线AC 的距离d =|3−2+3|1+1=2√2，所以AC 边上的高BE 的长度等于2√2．故选：C ．6．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：如图，取AB 中点M ，连接CM ，DM ，因为△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，所以CM ⊥AB ，DM ⊥AB ， 故∠CMD 即为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角． 因为AB ＝4，所以CM ＝2，DM =2√3，所以cos ∠CMD =CM 2+DM 2−CD 22⋅CM⋅DM =4+12−282×2×2√3=−√32，所以∠CMD =5π6，即二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为5π6．故选：D ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√32解：不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点M （x 0，y 0），因为点F 是△BPQ 的重心，所以BF →=2FM →，即（c ，﹣b ）＝2（x 0﹣c ，y 0），所以x 0=3c 2，y 0=−b2， 此时x 1+x 2＝2x 0＝3c ，y 1+y 2＝2y 0＝﹣b ， 因为点M 在直线l 上，所以3√3•3c 2−4•（−b2）﹣21＝0，即9√3c +4b ﹣42＝0，①因为P ，Q 两点均在椭圆上，所以{ x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，则直线l 的斜率k =y 2−y 1x 2−x 1=−b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=−b 2⋅3c a 2⋅(−b)=3√34，即√3a 2=4bc ，②又a 2＝b 2+c 2，b ＞c ③联立①②③，解得a ＝2c ，b =√3c ，则椭圆的离心率e =c a =12． 故选：B ．8．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73 C ．24√77D ．12√77解：设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2a 2+x 2b 2=1x =my −2，整理得：（b 2+a 2m 2）y 2﹣4ma 2y +4a 2﹣a 2b 2＝0，由椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√23，得b 2=79a 2，代入上式并整理得：（7+9m 2）y 2﹣36my +36﹣7a 2＝0， 则y 1+y 2=36m 7+9m 2，y 1y 2=36−7a 27+9m 2， 由△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则y 1＝﹣3y 2，则y 2=−18m7+9m 2， 所以△OAB 的面积为S △OAC +S △OBC =12×|OC |×|y 1|+12|OC |×|y 2|＝|y 1﹣y 2|＝4|y 2| =4×18|m|7+9m 2≤4×18|m|2√7×9m 2=4×18|m|6√7|m|=12√77，当且仅当9m 2＝7，即m =±√73时，等号成立， 故△OAB 面积的最大值为12√77．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π3解：因为椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，故a ＝2，b =√3，c =√4−3=1，故椭圆离心率为ca=12，A 不对；|PF 1|的最小值为：a ﹣c ＝1，B 对； |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，C 不对；当P 与A 重合，即为短轴端点时，∠F 1PF 2取最大值，此时|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝|F 2F 1|，故∠F 1PF 2=π3，所以0≤∠F 1PF 2≤π3，故D 正确． 故选：BD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3] B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22解：A 选项，k P A =1−02−1=1，所以直线P A 的倾斜角为π4， k PB =2√3−0−1−1=−√3，所以直线PB 的倾斜角为2π3， 所以直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]，A 选项正确．B 选项，由a ×（﹣a ）＝（﹣1）×1，解得a ＝±1， 当a ＝1时，两直线为x ﹣y +1＝0，x ﹣y ﹣2＝0，两直线平行；当a ＝﹣1时，两直线为﹣x ﹣y +1＝0．x +y ﹣2＝0，即x +y ﹣1＝0，x +y ﹣2＝0，两直线平行， 所以a ＝1是直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行的充分不必要条件，所以B 选项错误． C ．选项，C 1：x 2+y 2+2x ＝0即（x +1）2+y 2＝1，是圆心为C 1（﹣1，0），半径r 1＝1， 圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m 要表示圆，则20﹣m ＞0即m ＜20， 此时圆心为C 2（2，4），半径为√20−m ，两圆有四条公切线，所以两圆外离，所以5＞1+√20−m ，解得4＜m ＜20，C 选项正确． D 选项，圆x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径为√2，圆心到直线x ﹣y +1＝0的距离为√2=√22， 所以圆 x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22，所以D 选项错误． 故选：AC ．11．