小学数学圆的面积推导演示

圆的面积推导过程
1、把一个圆平均分成若干份，拼成近似长方形，长方形面积=圆的面积,
长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，
因为长方形面积＝长×宽，所以圆的面积S=πr×r=πr²
2、把一个圆平均分成若干份，拼成近似平行四边形，平行四边形面积=圆的面积,
平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，
因为平行四边形面积＝底×高，所以圆的面积S=πr×r=πr²
3、把一个圆平均分成若干份，拼成近似三角形，三角形面积=圆的面积,
三角形的底相当于圆周长，三角形的高相当于圆的半径，因为三角形面积＝底×高÷2，所以圆的面积S=2πr×r÷2=πr²。

圆的面积计算推导过程
嘿，咱今天就来讲讲圆的面积计算推导过程哈！
想象一下，有个超级大的圆在那。

咱要怎么算出它的面积呢？这可得动点小脑筋啦！
咱先把这个圆像切披萨一样切成好多好多小块。

哎呀，就想象成是把一个大蛋糕切成好多小份儿。

然后呢，把这些小块摆一摆，摆成一个近似长方形的样子。

你说神奇不神奇！
这时候啊，咱就发现了，这个长方形的长呢，其实就约等于圆周长的一半。

为啥呢？你想想啊，那些小块摆起来不就差不多是个长条形嘛。

那宽呢，就差不多是圆的半径啦！嘿嘿，是不是有点意思了。

然后呢，咱就可以用长方形的面积公式啦，长乘以宽嘛。

那圆的面积不就等于圆周长的一半乘以半径咯。

圆周长是2πr，那一半不就是πr 嘛，再乘以半径 r，那不就是πr²嘛！哇塞，这不就把圆的面积给算出来啦！
哎呀呀，你看，就这么切一切，摆一摆，咱们就把圆的面积给搞定了。

是不是挺好玩的呀！感觉就像我们玩了一场有趣的拼图游戏，最后拼出了正确答案。

其实啊，数学里很多东西都是这样，乍一看好像挺难的，但是只要我们动动脑筋，找找方法，总能找到解决的办法。

就像我们生活中遇到困难一样，别着急，慢慢来，总能找到出路的。

好啦，关于圆的面积计算推导过程咱就说到这啦，下次再遇到圆，咱就知道怎么算出它的面积啦，是不是很厉害呀！哈哈！
这样一说，是不是觉得圆的面积计算推导过程也没那么难理解啦？嘿嘿，就是这么简单又有趣呀！。

1．把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一个近似 的长方形。如下图。
拼成的长方形的长相当于圆( 周长的一半 )，长方形的宽 相当于圆的( 半径 )，因为长方形的面积＝( 长×宽 )， 所以圆的面积公式用字母表示是( S＝πr2 )。
知识点 2 圆的面积公式的应用
2．根据公式计算圆的面积。
S＝πr2 ≈3.14×32 ＝28.26(dm2)
易错辨析
4．判断。(对的画“√”，错的画“×”) (1)半径为 2 cm 的圆的周长和面积相等。( )
辨析：忽视了周长和面积意义不同。
(2)圆的半径扩大到原来的 2 倍，圆的周长和面积都扩大 到原来的 2 倍。( ) 辨析：圆的面积公式是 S＝πr2，所以面积应扩大到 原来的 4 倍。
提升点 1 寻找隐含条件求圆的面积
四 等 分
八 等 分
十 六 等 分
三 十 二 等 分
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时：
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 从上图中可以看出圆的半径是r，
长方形的宽近似（ 圆的半)径，长 近似于( 圆周长的一半)。
因为长方形的面积＝（ 长）×（ 宽 ）
5圆
3.圆的面积 第1课时 圆的面积公式的推导与应用
RJ 六年级上册
平行四边形的面积公 式是怎样得到的呢？
这个方法叫做 “割补法”
推导过程：长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底×高
探究点 1 圆的面积计算公式的推导
圆的面积怎样算呢？ 圆的面积公式能不能通过 “割 补法” 转化成我们已学过的图 形来推导出来呢？
5．如图，正方形的面积是 18 cm2，这个圆的面积是多
少平方厘米？ 3.14×18＝56.52(cm2)

