用几何画板动态展示圆滚动周数的问题
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设 半径 为 ｒ的动 圆Ｄ 与半 径 为Ｒ 的定 圆Ａ 外 切 且作无 滑 动 的滚 动 ，当动 圆绕 定 圆滚 了一 圈 回 到 原处 时 ，求 动 圆 自转 的周数 ．
分析 如 图 １，当动 圆 自转 １周 ，动 圆从 初 始 位 置 点 Ｄ 滚 到 圆 Ｄ ，半 径 ＰｌＤ 旋 到 Ｐ１Ｄ ，且 ＰＤ
④ 在 圆 Ａ上 任 取一点 Ｅ，作水 平线 上 的射 线 ＡＥ，确定 动 圆 Ｄ的初 始位置 ；拖动 点 Ｃ时 ，将 圆 Ｄ 标 签 改为 圆 Ｄ ；过 点 Ｄ 作 射线 ＡＥ的平行 线与 圆 Ｄ 左交点 为 Ｆ，连 结线 段 Ｄ Ｆ．
⑤ 构造 圆弧 ＣＥ，度 量 ＣＥ 的弧长 ；计 算 （ＣＥ 的弧 长 ／（ＡＣ／ｔ）的长）× １弧度 ，并将 计算 结果 标 记 角度 ；以点 Ｄ 为 中心 ，标 记 角度为旋 转 角 ，将 点 Ｃ旋转 到 点 Ｅ ，作 弧 ＣＥ ．
２ 动 圆与定 圆 内切 的情 况
设半径 为 ，．的动 圆与半 径 为 Ｒ（Ｒ ＞ ｒ）的 定
圆 内切且 作无 滑动 的 滚 动 ，当动 圆 滚动 了一 周 回
到原 处时 ，求动 圆 自转 的周 数．
分 析 如 图 ３，当 动 圆 自转 １周 ，动 圆从初 始 位置 点 Ｄ 滚 到 圆 Ｄ ，半 径 ＤＥ旋 到 Ｄ１Ｅ１，且 ＤＥ ∥ Ｄ１Ｅｌ，记 ＣＡＣ１一口．
线 ＡＣ，连结 线段 ＡＣ，度 量 ＡＣ的 长．
② 新建 参 数 ｔ＝＝＝３，计算 ＡＣ／ｔ的值．
③ 以点 Ｃ为 圆心 、线段 ＡＣ／ｔ为 半径 作 圆 Ｃ，
圆 Ｃ与 射线 ＡＣ 的外 侧 交点 Ｄ；选 中圆 Ｃ，隐藏 圆 Ｃ，以 同样 的方法 作 以点 Ｄ 为 圆心 、线 段 ＡＣ／ｔ为 半 径 的动 圆 Ｄ．
２０１１年 第 １１期
中学数 学 月刊
· ３１ ·
用 伺 画饭 矽 念展 矛 固滚 劲 周放 的 『占）题①
唐 剑岚 林海思 （广 西师 范大 学数 学科 学 学院 ５４１００４）
韦永 旺
（广 西 来 宾 市 第 六 中 学 ５４６１００）
在数 学 中考题 和教 科书 中我们 常 常会 遇到 与 圆滚动周 数有 关 的 问题 ，由于滚 动 是 一 种 复合 运 动 ，包括 滚动 圆本 身 的 自转及 其 沿 着 另 一个 几 何 图形 的平 移 或旋转 ，故此 类 问题灵 活性 强 ，易被表 面 现象所 迷惑 ，解题 也 易 出现 错误 ．几何 画板 是动 态 教学软 件 ，它能 动 态 展 现几 何 图形 各 个元 素 的 内在联 系 ，直 观呈 现轨迹 的生 成过 程．本 文针 对 动 圆与定 圆外切 、内切 的两 种情 况 ，先给 出 了简 洁 明 快 的分析 过程 ，再 利 用 几何 画板 动 态 展 示 圆滚 动 周 数 的问题 ． １ 动 圆与定 圆外切 的情 况