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√66解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），P （0，0，2），N （1，0，1），M （2，1，0），对于A ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得NQ ⊥PB ， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PB →=（2，0，﹣2），∴NQ →⋅PB →=2（m ﹣1）+2＝0，解得m ＝0，不合题意，故A 错误；对于B ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PE →=（0，2，﹣1）， ∴|cos ＜NQ →，PE →＞|=|NQ →⋅PE →||NQ →|⋅|PE →|=5√(m−1)+5⋅√5=cos30°=√32，解得m ＝1±√153，不符合0＜m ＜2， ∴不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成角为30°，故B 正确； 对于C ，连接AQ ，AM ，AN ，DQ ＝m ，（0＜m ＜2），CQ ＝2﹣m ，∵S △AMQ ＝S ABCD ﹣S △ABM ﹣S △QCM ﹣S △ADQ ＝4﹣1−12(2−m)−m =2−m2， 点N 到平面AMQ 的距离为d =12PA =1， ∴V Q ﹣AMN ＝V N ﹣AMQ =13(2−m 2)=23−m 6， ∵0＜m ＜2，∴V Q ﹣AMN ∈（13，23），故C 正确； 对于D ，当点Q 运动到DC 中点时，Q （1，2，0）， ∵N （1，0，1），M （2，1，0），∴NQ →=（0，2，﹣1），NM →=（1，1，﹣1）， 设n →=（x ，y ，z ）是平面QMN 的法向量，则{n →⋅NQ →=2y −z =0n →⋅NM →=x +y −z =0，令y ＝1，则n →=（1，1，2），∵DC →=（2，0，0），设直线DC 与平面QMN 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos ＜DC →，n →＞|=|DC →⋅n →||DC →|⋅|n →|=22×6=√66，故D 错误． 故选：BC ．12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 解：选项A ，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2c ，由题意知，2a ＝6，离心率e =c a =√53， 所以a ＝3，c =√5，b =√a 2−c 2=2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1，即选项A 正确；选项B ，当点P 位于椭圆的上或下顶点时，OP 平分∠F 1PF 2，且sin ∠OPF 2=ca =√53，cos ∠OPF 2=ba =23，所以sin ∠F 1PF 2＝sin2∠OPF 2＝2sin ∠OPF 2•cos ∠OPF 2＝2×√53×23=4√59＞19，即选项B 错误； 选项C ，设点P （x 0，y 0），其中y 0∈[﹣2，2]，则x 029+y 024=1，即x 02=9（1−14y 02），而B （0，2），所以|BP |2=x 02+(y 0−2)2=9（1−14y 02）+y 02−4y 0+4=−54y 02−4y 0+13=−54(y 0+85)2+815，在[﹣2，−85]上单调递增，在[−85，2]上单调递减， 所以当y 0=−85时，|BP |2取得最大值815，此时|BP |max =√815=9√55，即选项C 正确；选项D ，设点M （x 1，y 1），则y 1＝x 1+2①， 过点M 作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为x 1x 9+y 1y 4=1，即直线PQ 的方程为x 1x 9+y 1y 4=1②，联立①②，消去y 1可得，4x 1x +9x 1y +18y ﹣36＝0，整理得，（4x +9y ）x 1+18y ﹣36＝0，令{18y −36=04x +9y =0，解得{x =−92y =2， 所以直线PQ 恒过定点(−92，2)，即选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 x ﹣2y ﹣1＝0 ． 解：圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，两圆方程相减可得x 2+y 2﹣[（x ﹣1）2+（y +2）2]＝1﹣4，即x ﹣2y ﹣1＝0， 则两圆的公共弦所在直线方程为x ﹣2y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣2y ﹣1＝0．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为√52． 解：因为BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12(B 1A 1→+B 1C 1→)=−12AB →+12AD →+AA 1→，所以BM →2=(−12AB →+12AD →+AA 1→)2=14AB →2+14AD →2+AA 1→2−12AB →⋅AD →−AA 1→⋅AB →+AD →⋅AA 1→=14×1+14×1+1−12×1×1×cos60°−1×1×cos30°+1×1×cos30°=54， 所以|BM →|=√52． 故答案为：√52． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ √17 ． 解：如图，∵PQ ∥AB ，∴|PQ||AB|=|PF 2||AF 2|=|QF 2||BF 2|=12，∵△PQF 2的周长为4，∴△ABF 2的周长|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝8 ∴a ＝2，∴椭圆方程为x 24+y 23=1，c 2＝4﹣3＝1，F 1（﹣1，0），直线AB 垂直x 轴，设A （﹣1，y 0），不妨设y 0＞0， 则14+y 023=1，解得y 0=32，即A(−1，32)，∴|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2=94+4=254，即|AF 2|=52， ∵∠F 2AF 1外角平分线AT 的垂线与直线BA 交于点N ， ∴|AF 2|=|AN|=52，又|AF 1|=32， ∴|NF 1|=52+32=4，则|ON|2=|NF 1|2+|F 1O|2=42+1=17， ∴|ON|=√17， 故答案为：√17．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 30 ． 解：|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的几何意义为点A ，B 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离的2倍， 由题可知，圆O ：x 2+y 2＝4的圆心O （0，0），半径为2，|AB|=2√3， 则|OM|=√22−(232)2=1，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆， 故点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的最大距离√32+42+1=3，所以|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的最大值为2×3＝6，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为30． 故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程． 