小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理）（一）等积变换模型性质与应用简介平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。
1.等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。
【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。
事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。
（二）鸟头定理（共角定理）模型平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。
蝴蝶模型坎迪定理:如图，已知M (m ,0),H a 2m,0 ,AC 与BD 交于点M ，（1）定点1ME -1MA 1=1MG -1MA 2（必须记住） （2）斜率比k AB k CD=HGHE 题型01：证明直线过定点⇒ 坐标转化之后需要先通分题型02：证明两直线的斜率比为定值 ⇒坐标转化之后不通分例题01——已知椭圆 x 216+y 212=1 左焦点为 F 1,过F 1且斜率为 k 1 的直线与椭圆交于 M ,N .D (1,0) ，设直线 MD ,ND 分别交椭圆于 P ,Q , 直线 PQ 的斜率为 k 2,求 k1k 2对偶式法破斜率比 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4)MDP 共线轴点弦 x 1y 3-x 3y 1=y 3-y 1平方点代 x 1y 3+x 3y 1=16y 1+y 3 ⇒x 1y 3=172y 3+152y 1x 3y 1=172y 1+152y 3⇒y 3=15y 12x 1-17x 3=172+1522∙12x 1-17同理根据NDQ 三点共线y 4=15y 22x 2-17，x 4=172+152∙152x 2-17⇒k 2=y 4-y 3x 4-x 3=15y 22x 2-17-15y 12x 1-171522∙(12x 2-17-12x 1-17)=215∙2(x 1y 2-x 2y 1)-17(y 2-y 1)-2x 2-x 1 MF 1N 三点共线⇒x 1y 2-x 2y 1=-2(y 2-y 1)⇒k 2=2115∙y 2-y 1x 2-x 1=75k 1⇒k 1k 2=57OxyMNQPDOxyA B CD MG EA 1A 2例题02——已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32，直线l :y =k x +1 (k >0)与E 交于不同的两点M ,N .(1)求E 的方程； （x4+y 2=1）(2)设点P 1,0 ，直线PM ,PN 与E 分别交于点C ,D .①判段直线CD 是否过定点？②记直线CD ,MN 的倾斜角分别为α,β，当α-β取得最大值时，求直线CD 的方程设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)MPC 共线轴点弦 x 1y 3-x 3y 1=y 3-y 1平方点代 x 1y 3+x 3y 1=4y 1+y 3 ⇒x 1y 3=52y 3+32y 1x 3y 1=52y 1+32y 3⇒y 3=3y 12x 1-5x 3=52+92∙12x 1-5=5x 1-82x 1-5同理y 4=3y 22x 2-5，x 4=52+92∙12x 2-5=5x 2-82x 2-5①设直线CD 与x 轴的交点为(m ,0)x 3y 4-x 4y 3=m y 4-y 35x 1-82x 1-5∙3y 22x 2-5-5x 2-82x 2-5∙3y 12x 1-5=m (3y 22x 2-5-3y 12x 1-5)⇒15(x 1y 2-x 2y 1)-24(y 2-y 1)=m [6(x 1y 2-x 2y 1)-15(y 2-y 1)]∵x 1y 2-x 2y 1=-(y 2-y 1)⇒-39(y 2-y 1)=-21m (y 2-y 1)⇒m =137 因此直线CD 过定点(137，0）②⇒k CD =y 4-y 3x 4-x 3=3y 22x 2-5-3y 12x 1-592∙(12x 2-5-12x 1-5)=6(x 1y 2-x 2y 1)-15(y 2-y 1)9x 1-x 2=-21-9y 2-y 1x 2-x 1=73k MN⇒αtan =73βtan 令αtan =7m ，β=3mtan ⇒(α-β)tan =αtan -βtan 1+αtan ∙βtan =4m 1+21m 2=41m +21m≤4221=22121当且仅当m =2121时不等式取等，此时k CD =7m =213l CD :y =213 （x -137）OxyPM NCD例题03——南昌一模 (1)已知椭圆方程为x 24+y 2=1,A (-4,0)（2）过点B (-52,32)的直线与椭圆交于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 分别交椭圆于M ,N ，求直线MN 的斜率法01：对偶式＋坐标转换设P (x 1,y 1) ，Q (x 2,y 2) ，M (x 3,y 3) ，N (x 4,y 4)根据AMP 共线轴点弦 x 1y 3-x 3y 1=-4y 3-y 1 平方点代 x 1y 3+x 3y 1=-y 1+y 3 ⇒x 1y 3=-52y 3+32y 1x 3y 1=-52y 1+32y 3⇒y 1=3y 32x 3+5x 1=-5x 3-82x 3+5同理y 2=3y 42x 4+5 ，x 2=-5x 4-82x 4+5 根据k PB =k QB ⇒y 1-32x 1+52=y 2-32x 2+52⇒y 3-y 4=x 3-x 4⇒k MN =1法02：不动脑子的三角代换P (21-t 121+t 12,2t 11+t 12) ，Q (21-t 221+t 22,2t 21+t 22) ，MN 对应t 3,t 4l PQ :2y (t 1+t 2)+x (1-t 1t 2)=2(1+t 1t 2)根据A ,M ,P 共线⇒t 1t 3=3⇒t 1=3t 