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第二节 应变分析物体受作用力→内部质点相对位置改变(产生了位移) →形状的变化→变形。
应变是表示变形大小的一个物理量。
物体变形时各质点在各方向上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的概念。
点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相似的性质。
应变分析主要是几何学和运动学的问题，它与物体中的位移场或速度场有密切的联系，位移场一经确定，则变形体内的应变场也就确定。
研究应变问题往往从小变形 (数量级不超过3210~10--的弹—塑性变形) 着手，但金属塑性加工是大变形。
这里除了采用应变增量或应变速率外，还对有限应变作一定的分析。
一、位移和应变 (一)位移及其分量根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，即或式(3—41)表示变形物体内的位移场。
设受力物体内任一点M ，其坐标为(x ．y ，z)，小变形后移至M 1，其位移分量为u i (x ，y ，z)。
与M 点无限接近的一点M ’点，其坐标为(x+dx ，y+dy ，z+dz)，小变形后移至'1M ，其位移分量为'i u (x+dx ，y+dy ，z+dz)。
将函数'i u 按泰勒级数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，则得式中 i i j ju u dx x δ∂=∂称为M ’点相对于M 点的位移增量。
i u δ可写成若无限接近两点的连线MM ’平行于某坐标轴，例如MM ’//x 轴，则式(3—43)中，dx ≠0，dy=dz=0，此时，式(3—43)变为式(3—42)说明，若已知变形物体内一点M 的位移分量，则与其邻近一点M ’的位移分量可以用M 点的位移分量及其增量来表示。
(二)应变及其分量1. 名义应变及其分量名义应变又称相对应变或工程应变，适用于小应变分析。
而棱边PA在x轴方向上的线应变为将单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量称为相对切应变，也称工程切应变，即这样，变形单元体有三个线应变和三组切应变，即图3—25a 所示情况相当于单元体的线元PA 和PC 同时偏转xy r 和yx r (图3—25b)，然后整个单元体绕z 轴转动一个角度z w (图3—25c)。
第三部分 塑性力学1、设有一高为H 的长方体均匀变形，已知顶端质点的小量级的压下量为0u ，底面的质点静止不动，将中心线取作Oz 轴，O 为底面的形心，Ox 轴与Oy 轴分别平行于长方体的两条水平横线，试由体积不变这一条件出发，证明该长方体的位移场为000,,22x y z x y z u u u u u u H H H ===-2、设有一高为H 的圆柱体，先均匀拉伸到2H ，再均匀压缩回H ，设在变形过程中体积保持不变，试分别求出这两个阶段的对数应变、等效对数应变及最终的对数应变、等效对数应变？3、设薄球壳的半径为R ，厚度为t （t R ），承受内压P ，试用Mises 屈服准则求薄球壳屈服时的内压P ？4、有一刚塑性硬化材料，其硬化曲线、也即等效应力－应变曲线为200(1)M Pa σ=+∈。
质点承受两向压力，应力主轴始终不变。
试按下列两种加载路线分别求出最终的塑性全量主应变123,,εεε：a ） 主应力从0开始直接按比例加载到最终主应力状态为（300，0，-200）MPa 。
b ） 主应力从0开始按比例加载到（150，0，100）MPa ，然后按比例变载到（300，0，-200）MPa 。
5、已知刚塑性变形体中的某质点处的平面应力张量为6030⎡--⎥⎦MPa ，应变分量x d εδ=-（0δ>为一微量），试求应变增量张量及塑性功增量密度。
6、设有薄壁圆筒，半径为r ，两端面是半径为r 的薄壁半球壳，设壁厚全部为t ，承受内压p 。
设圆筒为Mises 刚塑性材料，屈服应力为s σ。
试求：（1）不计径向应力r σ，确定圆筒与半球壳哪一部分先屈服？（2）设屈服时的等效应变增量为0δ>，试求对应的应变增量张量？7、设圆柱体在平行砧板之间镦粗，高度为H ，半径为R 0，真实应力为σ，摩擦应力为μσ，试用主应力法求镦粗时的的单位流动压力。
8、大圆柱拉深为小圆筒，如图示，设变形只发生在工件的圆锥面上，锥面与轴线的夹角为α，不计接触面上的摩擦应力，且忽略凹模出口处的弯曲效应，圆筒的t 且在拉深时保持不变，试用主应力法求拉深力？。