解：（1）由题意知，k BP =0−(−3)3−6=−1， 因为P （3，0），所以直线BP 的方程为y ＝﹣（x ﹣3），即x +y ﹣3＝0， 联立{x +y −3=0x −y =0(x ≥0)，解得{x =32y =32，即A(32，32)．（2）不妨设A （a ，a ），B （﹣2b ，b ），a ＞0，b ＜0， 则线段AB 的中点为(a−2b 2，a+b2)， 因为线段AB 的中点为P ，所以{a−2b2=3a+b 2=0，解得{a =2b =−2， 所以A （2，2），B （4，﹣2），所以直线AB 的斜率为2−(−2)2−4=−2，因为直线AB 经过点P （3，0），所以直线AB 的方程为y ＝﹣2（x ﹣3），即2x +y ﹣6＝0， 故直线AB 的方程为2x +y ﹣6＝0．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．解：（1）FC →=FA →+AB →+BC →=−AF →+AB →+AD →=a →+b →−c →．（2）MN →=AN →−AM →=AN →−（AD →+DM →）=13AE →−（AD →+13DB →）=13（AB →+AF →）﹣[AD →+13（AB →−AD →）] =13（a →+c →）﹣[b →+13（a →−b →）] =(13−1)b →+13c →=−23b →+13c →． 19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件： （i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |． 解：（1）依题意，由{(x +3)2+y 2=9(x −1)2+y 2=9，解得{x =−1y =−√5或{x =−1y =√5， 因此圆C 1与圆C 2的公共弦的两个端点坐标分别为M(−1，−√5)，N(−1，√5)， 当圆C 的面积最小时，MN 是圆C 的直径，则圆C 的圆心为（﹣1，0），半径为√5， 所以圆C 的标准方程是（x +1）2+y 2＝5；（2）因为直线l 与直线√19x +y −3=0垂直，则设直线l 的方程为x −√19y +m =0， 而直线l 与圆C 相切，则有d =|−1+0+m|2√5=√5，解得m ＝1或m ＝﹣9，又因为l 在y 轴上的截距大于0，即√190，所以m ＝11，即直线l 的方程为x −√19y +11=0，而圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3， 点C 2到直线l ：x −√19y +11=0 的距离为d 2=|1+0+11|25=6√55，于是得|DE|=2√r 22−d 22=2√9−(655)2=6√55．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC=π3，H为BC的中点，P A＝PB＝PH=√2．E为PD上的一点，已知PD＝4PE．（1）证明：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求平面EAC与平面P AB夹角的余弦值．（1）证明：取AB中点O，连接PO，HO，∵P A＝PB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∵PA=√2，OA=12AB=1，∴PO=√PA2−OA2=1，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝2，又O，H分别为AB，BC中点，∴OH=12AC=1，∴OH2+PO2＝PH2，即PO⊥OH，∵OH∩AB＝O，OH，AB⊂平面ABCD，PO⊄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD；（2）解：连接CO，由（1）知：△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，CO=√3，以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，C(√3，0，0)，D(√3，−2，0)，P(0，0，1)，H(√32，12，0)， ∴AC →=(√3，1，0)，PD →=(√3，−2，−1)，PH →=(√32，12，−1)，PA →=(0，−1，−1)， 由PD ＝4PE 得：PE →=(√34，−12，−14)， ∴EA →=PA →−PE →=(−√34，−12，−34)， 设平面EAC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AC →⊥m →EA →⊥m →⇒⇒{AC →⋅m →=0EA →⋅m →=0⇒⇒{√3x +y =0−√34x −y 2−34z =0， 令z ＝1，解得：x =√3，y =−3，∴m →=(√3，−3，1)， ∵x 轴⊥平面P AB ，∴平面P AB 的一个法向量ℎ→=(1，0，0)， 设平面EAC 与平面P AB 的夹角为θ， 则cosθ=|cos ＜m →，ℎ→＞|=|m →⋅ℎ→||m →|⋅|ℎ→|=3√13=√3913，所以平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值为√3913． 21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 解：（1）设M （x ，y ），易知B(√3，−1)， 由k MA ⋅k MB =−13，得x+√3⋅x−√3=−13，化简得x 26+y 22=1，故椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1．（2）∵点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点， 故可设直线PN 的方程为x ＝my +x 0，P （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{x =my +x 0x 26+y 22=1，得(m 2+3)y 2+2mx 0y +x 02−6=0， ∴y 1+y 2=−2mx 0m 2+3，y 1y 2=x 02−6m 2+3，Δ＞0恒成立．又|PQ|=√1+m 2|y 1|，|QN|=√1+m 2|y 2|， ∴1|PQ|+1|QN|=√1+m2(1|y 1|+1|y 2|)=√1+m 212−y 1y 2，=1√1+m 2√(y1+y 2)2−4y 1y 2−y 1y 2=1√1+m 2⋅√(−2mx 0m 2+3)2−4⋅x 02−6m 2+3−x 02−6m 2+3=26−x 02√6m 2−3x 02+18m 2+1=26−x 02√6(m 2+6−x 022)m 2+1， 要使其值为定值，则6−x 022=1，故当x 02=4，即x 0＝±2时，1|PQ|+1|QN|=√6．综上，存在这样的稳定点Q （±2，0）． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．解：（1）由题意得，{2c =4√34a 2+3b 2=1a 2−b 2=c 2，解之得{a 2=16b 2=4c =2√3，故椭圆E 的方程为x 216+y 24=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx +t ． 