俞泰 鸿 （江 苏省 南京 市第二 十七 高级 中学 ２１０００１）
数 学 是 思 维 的科 学 ．与 其 他 学 科 相 比较 ，最 主 要 也 是 最 基 本 的 特 点 ，就 是 它 所 研 究 的 对 象 是 抽 象 的 形式 化 的思 想 材料 ．因此 ，教 会 学 生 思 考 是 教 师 教 学 的 主 要 任 务 ．波 利 亚 曾 经 说 过 ：“‘教 会 思 考 ’意 味 着 数 学 教 师 不 仅 仅 应 该 传 授 知 识 ，而 且 也 应 当 去 发 展 学 生 运 用 所 传 授 的 知 识 的 能力 ．”
１ 技 术 支持 使 教 学 变单 向 为 多 向
现 代 教 育 技 术 在 中 小学 数学 教 学 中 的运 用 已 经 越来越普遍了 ，不仅硬件设备 不断更新 ，而且软件 技 术 也 不 断 发 展 ．但 我们 发 现 ，大 多数 技 术 手 段 在 教 学 中的 运 用 都 是 单 向 的 ，即 教师 作 演示 ，学 生 根 据 教 师 所 提 供 的 演 示 情 景 进 行 思 维 ．这 一 教 学 方 式 使 学 生 处 于 被 动 地 位 ，学 习 的 自主性 受 到一 定 的 限制 ，表 现 出来 的是 学 生 积 极 主 动 地 参 与 数 学 思 维 活 动 的 程 度 不 高 ．
由此推 出动 圆 自转 的周 数 一动 圆 圆心移 动路程
／动 圆周 长．而 圆心移 动路 程是 ２７ｒ（Ｒ＋ｒ），故 自转
的周数 一—２ｎ—（ Ｒ—＋一ｒ）一Ｒ —＋—ｒ一旦 ＋１
．
７ｒｒ
ｒ
，
操 作步 骤 （以定 圆 的半 径 Ｒ 是 动 圆 的半 径 ｒ
的 ３倍 为例 ）：
① 新 建 画板 ，绘 制 圆 Ａ，取 圆上 一 点 Ｃ，作 射
由ＣＣ 一 Ｃ Ｅ１— ２７ｒｒ，得
ｒｒｌｆ ａ
１８０ 一 １８Ｏ ＝ ２ｎｒ，…从 而……得
＼
、 、
一 一
，
， 一
图 ３
① 基金项 目：广西教育科学“十一 五”规划重点课题（桂教科学［－２００８３２号）
· ３２ ·
中学数 学月 刊
２０１１年第 １１期
让 学 生 积极 主动 地 参 与 数 学思 维活 动 — — 例 说 ＣＡＳＩＯ 图形 计 算 器 与课 堂教 学 整 合
⑥ 构造 圆弧 ＦＥ ；选 中点 Ｃ，Ｄ，构造 圆 Ｄ 的 圆心 轨迹 ．
旋转 ４圈的 了．
、＼
／
⑧ 度 量 弧 ＣＥ，ＣＦ 、一一一一
和 ＤＤ 的弧 长 ，并 计 算
图 ２
弧 ＣＥ 与弧 ＣＦ 之 和 ，制成 对 应观 察 表 ；隐藏 不 需
要 的对象 ，美化 界面 如 图 ２所示 ．
∥ Ｐ１Ｄ１，记 ／ＣＡＰ —ａ，
显 然 ＣｒｏＰ 一 ＣＰ． 由
ＣｒｏＰ１＋ Ｐ１Ｃ 一 ２ｎｒ，得
图 １
Ｃ一 Ｐ ＋Ｐ乐 １Ｃ ＝ ２ｒｃｒ ，即 １８０
＋ 而７ｒｒｔｌ一 ２ｎｒ，从 而得 Ｄ Ｄ＝＝＝２ｎｒ．这 表 明动 圆 自转
上ｏ Ｕ
