4. 试写出图1所示单跨梁和矩形板结构的边界条件。
(10分)
解答：
图1(a)的边界条件为：
0,0,()
,(),0x v v EIv m x l v A EIv F v θα'''====-⎧⎨
'''''==+=⎩
图1(b) 的边界条件为：
2
22
332
22
320,0,00,0,00,0,0,0,(2)0w w y w x w y x w w w w w
x w y b x y x y x y
μμ∂⎧
∂⎧
======⎪⎪∂⎪⎪∂⎨⎨∂∂∂∂∂⎪⎪====+=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎩
⎩
5. 试用初参数法求图2中的双跨粱的挠曲线方程式，己弹性文座的柔性系数为：
3
3l A EI
=。
(20分)
解：选取图2所示坐标系，并将其化为单跨梁。由于000v θ==，故该双跨梁的挠曲线方
程为：
23
3
001()()266x l
M x N x R x l v x EI EI
EI
=-=+-
(1)
式中M 0、N 0、R 1可由x =l 的边界条件v (l )=0，和x =2l 的边界条件(2)0EIv l ''=及
(2)[(2)]v l A EIv l F '''=+。由式(1)，可给出三个边界条件为：
000011001026
20
4
2()363M N l
M N l R l R l l M Nl N R F ⎫+=⎪⎪
+-=⎬⎪⎪
+-=-+⎭ (2) 解方程组式(2)，得
0012610,,11
11
11
M Fl N F R F =-==
将以上初参数及支反力代入式(1)，得挠曲线方程式为：
23
35()()111133x l
Fl F F
v x x x x l EI EI
EI
==-
+-- 一． （15分）用初参数法求图示梁的挠曲线方程，已知3l EI α=，3
6l A EI
=，
q 均布。
解：梁的挠曲线方程为：
处的边界条件为： ;
处的边界条件：
故有：
及
有二式可解得：；
于是梁的挠曲线方程为：
三、(20分）用能量法求解如图所示梁的静不定性。已知图中E 为常数，柔性系数
，端部受集中弯矩m 作用，悬臂端的惯性矩是其余部分的2倍。
解：取挠曲线函数为 ，满足梁两端的位移边界条件，即
x=0时，
x=3L/2时,
说明此挠曲线函数满足李兹法的要求，下面进行计算。 (1) 计算应变能。
3/(12)A l EI
此梁的应变能包括两部分，一是梁本身的弯曲应变能 ，二是弹性支座的
应变能
。注意到梁是变断面的，故有
总的应变能为
(2)计算力函数。
此梁的力函数为
(3) 计算总位能
故梁的挠曲线方程为
弹性支座处的挠度为
四、（20）用位移法求解下图连续梁的静不定问题。已知：
， ， ， ，画出弯矩图。
P ql =1223l l l ==1223I I I ==/(6)
l EI α=
解：设节点1、2、3的转角为，由题意可知。
根据平衡条件有
节点1：
节点2：
其中：
将其代入整理，联立求解得：
;
故：；
；
；
弯矩图：
四、（20分）用力法求解下图连续梁的静不定问题。已知：其中杆件EI为常数，
分布力
q2P/L,集中弯矩m=PL，画出弯矩图。
解: 本例的刚架为一次静不定结构，现将支座1处切开，加上未知弯矩M
1
，原来作用于节点1上的外力矩m可考虑在杆0-1上亦可考虑在杆1-2上，今考虑在杆1-2上。于是得到两根单跨梁如上图所示。
变形连续条件为节点1转角连续，利用单跨梁的弯曲要素表，这个条件给出:
解得：
弯矩图：
6、用位移法计算下面刚架结构的杆端弯矩
为了书写方便，将钢架的各节点分别命名为0、1、2和3，如上
面右图所示。
解：1、确定未知转角的数目
本题0、1、2三个节点都可能发生转动，故有三个未知转角 。
解题时将以上三个节点作刚性固定。
2、计算各杆的固端弯矩
01
qL2
M10 =
qL2
M12 = M13 =M21 =
M31 =
3、计算因转角引起的杆端弯矩
M01 =
′4EI01
L
θ0+
2EI01
L
θ1
M10 =
′4EI01
L
θ1+
2EI01
L
θ0
M12 =
′4EI12
L
θ1+
2EI12
L
θ2
M21 =
′4EI12
L
θ2+
2EI12
L
θ1
θ0θ1θ
2
、、