将y ＝kx +t 代入x 216+y 24=1，整理得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，Δ＝（8kt ）2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣16）＞0，即16k 2+4﹣t 2＞0， 则x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−161+4k2，故|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k2．又原点O 到直线AB 的距离为d =|t|√1+k，所以S △AOB=12|AB|×d =12⋅√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k 2⋅|t|√1+k=2√(16k 2−t 2+4)t 21+4k 2≤16k 2+41+4k 2=4， 当且仅当16k 2﹣t 2+4＝t 2，即2+8k 2＝t 2……①时，等号成立． 由OQ →=λOA →+μOB →，得{x 0=λx 1+μx 2，y 0=λy 1+μy 2，代入x 0216+y 024=1，整理得λ2(x 1216+y 124)+μ2(x 2216+y 224)+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1，即λ2+μ2+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1⋯⋯②．而x 1x 216+y 1y 24=x 1x 216+(kx 1+t)(kx 2+t)4=(1+4k 2)x 1x 2+4kt(x 1+x 2)+4t 216=(1+4k 2)×4t 2−161+4k2+4kt×(−8kt 1+4k2)+4t216=t 2−2−8k22(1+4k 2)．由①可知x 1x 216+y 1y 24=0，代入②式得λ2+μ2＝1．故λ2+μ2＝1的值为1．。

湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2 3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．74．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D． [﹣3，﹣1]∪[1，3]7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上都不对8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为．12．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P是直线l 上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P 点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2．（5分）已知x，y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为y=b1x+a1，某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为y=b2x+a2，则以下结论正确的是（）A．b1＞b2，a1＞a2B．b1＞b2，a1＜a2C．b1＜b2，a1＞a2D．b1＜b2，a1＜a2考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用数据求出回归直线方程y=b1x+a1的系数，利用数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程y=b2x+a2的数据，比较可得结论．解答：解：由题意可知n=6，=，=∴b1==﹣，a1=，而由直线方程的求解可得b2=2，把（1，0）代入可得a2=﹣2，∴b1＜b2，a1＞a2．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．7考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现输出a值的周期是5，再根据条件确定最后一次运行的a值．解答：解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=5；第二次循环i=2，a=14；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=20；第五次循环i=5，a=10；第六次循环i=6，a=5；…，输出的a值的周期为5，∵跳出循环的i值为2015，∴第2014次循环的a=20．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现输出a值的周期是关键．4．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，根据两个队的标准差比较，甲队不如乙队稳定，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，选出正确的说法．解答：解：∵甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，∴甲队技术比乙队好，故①正确，∵甲全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，总上可知有4种说法正确，故选D．点评：本题考查方差与标准差，考查平均数，这是对于两组数据最常考查的内容，平均数可以反映数据的平均水平，方差反映数据的稳定程度，一般从这两个方面来把握数据．5．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果考点：随机数的含义与应用．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下32组随机数，在32组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共8组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下32组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、191、431、393、113，共8组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：C点评：本题考查模拟方法估计概率，解题的关键是利用等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D． [﹣3，﹣1]∪[1，3]考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知得圆上点到原点距离d=，从而2﹣≤|a|≤2+，由此能求出实数a的取值范围．解答：解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，由圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在点到原点的距离为，∴2﹣≤|a|≤2+，∴1≤|a|≤ 3解得1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．