１周 时 ，它 的 圆心描 出的 弧长 恰好 是 动 圆 的周 长 ，
分析 如 图 １，当动 圆 自转 １周 ，动 圆从 初 始 位 置 点 Ｄ 滚 到 圆 Ｄ ，半 径 ＰｌＤ 旋 到 Ｐ１Ｄ ，且 ＰＤ
④ 在 圆 Ａ上 任 取一点 Ｅ，作水 平线 上 的射 线 ＡＥ，确定 动 圆 Ｄ的初 始位置 ；拖动 点 Ｃ时 ，将 圆 Ｄ 标 签 改为 圆 Ｄ ；过 点 Ｄ 作 射线 ＡＥ的平行 线与 圆 Ｄ 左交点 为 Ｆ，连 结线 段 Ｄ Ｆ．
⑤ 构造 圆弧 ＣＥ，度 量 ＣＥ 的弧长 ；计 算 （ＣＥ 的弧 长 ／（ＡＣ／ｔ）的长）× １弧度 ，并将 计算 结果 标 记 角度 ；以点 Ｄ 为 中心 ，标 记 角度为旋 转 角 ，将 点 Ｃ旋转 到 点 Ｅ ，作 弧 ＣＥ ．
２ 动 圆与定 圆 内切 的情 况
设半径 为 ，．的动 圆与半 径 为 Ｒ（Ｒ ＞ ｒ）的 定
圆 内切且 作无 滑动 的 滚 动 ，当动 圆 滚动 了一 周 回
到原 处时 ，求动 圆 自转 的周 数．
分 析 如 图 ３，当 动 圆 自转 １周 ，动 圆从初 始 位置 点 Ｄ 滚 到 圆 Ｄ ，半 径 ＤＥ旋 到 Ｄ１Ｅ１，且 ＤＥ ∥ Ｄ１Ｅｌ，记 ＣＡＣ１一口．
线 ＡＣ，连结 线段 ＡＣ，度 量 ＡＣ的 长．
② 新建 参 数 ｔ＝＝＝３，计算 ＡＣ／ｔ的值．
③ 以点 Ｃ为 圆心 、线段 ＡＣ／ｔ为 半径 作 圆 Ｃ，
圆 Ｃ与 射线 ＡＣ 的外 侧 交点 Ｄ；选 中圆 Ｃ，隐藏 圆 Ｃ，以 同样 的方法 作 以点 Ｄ 为 圆心 、线 段 ＡＣ／ｔ为 半 径 的动 圆 Ｄ．
２０１１年 第 １１期
中学数 学 月刊
· ３１ ·
用 伺 画饭 矽 念展 矛 固滚 劲 周放 的 『占）题①
唐 剑岚 林海思 （广 西师 范大 学数 学科 学 学院 ５４１００４）
韦永 旺
（广 西 来 宾 市 第 六 中 学 ５４６１００）
在数 学 中考题 和教 科书 中我们 常 常会 遇到 与 圆滚动周 数有 关 的 问题 ，由于滚 动 是 一 种 复合 运 动 ，包括 滚动 圆本 身 的 自转及 其 沿 着 另 一个 几 何 图形 的平 移 或旋转 ，故此 类 问题灵 活性 强 ，易被表 面 现象所 迷惑 ，解题 也 易 出现 错误 ．几何 画板 是动 态 教学软 件 ，它能 动 态 展 现几 何 图形 各 个元 素 的 内在联 系 ，直 观呈 现轨迹 的生 成过 程．本 文针 对 动 圆与定 圆外切 、内切 的两 种情 况 ，先给 出 了简 洁 明 快 的分析 过程 ，再 利 用 几何 画板 动 态 展 示 圆滚 动 周 数 的问题 ． １ 动 圆与定 圆外切 的情 况
俞泰 鸿 （江 苏省 南京 市第二 十七 高级 中学 ２１０００１）