n边形的面积=n×S1
而圆的面积就是当n趋向无穷大时n边形的面积，即：
S=limn→∞21n×r×2πr
将S1=r2代入，得到：
S=limn→∞21n×r×2πr
而n边形的周长近似等于圆的周长2πr，因此S可以表示为：
S=limn→∞21n×r×2πr
化简得：
S=limn→∞21n×πr2
因此，圆的面积S等于：如果把这些扇形“展”，可以得到一个近似矩形的形状。
其中，绿色的矩形的宽度为圆的半径r，高度为半径r的圆弧所对应的弦AB的长度。由三角形的性质可知，这条弦的长度可以使用勾股定理计算，即：
AB2=r2−(21d)2
其中，d是弦AB与圆心O的距离，即圆的直径。将d表示成2r，可以化简得：
S1=r×r=r2
因此，绿色矩形的面积为S1=r×r=r2
现在考虑把圆分成更多扇形。当扇形的圆心角越来越小，绿色矩形的高度就越来越接近圆的周长。具体来说，当圆心角度数等于360度的n分之一时，相应的扇形的圆心角就是360/n度。
如果我们把圆分成n个这样的扇形，那么它们组成的图形就可以近似看做是一个n边形。
此时，这个n边形的面积就是所有n个扇形的面积之和。因为每个扇形的圆心角都一样，所以它们的面积也一样。因此：
圆的面积公式为：
S=πr2
其中，π是一个常数，约等于3.14，r是圆的半径。
推导过程如下：
首先，我们可以把圆看做许多个扇形。如果将一个圆按照直径分成两半，可以得到两个相同的半圆，每个半圆可以看做是一个扇形，其对应的圆心角为180度。因此，一个圆的面积可以被看做是由很多个圆心角为180度的扇形组成的。
S=πr2
得证。

－C =π r
2 r
S=π r.r=πr2
圆的面积计算公式是：
S=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r 2
圆形花坛的直径是 20m，它的面积是 多少平方米?
1、求下面各圆的面积。 （口头列式）
3.14×1 2=3.14(平方厘米) 3.14×(4÷2) 2 = 12.56 (平方厘米)
根据下面所给的条件，求圆 的面积。
小学数学六年级圆的面积公式的 推导
圆所围成平面部分的大小叫
做圆的面积。
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讨 论：
1、“近似长方形”的长与圆的周长有什么关系？
2、“近似长方形”的宽与圆的半径有什么关系？
结论
“近似长方形”的长等于圆周长的一半 “近似长方形”的宽等于 圆的半径
这节课快结束了，你还想说点什么？
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
（1）半径2分米 （2）直径10厘米
3、判断对错：
（1）直径是2厘米的圆，它的面积12.56 平方厘米。 （ ×） （2）两个圆的周长相等，面积也一定相 等 。 （ √） （3）圆的半径越大，圆所占的面积也越 大。 （√ ） （4）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6 倍。 （ ×）
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( ×)
( √) ( ×)
3.如下图，求阴影部分的面积。
10×10-3.14×（10÷2）2=21.5（cm2） 答：阴影部分的面积是21.5 cm2。
1.圆的面积计算公式：S=πr2 ；
2.已知直径d，求面积S，先用d÷2=r，再用公式
S=πr2求出圆的面积。即：S
d 2
2
。
3.已知圆的周长求面积，先利用周长公式求出半
所以圆面积＝（ πr ）×（ r ）＝（ πr² ） 用S表示圆的面积，圆的面积计算公式就是： S＝πr²
2.根据下面所给的条件，求圆的面积。 （1）半径2 dm
3.14×22=3.14×4=12.56（dm2）
（2）直径10 cm 3.14×（10÷2）2=3.14×25=78.5（cm2）
小试牛刀
径或直径。计算公式：S
C 2
2
。
4.圆环的面积计算公式是S=πR2-πr2或S=π（R-r）2 。
1. 一个圆形茶几桌面的直径是1 m，它的面积是多少平方米？
1÷2＝0.5（m） 3.14×0.5²＝0.785（m²） 答：它的面积是0.785 m²。
探究点 2 已知圆的半径（直径）求圆的面积
圆形草坪的直径是20 m，每平方米草皮8元，铺满草坪需要
多少钱？
从题目中你都
知道了什么？
20÷2＝10（m）
圆
第屯市文化小学 谷艳秀
探究点 1 圆的面积计算公式的推导
什么是面积？ 圆的面积是指哪一部分的大小？ 圆所占平面的大小叫做圆的面积。
想一想： 圆的面积公式能不能通过 “割补法” 转化
成我们已学过的图形来推导出来呢？ 你想把圆转化成什么图形呢？
探究新知

