2017-2018学年高中数学人教A版必修4练习：3-2 简单的三角恒等变换 课堂强化 含解析 精品

第三章 三角恒等变换（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数sin2y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ） A ． π12x =B ． π12x =-C ． π6x =D ． π6x =- 【答案】B2. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ ） A.12 B.13C.14 D.15【答案】B【解析】103)22cos(cos 2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-= 2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍3. θ为锐角，sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512 B ．724 C ．247 D ．1225【答案】A【解析】因为θ为锐角，且sin()410θπ-=(0,)42θππ-∈，所以cos()410θπ-=，所以1tan()47θπ-=，即tan tan1471tan tan4θθπ-=π+，解得3tan 4θ=，所以13425tan tan 4312θθ+=+=，故选A ． 4．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A.34-B.34C.43-D.43【答案】B 【解析】由sin cos 1sin cos 2αααα+=-可得3tan -=α,则439162tan =--=α,故应选B.5．若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭π，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.95 B.1 C.35- D.75-【答案】A【解析】3tan 1tan 1)4tan(-=-+=+ααπα，解得2tan =α，2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+214tan 9tan 15αα+==+.故选A. 6. 【2018届天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高三上学期期中】若点()cos ,sin P αα 在直线2y x =-上，则2sin cos 22παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. 0 B. 25 C. 65 D. 85【答案】D7. 【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考】若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan 21tan2αα+=-（ ）A. 12-B. 12C. 2D. -2 【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-， α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin21cos sin 1tan cos cos sin 2222221tan sin cos sin cos sin cos sin 222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．8.【2018届四川省成都市双流中学高三11月月考】若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，则，可得，则，故选C.9.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上学期期中】下列各式） A. 0sin15cos15 B. 22cos sin 1212ππ- C. 001tan151tan15+-【答案】B【解析】A. 00011sin15cos15sin3024== B ．22cos sin cos12126πππ-==C ． 001tan151tan15+- 0tan752==D ．0cos15= 故答案为B.10．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin(2)2πθ+=（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．10【答案】D11.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ) A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 【答案】A【解析】化简函数)62sin(2)26sin(22sin 32cos 2sin 3sin 21)(2ππ--=-=-=--=x x x x x x x f 的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则)22sin(2)]22(sin[2)22sin(2]6)3(2sin[2)3()(πππππππ-=++-=+-=-+-=+=x x x x x f x g ，故选A ．12.已知02πα<<，02πβ-<<，3cos()5αβ-=-，4tan 3α=，则sin β=（ ）A ．725B ．725-C.2425 D ．2425- 【答案】B【解析】根据α和β的范围得出βα-的范围，然后由)cos(βα-和αtan 的值，利用同角三角函数间的基本关系，即可求出)sin(βα-，αsin 及αcos 的值，然后由)(βααβ--=，利用两角差的正弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求出值． 因为20πα<<，02<<-βπ，得到πβα<-<0，由53)cos(=-βα，得到54)53(1)sin(2=-=-βα， 由43tan =α，得到54tan 11cos 2=+=αα，则53sin =α，则)sin(cos )cos(sin )](sin[sin βααβααβααβ---=--= 25754545353-=⨯-⨯=，故答案为：257-. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.求值__ __． 【答案】 【解析】由题意可得，由诱导公式得14.若1tan 4α=，则tan()4πα-= . 【答案】35【解析】由题tantan 1tan 34tan()41tan 51tantan 4παπααπαα---===++.故本题答案应填35.15. 【2018届山东省潍坊市高三上学期期中】已知，，则__________． 【答案】 【解析】，又，，∴，∴故答案为：. 16．已知sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）求值：．【解析】sin10cos 40sin 5013cos 40sin 5013tan10cos10701cos 40sin 701cos 40⎛++ ++=++ cos103sin10cos 40sin 50701cos 40⎫++⎪⎝⎭+2sin 40cos 40sin 50cos10701cos 40++2sin 40cos 40cos 40cos10701cos 40sin 701cos 40+=++22222cos 207012cos 201==+- . 18．（本小题12分）【2018届河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知tan 2α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值. 【答案】（1）-3（2）1【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可． （2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 试题解析：（1）tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭- tan 12131tan 12αα++===--- （2）原式()2222222sin cos sin sin cos 2cos 112sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222ααααααααααααααα=+---=+-⨯===+-+- 19．（本小题12分）已知向量()()1,3,cos ,sin OA OB a a =-=-，且2AOBp?． （1）求()2sin 2cos sin 2cos 21p a aa a -+++；（2）若α是钝角，a b -是锐角，且()3sin 5a b -=，求sin β的值． 【答案】（1）14；（2【解析】 （1）02AOB OA OB π∠=∴⋅=,1cos 3sin 0tan 3ααα∴--=⇒=-，()222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11sin 2cos 212sin cos 2cos 2tan 24παααααααααααα-+++===++++ （2）∵α是钝角，1tan 3α=-，cos 1010αα∴=-=， ∵αβ-为锐角，()3sin 5αβ-=， ()4cos 5αβ∴-=．()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ∴=--=---=⎡⎤⎣⎦． 20．（本小题12分）【2018届全国18名校大联考高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=， ()cos ,1n α=-，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求sin2α和cos2α的值；（2）若()sin αβ-=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β. 【答案】（1）4sin25α=， 3cos25α=-；（2）4πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=， sin α=则sin22sin cos ααα== 42555⨯=. 2cos22cos 1αα=-= 132155⨯-=-.21.（本小题12分）已知函数()22cos f x x x =-． （1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）0；（2）()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.【解析】试题分析：（1）由三角函数二倍角公式和化一公式化简原式子，代入要求的函数值即可；（2）根据三角函数的单调性求得单调区间即可.（1）函数()22cos f x x x =-，∴22πππ22cos 2666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0=；（2）()21cos2π2cos 2cos212sin 2126x f x x x x x x x +⎛⎫=-=-⋅=--=-- ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+， k Z ∈， 解得ππππ63k x k -+≤≤+， k Z ∈；所以函数()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．22．（本小题12分）设向量()4cos ,sin a αα=，()sin ,4cos b ββ=，()cos ,4sin c ββ=-。