3根据A ,N ,Q 共线⇒t 2t 4=3⇒t 2=3t 4根据B ,P ,Q 共线⇒3(t 1+t 2)-52(1-t 1t 2)=2(1+t 1t 2) 将t 1,t 2代入化简得2(t 3+t 4)=t 3t 4-1 因此k MN =2t 31+t 32-2t 41+t 4221-t 321+t 32-21-t 421+t 42=(t 4-t 3)(t 3t 4-1)2(t 42-t 32)=1法03：定比点差法 设MA =λAP⇒x 3=-52+-32λx 1=-52+-321λy 3+λy 1=0 设NA =λAQ⇒x 4=-52+-32μx 2=-52+-321μy 4+λy 2=0根据k PB =k QB⇒y 1-32x 1+52=y 2-32x 2+52⇒λy 1-32λ=λy 2-32u ⇒y 3+32λ=y 4+32u ⇒y 4-y 3=32(λ-μ)⇒k MN =y 4-y 3x 4-x 3=32(λ-μ)-32(μ-λ)=1当过的点不在坐标轴上时，用定比点差速度最快，过程默写Oxy B (-52,32)PQ AM N01.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为23，半焦距为c c >0 ，且a -c =1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1k 1≠0 的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当k 1=1时，求S △AOB 的值；(3)设R 1,0 ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．02.如图，在平面直角坐标系中，F 1，F 2分别为双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线离心率为2，若点A 为双曲线右支上一点，且|AF 1|-|AF 2|=22，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：x 1y 2-x 2y 1=2(y 2-y 1)(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1，k 2.试判断k 2k 1是否为定值，OxyPQ AB F 2F 103.椭圆 E :x 25+y 2=1 的四个顶点为 A ,B ,C ,D , 过 F 1 且斜率为 k 的直线交椭圆 于 M , N(1)求四边形 ABCD 的内切圆的方程;(2)设 R (1,0), 连结 MR ,NR 并延长分别交椭圆 E 于 P ,Q 两点, 设 PQ 的斜率为 k . 则是否存在常数 λ, 使得 k =λk 恒成立?04.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ，并且经过点P 43,13 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，设直线AF 1,BF 1与C 的另一个交点分别为M ，N ，记直线AB ，MN 的倾斜角分别为α,β，当α-β取得最大值时，求直线AB 的方程.Oxy RQPC MNA DBF 105.将x 2+y 2=2上各点的纵坐标变为原来的2λ20<λ<2 倍(横坐标不变)，所得曲线为E ．记P -2,0 ，Q 1,0 ，过点p 的直线与E 交于不同的两点A ，B ，直线QA ，QB 与E 分别交于点C ，D ．(1)求E 的方程：(2)设直线AB ，CD 的倾斜角分别为α，β．当0<α<π2时，(i )求tan αtan β的值：(ii )若β-α有最大值，求λ的取值范围06.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 焦距为22，过点2,33 ，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B .(1)求椭圆M 的方程；(2)设P -2,0 ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ､D 和点Q -74,12共线，求实数k 的值.07.已知椭圆C :x 2a 2+y b2=1a >b >0 的长轴长为4，离心率为12，定点P -4,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AB 与椭圆C 分别交于点A ,B (P 不在直线AB 上)，若直线PA ，PB 与椭圆C 分别交于点M ，N ，且直线AB 过定点Q -52,32，问直线MN 的斜率是否为定值？08.已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b2=1的离心率为 22, 过点 A (-6,0) 作椭圆 C 的两条切线 l 1、l 2 互相垂直.(1) 求椭圆 C 的方程;x 224+y 212=1(2) 若直线 l :y =x +t 与椭圆交于 P 、Q 两点,直线 AP 与椭圆交于点 M , 直线 AQ 与椭圆交于点 N , 试判断直线 MN 是否过定点,并说明理由.Oxy PQM AN09.已知椭圆Γ:x28+y4=1，过原点O的直线交该椭圆Γ于A，B两点(点A在x轴上方)，点E4,0，直线AE与椭圆的另一交点为C，直线BE与椭圆的另一交点为D．(1)若AB是Γ短轴，求点C坐标；(2)是否存在定点T，使得直线CD恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．10.已知抛物线y2=2px的焦点为F，点O为坐标原点，一条直线过定点M4,0与抛物线相交于A、B两点，且OA⊥OB.(1)求抛物线方程；(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C、D两点，求证：直线CD过定点.11.抛物线E：y2=2px，其焦点与准线的距离为6，过点M4,0作直线l1，l2与E相交，其中l1 与E 交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若AD，BC的斜率为k1，k2(1)求抛物线E的方程；(2)问k1k2是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由．12.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D p,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程。