故选：D点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7．（5分）若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上都不对考点：概率的基本性质．专题：计算题．分析：通过举例子，得到满足P（A∪B）=P（A）+P（B）的两个事件不一定互斥也不一定对立．解答：解：设X是[0，1]上的均匀分布而事件A={0≤X≤0.5}事件B={0.5≤X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1但AB={0.5} 不是空集所以事件A和B不互斥而若事件A={0≤X＜0.5}事件B={0.5＜X≤1}显然P（A）=P（B）=0.5，而P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.5=1，P（AB）=0显然事件A和B不对立，但AB是空集故选：D．点评：本题考查要说明一个命题为假命题，只需一个反例即可，属于基础题．8．（5分）已知直线+1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．70条D．71条考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．解答：解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A．点评：本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．9．（5分）我班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”．在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．解答：解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选D．点评：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．10．（5分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，有下列三个结论，其中正确的个数是（）①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，它把三棱锥的体积分成相等的两部分．A．0B．1C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①取AD的中点H，BC的中点G，利用特殊值法即可判断；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．解答：解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，故③正确．综上可知：只有③正确．故选：B点评：本题考查了线面平行的判定与性质、共面公理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为8888（9）．考点：进位制．专题：算法和程序框图．分析：先把5进制的数（22222222）3化为十进制数再变为七九进制数，用除k取余法．解答：解：（22222222）3=2×30+2×31+2×32+2×33+2×34+2×35+2×36+2×37=6560，∵6560=8×90+8×91+8×9 2+8×93∴把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果是8888（9）故答案为：8888（9）点评：本题考查进位制之间的换算，熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀．12．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：第二次打开门的概率为．解答：解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为．故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式的应用，明确第二次打开门所表示的意义，是解题的关键．13．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用两点之间的距离公式、三角形的三边大小关系即可得出．解答：解：=+++．∵x，y∈（0，1），如图所示．∴+++=|OP|+|PC|+|PA|+|PB|≥|OB|+AC|=2．∴的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了两点之间的距离公式、三角形的三边大小关系、数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知A={（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．考点：交集及其运算；抛物线的简单性质．专题：集合．分析：分别画出集合A={（x，y）|}|x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆，欲使得A∩B≠∅，只需点A 或点在圆内即可．解答：解：分别画出集合A={（x，y）|}|x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆，如图所示，欲使得A∩B≠∅，只需点A或点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）如图，P为60°的二面角α﹣l﹣β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为2．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；空间角．分析：作出P关于两个平面α，β对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，由已知条件推导出△PAB周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN，即为△PAB周长的最小值．解答：解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角α﹣l﹣β，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120°，根据余弦定理有：MN2=MP2+NP2﹣2MP•NP•cos∠MPN=42+62﹣2×4×6×（﹣）=76，∴MN=2，∴△PAB周长的最小值等于2．故答案为：2．点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，注意运用对称的方法，同时考查二面角的定义和求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本，员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元，求甲乙同时被抽到的概率．