552＝35，
所以
cos56π－2α＝cos56πcos
2α＋sin56πsin

2α＝－

23×35＋12×－45＝－4＋130
3 .
整合创新
例 2 (1)已知锐角 α，β 满足 sin α＝ 55，cos β＝31010，则 α＋β 等于( )
ACC..34πr4πeaDBt．.eπ42或dkπ34w＋π π4it(kh∈AZs) pose.SlEidvaelsufaotrio.Nn EoTnl3y..5 Client Profile 5.2.0.0. (2)已知方程 x2＋3aCxo＋p3ay＋ri1g＝h0t(a2＞010)的4两-2根0分11别为Astapnosαe，taPntyβ，L且tdα.，β∈－π2，π2，
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
单元回眸
【知识辨析】
判断下列说法是否正确．(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)存在实数 α，β，使等式 (2)在锐角△ABC 中，sin
Asisni(nα＋EBβv)和＝alscuionas tαiAo＋cnosisnoBnβl的成y.大立小．关( 系不) 确定．(
(2)由
得
由 θ∈－π2，π2知 cos θ≠0，解得
整合创新
题型二 三角函数式的化简
[类型总述] (1)弦切互化；(2)利用二倍角公式升幂降幂；(3)辅助角公式．
C例r3ea(t1e)化d简w：it2ht2CacnooAsp4sπ4x－py－rox2icgssoienhs22.xtπ4S＋＋2lEi120dxv＝0ael4s_u_-fa_2o_t0_ri_o1_.Nn_1．EoATnspl3yo..5seClPietyntLtPdr.ofile 5.2.0.0.

π
( π) ( π)
(π 3π) (π 3π) (
= 2sin ������������ + ������ + 4 ,由最小正周期为 π 得 ω=2,
由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,又|φ|<2,所以 φ=4,所以 f(x)= 递减. 答案 A 7.若 tan α=7,则 sin2������ = . 解析因为 tan α=1 + cos2������ = 7,所以 sin2������ =7. 答案 7 8.已知 f(x)=sin x+ 3cos x,且锐角 θ 满足 f(θ)=2,则 θ= . 2
π
π
3
3
3cos ������ - ,所 6
(
π
)
3m 导学号 68254108 已知 sin α=13,sin(α+β)=5,α,β 均为锐角,求 cos 2的值. 1 - sin2������ = 13,
5 12 4 ������
解∵0<α<2,∴cos α=
π π
∵0<α<2,0<β<2,∴0<α+β<π,
2tan19° 1 - tan219°
=tan 38°,c=
1 - cos72° =sin 2
36°,又 tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以
b>a>c.
答案 A 5.已知 cos������ = 5,则1 + sin������的值等于( ) A.5
3 1 - sin������ 3 cos������
������ + ������
①

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。