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圆的直径、半径或周长28Fra bibliotekd=2m
你能算出玻璃桌面的面积吗？
29
巴依老爷买来一群羊。 巴依老爷说：“阿凡提，快把新买的羊赶到圈 里去”。 阿凡提说：“老爷，这个长方形羊圈太小了！” 巴依老爷：“什么，太小了？你不把羊全部赶 进去，哼哼，你的工钱就别拿了！要不，你自 己花钱买些材料，把羊圈围大些。” 阿凡提想：“该怎么办呢？怎么样才能既不花 钱另买材料，又能够让羊圈的面积变大呢？”
圆的面积
1
2
圆的面积公式应该怎么推导出来？ 怎么转化？
3
动手拼摆：看看拼出的图形的底和高与圆 的关系，并推导圆的面积公式。
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－C2 =πr
r
平行四边形的面积＝a×h
圆的面积＝ c ×r 2
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＝πr×r ＝πr2
24
三角形的面积＝ 1 ×a×h
2
圆的面积＝ 1 × c ×4r
24
＝ c ×r
2
＝πr2 25
3c 16
2r
5c
16
梯形面积＝ 1 ×（a+b）× h
2
圆形面积＝ 1 ×（ 5c + 3c ）×2r
2
16 16
＝ 1 × c × 2r
22
＝c × r
2
＝πr2
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这些推导过程有什么相同的地方？ 都是将圆转化成已知图形推导的。

圆面积公式的三种推导方法圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积分的方法求解。

笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无裨益。

下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积的方法作具体详细的分析。

在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。

圆的面积等于拼成的近似图形的面积。

一、将圆剪拼成三角形的方法把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角形。

若圆的半径为r ，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和r π242⨯，高可以看作是两个半径r 2，则近似三角形的面积为22)242(21r r r S ππ=⨯⨯⨯=，即圆的面积为2r π。

把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。

要拼成三角形，分的份数只能是2n （22≥n 的整数）份，将圆2n 等份后，拼成的三角形叠了n 层扇形，最后一层有12-n 个扇形 ，其中扇形的顶点向上的是n 个扇形，向下的是1-n 个扇形，故近似三角形的底为n r nr n ππ222=⨯，高为nr ，则近似三角形的面积为2221r nr nr S ππ=⨯⨯=，即圆的面积为 2r π= S 。

下面是把圆9等份的剪拼图示，二、将圆剪拼成平行四边形的方法把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。

同样，圆的半径为r ，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为r π242⨯，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似平行四边形的面积为222r r r S ππ=⨯⨯=，即圆的面积为2r π= S 。

同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。

要拼成平行四边形，分的份数只能是n 2（2≥n 的自然数）份，将圆n 2等份后，拼成的平行四边形（叠了一层）的底为n r n 22π⨯，高为半径r ，则平行四边形的面积为222r r nr n S ππ=⨯⨯=，即圆的面积2r π= S 。

圆的面积推导公式过程
圆的面积公式推导过程基于积分学，但也可以通过几何方法进行直观说明。

以下是两种方式的简单解释：
1. 几何方法：
1)首先，将一个圆分成无数个相等的小扇形。

2)当这些小扇形越来越多、越来越细时，每个扇形就越来越接近一个等腰三角形，而这个等
腰三角形的顶点就是圆心，底边是圆的半径。

3)每个这样的小三角形面积可以计算出来，为（圆的半径）*（圆周率π/360 * 角度θ）的一
半，因为三角形的高就是半径，底角为θ。

4)当我们将所有的小三角形面积加起来时，随着角度θ趋于无限小，所有小三角形的总面积
就趋近于圆的面积。

5)当θ从0到360度变化时，所有小三角形面积之和即为πr²。

2. 积分方法（微积分）：
1)设圆的半径为r，考虑圆盘在极坐标下的表示，任取一点P(ρ,θ)，其中ρ≤r。

2)在0到r的区间上对ρ进行积分，并考虑到θ从0到2π的变化，单个微元面积
dA=ρ*dρ*dθ。

3)整个圆的面积A就是所有微元面积的累加，即 A = ∫∫_D dA = ∫_0^2π ∫_0^r
ρ*dρ*dθ = ∫_0^2π [ρ²/2]_0^r dθ = πr²。