考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率．解答：解：（1）由题意，第一个小矩形的高度为0.0002，公司员工的月平均收入0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元（3分）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）；（3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知，甲、乙同时被抽到的概率为（6分）点评：本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数，属基本知识、基本运算的考查．17．（12分）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员，每个瓶子1角钱．垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：（1）01连在一起时有15中情况；12连在一起时有10种情况；23连在一起有11种情况；34连在一起有11种情况；45连在一起有11种情况；56和34一样，67和23一样；78和12一样；89和01一样，共有105种；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论．解答：解：（1）01连在一起时有15中情况；12连在一起时有10种情况；23连在一起有11种情况；34连在一起有11种情况；45连在一起有11种情况；56和34一样，67和23一样；78和12一样；89和01一样，共有105种．（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面．所以共有．（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关．所以．点评：本题考查排列、组合的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，直线l的方程为x﹣2y=0，点P是直线l 上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由题可知，圆M的半径r=2，，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；（2）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点．解答：解：（1）由题可知，圆M的半径r=2，，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°又因MP==2r，又∠MPA=30°，∠APB=60°；（6分）（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，解得或，所以圆过定点（6分）点评：本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查两圆位置关系，确定圆的方程是关键．19．（12分）边长为2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC（1）如果E、F分别为AB、BC中点，分别将△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于点P．证明：在折叠过程中，A点始终在某个圆上，并指出圆心和半径．（2）如果F为BC的中点，E是线段AB上的动点，沿DE、DF将△AED、△DCF折起，使A、C重合于点P，求三棱锥P﹣DEF体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论．（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论．解答：解：（1）∵E、F分别为AB、BC中点，在平面图形中连结AF，BD交O点，AF 交DE于M，则O为三角形DEF的垂心，三角形AED在沿DE的折叠过程中，AM始终垂直于DE，∴过A在过M且与DE垂直的平面上，又AM=，∴A在以M为圆心，AM为半径的圆上．（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，故PD⊥平面PEF，∴当三角形PEF面积最大时，三棱锥P﹣DEF体积最大，设PE=t，∠EPF=α，则（2﹣t）2+1=1+t2﹣2tcosα，即cosα=，则=，故当t=时，体积最大为．点评：本题主要考查考查空间几何体的折叠问题，以及三棱锥的体积计算，综合性较强，难度较大．20．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）连结MO，由已知条件推导出MO∥A1C，由此能证明A1C∥平面BMD．（Ⅱ）由已知条件推导出BD⊥面A1AC，AO=AC=，由此能证明A1O⊥平面ABCD．（Ⅲ）以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD．…（3分）（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵AB=CD=2，∠BAD=60°，∴AO=AC=，又∵AA1=2，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，又∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD．…（7分）（Ⅲ）解：如图，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，由题意知，C（﹣，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），∵，∴，∵M（），∴=（﹣，1，﹣），，=（﹣2，﹣1，3），设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得，…（9分）∴cos＜＞==﹣，…（11分）∴直线BM与平面BC1D所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．21．（13分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内一点（C为圆心），过P 点的动弦AB．（1）如果P（1，1），，求弦AB所直线方程．（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）当AB⊥x时，a=2，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大；（3）求出圆C在A、B处的切线方程，可得AB的方程，点P（x0，y0）在AB上，即可得出结论．