数 学 是 思 维 的科 学 ．与 其 他 学 科 相 比较 ，最 主 要 也 是 最 基 本 的 特 点 ，就 是 它 所 研 究 的 对 象 是 抽 象 的 形式 化 的思 想 材料 ．因此 ，教 会 学 生 思 考 是 教 师 教 学 的 主 要 任 务 ．波 利 亚 曾 经 说 过 ：“‘教 会 思 考 ’意 味 着 数 学 教 师 不 仅 仅 应 该 传 授 知 识 ，而 且 也 应 当 去 发 展 学 生 运 用 所 传 授 的 知 识 的 能力 ．”
１ 技 术 支持 使 教 学 变单 向 为 多 向
现 代 教 育 技 术 在 中 小学 数学 教 学 中 的运 用 已 经 越来越普遍了 ，不仅硬件设备 不断更新 ，而且软件 技 术 也 不 断 发 展 ．但 我们 发 现 ，大 多数 技 术 手 段 在 教 学 中的 运 用 都 是 单 向 的 ，即 教师 作 演示 ，学 生 根 据 教 师 所 提 供 的 演 示 情 景 进 行 思 维 ．这 一 教 学 方 式 使 学 生 处 于 被 动 地 位 ，学 习 的 自主性 受 到一 定 的 限制 ，表 现 出来 的是 学 生 积 极 主 动 地 参 与 数 学 思 维 活 动 的 程 度 不 高 ．
由此推 出动 圆 自转 的周 数 一动 圆 圆心移 动路程
／动 圆周 长．而 圆心移 动路 程是 ２７ｒ（Ｒ＋ｒ），故 自转
的周数 一—２ｎ—（ Ｒ—＋一ｒ）一Ｒ —＋—ｒ一旦 ＋１
．
７ｒｒ
ｒ
，
操 作步 骤 （以定 圆 的半 径 Ｒ 是 动 圆 的半 径 ｒ
的 ３倍 为例 ）：
① 新 建 画板 ，绘 制 圆 Ａ，取 圆上 一 点 Ｃ，作 射
由ＣＣ 一 Ｃ Ｅ１— ２７ｒｒ，得
ｒｒｌｆ ａ
１８０ 一 １８Ｏ ＝ ２ｎｒ，…从 而……得
＼
、 、
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，
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图 ３
① 基金项 目：广西教育科学“十一 五”规划重点课题（桂教科学［－２００８３２号）
· ３２ ·
中学数 学月 刊
２０１１年第 １１期
让 学 生 积极 主动 地 参 与 数 学思 维活 动 — — 例 说 ＣＡＳＩＯ 图形 计 算 器 与课 堂教 学 整 合
⑥ 构造 圆弧 ＦＥ ；选 中点 Ｃ，Ｄ，构造 圆 Ｄ 的 圆心 轨迹 ．
旋转 ４圈的 了．
、＼
／
⑧ 度 量 弧 ＣＥ，ＣＦ 、一一一一
和 ＤＤ 的弧 长 ，并 计 算
图 ２
弧 ＣＥ 与弧 ＣＦ 之 和 ，制成 对 应观 察 表 ；隐藏 不 需
要 的对象 ，美化 界面 如 图 ２所示 ．
∥ Ｐ１Ｄ１，记 ／ＣＡＰ —ａ，
显 然 ＣｒｏＰ 一 ＣＰ． 由
ＣｒｏＰ１＋ Ｐ１Ｃ 一 ２ｎｒ，得
图 １
Ｃ一 Ｐ ＋Ｐ乐 １Ｃ ＝ ２ｒｃｒ ，即 １８０
＋ 而７ｒｒｔｌ一 ２ｎｒ，从 而得 Ｄ Ｄ＝＝＝２ｎｒ．这 表 明动 圆 自转
上ｏ Ｕ
１周 时 ，它 的 圆心描 出的 弧长 恰好 是 动 圆 的周 长 ，