所以，无论采用几何分割法还是积分法，都可以得到圆的面积公式：A = πr²。

圆的面积公式推导圆是数学中的一个基本几何形状，由一个固定点（圆心）到平面上所有距离等于该固定距离的点组成。

圆的面积是指圆所包含的平面上的所有点构成的区域的大小。

圆的面积公式可以通过几何和代数的方法推导得出。

几何推导：1.假设圆的半径为r，则圆的直径为2r。

2.将圆按照直径进行折叠，可以得到一个正方形。

3.正方形的边长为2r，面积为(2r)²=4r²。

4.圆的面积应该小于等于正方形的面积，所以圆的面积应该小于等于4r²。

5.将正方形一分为二，可以得到一个长方形，宽为r，长度为2r，面积为2r²。

6.将长方形旋转90度，可以得到一个与圆刚好内、外接的矩形。

7.矩形的面积应该大于圆的面积，所以圆的面积应该大于等于2r²。

8.根据步骤4和步骤7，得到不等式：2r²≤圆的面积≤4r²。

代数推导：1.圆的面积可以表示为A，半径可以表示为r。

2.将圆按照半径进行分割，可以得到n个等腰三角形，每个三角形的底边长度为2r，高为r。

3.由于圆的面积是由n个三角形组成的，所以圆的面积可以表示为A=n*(1/2)*2r*r。

4.简化公式得到A=n*r²。

5.当n趋近于无穷大时，圆被无限个等腰三角形所逼近，所以可以近似认为n无限大。

6.即当n无限大时，圆的面积可以表示为A=π*r²，其中π是一个无理数，约等于3.147.根据步骤6的结论，得到圆的面积公式：A=π*r²。

综合几何和代数推导，得到圆的面积公式：A=π*r²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

这个公式表明，圆的面积与其半径的平方成正比，且比例常数为π。

需要注意的是，圆的面积公式仅适用于均匀、完美无缺的圆形。

当圆存在缺陷或不规则时，可以通过近似方法或数值计算来估算圆的面积。

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平行四边形的 面积公式是怎 样得到的呢？
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平形四边形的 面积=底×高
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这个方法叫做 “割补法”
长方形的长和圆的什 么有关？
一．长方形的宽和圆 的什么有关？
思考
学校里有一个半径为5米的花坛，校长准备在花坛上面铺上草 坪，请问这个圆形草坪占地面积是多少平方米呢？单击此处来自加副标题感谢各位的观看
今天你学到了什么 ？
汇报人姓名
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圆的面积
202X/XX/XX 汇报人姓名
学校里有一个半径为5米的花坛，校长准备在花坛上面铺上草 坪，请问这个圆形草坪占地面积是多少平方米呢？
单击此处添加副标题
圆所占平面的大小叫做 圆的面积。
202X/XX/XX 汇报人姓名
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推导过程： 长 方形的面积=长 ×宽

1圆
第5课时 圆的面积(一)》圆的面积公式的推导
BS六年级上册
提示：点击 进入习题
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知识点1 数方格求圆的面积
1.数方格估算下面圆的面积。
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知识点 2 圆的面积公式的推导
2.如图，将一张半径为r的圆形纸片16等分，拼成一个 近似的平行四边形。
等分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越
7.将一个圆剪拼成一个近似的长方形(如图)，已知这 个长方形的周长是33.12dm，求圆的面积。
解：设圆的半径为rdm。 (3.14r＋r)×2＝33.12 r＝4 3.14×42＝50.24(dm2)
接近一个(
)。
平行四边形
(1)这个平行四边形的底相当于圆的( 周长的一半)，
平行四边形的高相当于圆的( 半径 )，拼成的平
行四边形的面积等于圆的(
)。
(2)因为平行四边形的面积＝底面×积高，相当于圆的
(
)×(
)，所以圆的面积公式用
字周母长表的示一是半S＝( 半)×径(
)＝(
)。
πr r
πr2
知识点 3 应用圆的面积公式计算圆的面积 3.根据公式计算下图中圆的面积。
圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1(m) 圆(长方形)的面积：3.14×12＝3.14(m2) 长方形的长：3.14÷1＝3.14(m) 长方形的周长：(3.14＋1)×2＝8.28(m) 答：长方形的周长是8.28m。
提升点2 用“等量代换法”求圆的面积
6.如图，正方形的面积是18cm2，这个圆的面积是多 少平方厘米？ 3.14×18＝56.52(cm2) 答：这个圆的面积是56.52cm2。

近似梯形
近似三角形
三、以近似平行四边形为例：
等分的分数越多，其面积越接近圆的面积。
圆面8等分时：
圆面16等分时： 圆面32等分时：
23 4
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16
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151413 12
10 11
1234 5678
11 22 33 44 55 66 77 88 1234 5678 11661155 1144113311221111 1100 99 11661155 1144113311221111 1100 99
复习面积概念
长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
有关直边形面积的计算
S = a 2 S = ab
S = ah
S = ah÷2
S = (a+b)h÷2
圆面积公式的推导 一、将圆分成若干等分。
34 56
2
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1
8
16
9
15
10
14 13 12 11
二、用等分后的小块组成不同的形状 近似平行四边形
删掉哦，当然包括最后一页，最后祝 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓
言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
S=π r2