解答：解：（1）当AB⊥x时，a=2，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大，∵NC≤PC，∴N，P重合时，∠PAC最大，此时PA⊥PC，直线AP的方程为y=﹣x+2；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x′，y′），圆C在A、B处的切线方程分别为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1﹣2）（y﹣2）=8，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2﹣2）（y﹣2）=8，它们交于点M，所以，，∴AB的方程为（x﹣2）（x′﹣2）+（y﹣2）（y′﹣2）=8，∵点P（x0，y0）在AB上，∴（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8，∴动点M的轨迹方程为（x0﹣2）（x′﹣2）+（y0﹣2）（y′﹣2）=8．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2020~2021学年度上学期武汉二中期中考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 命题“0x ∀>，使得sin x x >”的否定是（ ）A. 00x ∃≤，使得00sin x x <B. 00x ∃>，使得00sin x x ≤C. 0x ∀>，使得sin x x ≤D. 0x ∀≤，使得sin x x >2. 若点()()()1,1,2,0,3,0,1,0,1A B C --，点D 在z 轴上.且AD BC ⊥，则AD =（ ）B.C. D. 63. 设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A. 0m S <且10m S +>B. 0m S >且10m S +>C. 0m S <且10m S +<D. 0m S >且10m S +<4. 若P 是两相交平面,αβ外的任意一点，则过点P （ ）A. 有且仅有一条直线与,αβ都平行B. 有且仅有一条直线与,αβ都垂直C. 有且仅有一条直线与,αβ都相交D. 以上都不对 5. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为α的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方)两点，若3AF BF =，则α的值为（ ） A. 30︒ B. 120︒C. 60︒D. 60︒或120︒ 6. 在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ）A. 35B. 35C. 53D. 53- 7. 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D P D Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -关于直线b y x a =-的对称点Q 在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. 5B. 5C. 3D. 3 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 已知双曲线222cos ,32x y k k Z πθθπ⎛⎫-=≠+∈ ⎪⎝⎭，则不因θ改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，下列结论正确的有（ ）A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角为4πB. C 到平面11ABC D 的距离为长22C. 两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4πD. 三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均直角三角形 11. 已知曲线22:1C mx ny -=，下列说法正确的是（ ）A. 若0mn >，则C 为双曲线B. 若0m >且0m n +<，则C 为焦点在x 轴的椭圆C . 若0,0m n ><，则C 不可能表示圆D. 若0,0m n >=，则C 两条直线 12. 已知P 是左右焦点分别为12,F F 的椭圆22142x y +=上的动点， ()0,2M ,下列说法正确的有（ ） A. 124PF PF +=B. 12PF PF -的最大值为22C. 存在点P ，使12120F PF ︒∠=D. MP 的最大值为22+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 双曲线2213y x -=的左焦点到其渐近线的距离为__________．14. 直线l 与抛物线22y x =相交于点,A B 且90AOB ︒∠=，则AOB ∆面积的最小值为__________． 15. 若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =_________n S =_____ 16. 空间四边形ABCD 中，2,3,,AB AD BD AC BC DC BC DC =====⊥，则其外接球表面积__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．17. 已知命题:p 方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题:q 方程22115x y m a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，30,15n a S >=，公差1d >且 从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“②等比数列{}n b 的公比12331,,2q b a b a ===”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 19. 已知圆222440x y x y +--+=；（1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点()00,P x y 向该圆引一条切线，切点为,M O 为坐标原点，且有PM PO =，求PM 的最小值.20. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值.21. 设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，过点A 的直线l 与C 交于M N 、(M 在x 轴上方)两点. (Ⅰ)当2MA AN =时，求直线l 的方程；(Ⅱ)在x 轴上是否存在点B ，使得ABM ABN ∠=∠,若存在，求B 点出坐标，若不存在，说明理由． 22. 若曲线Γ上任意一点P 与点()()2,0,2,0A B -连线的斜率之积为14-，过原点的直线与曲线Γ交于,M N 两点，其中点M 在第二象限，过点M 作x 轴的垂线交AN 于点C ．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较2AM 与AC AN ⋅大小.。