几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型☆基础题1、如图，S△AOB＝24平方厘米，S△AOD＝18平方厘米，S△COD＝12平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？2、如图，S四边形ABCD＝52平方厘米，S△AO B＝7平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？3、如图，S四边形ABCD＝56平方厘米，S△AOB＝8平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？4、如图，S△ACB＝27平方厘米，S△ACD＝18平方厘米，DO＝15厘米，则BO多少厘米？5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．AB垂直AC，并且已知AO＝4厘米，AB＝5厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？☆☆提高题1、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？2、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？3、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？4、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？5、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？6、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是21和49，则三角形BEN的面积为多少？7、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是23和53，则三角形BEN的面积为多少？☆☆☆竞赛题1、已知梯形ABCD的面积是32，AD：BC＝1：3，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？2、已知梯形ABCD的面积是48，AD：BC＝1：2，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？3、如图所示，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是2、5、8平方厘米，求四边形OFBC的面积？几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型能力达标卷答案解析☆基础题1、答案：16平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB，即18：24＝12：S△COB，S△COB＝24×12÷18＝16（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：7，S△COD＋S△COB＝52—（6＋7）＝39（平方厘米），所以S△COB＝39×767＋＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：8＝3：4，S△COD＋S△COB＝56—（6＋8）＝42（平方厘米），所以S△COB＝42×434＋＝24（平方厘米）4、答案：22.5厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝18：27＝2：3，所以BO＝15÷2×3＝22.5（厘米）5、答案：10平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB＝4×5÷2＝10（平方厘米）☆☆提高题1、答案：9平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，则：S△AOB＝35S△ABD＝35×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝32：48＝2：3，则S△AOB＝35S△ABD＝35×45＝27（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝48—27＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8所以：S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）4、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH 中，S△EQF＝S△GQH＝13—6＝7；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝15—5＝10，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝175、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH 中，S△EQF＝S△GQH＝12—6＝6；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝16—5＝11，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝6＋11＝176、答案：28解析：如下图，连接AM。
