概率论与数理统计小结

概率论与数理统计小结

第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件

概率论里所研究的试验具有下列特点：

（1）在相同的条件下试验可以重复进行；

（2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；

（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。

（一）随机事件的概念

在概率论中，将试验的结果称为事件。

每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称为事件。这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号 表示，每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，用符号 表示。

（三）事件间的关系及其运算

1、事件的包含

2、事件的相等 3、事件的并（和）

4、事件的交（积） 5、事件的差

6、互不相容事件

如果事件 与 不能同时发生，即 ，称事件 与 互不相容（或称互斥）。互不相容事件 与 没有公共的样本点。

7、对立事件

事件“非 ”称为 的对立事件（或逆事件）。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合。记作

8、完备事件组

若事件 为两两互不相容的事件，并且 称 构成一个完备事件组。

§1.2 概率

（一）概率的统计定义

定义1.1 在不变的条件下，重复进行 次试验，事件 发生的频率稳定地在某一常数

附近摆动。且一般说来， 越大，摆动幅度越小，则称常数 为事件 的概率，记作 。

（二）概率的古典定义

定义1.2 若试验结果一共由 个基本事件 组成，并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件 由其中某 个基本事件 组成，则事件 的概率可以用下式计算：

（其中 ：有利于 的基本事件数， ：试验的基本事件总数）这里 构成一个等概完备事件组。

§1.3 概率的加法法则

加法法则 两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。即当 时，

(1.2)实际上，只要 式就成立。

§1.4 条件概率与乘法法则

（一）条件概率 定义1.3 在事件 已经发生的条件下，事件 发生的概率，称为事件 在给定

下的条件概率，简称为 对 的条件概率，记作 。相应地，把 称为无条件概率。

（二）乘法法则

乘法法则 两个事件 之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

(1.10)

§1.5 独立试验概型

（一）事件的独立性

定义1.4 如果事件 发生的可能性不受事件 发生与否的影响，即 ，则称事件 对于事件 独立。显然，若 对于 独立，则 对于 也一定独立，称事件 与事件 相互独立。

定义1.5 如果 个事件 中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称 相互独立。

第二章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念

随机变量是建立在随机事件基础上的一个概念。既然事件发生的可能性对应于一定的概率，那么随机变量也以一定的概率取各种可能值。按其取值情况可以把随机变量分为两类：（1）离散型随机变量可能取有限个或无限可列个值；

（2）非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。

本书只研究离散型及连续型随机变量两种。

§2.2 随机变量的分布

（一）离散型随机变量的分布

定义2.1 如果随机变量 只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称 为离散型随机变量。

（二）随机变量的分布函数

定义2.2 若 是一个随机变量（可以是离散型的，也可以是非离散型的），对任何实数 ，令

称 是随机变量 的分布函数。

分布函数具有下面几个性质：

(1) ，对一切 成立；

(2) 是 的不减函数；

(3)

(4) 至多有可列个间数点，而在其间断点上也右连续的。

（三）连续型随机变量的分布

定义2.3 对于任何实数 ，如果随机变量 的分布函数 可以写成

其中 ，则称 为连续型随机变量。称

为 的概率分布密度函数，也常写为 。它具有下列两个最基本的性质： 第三章 随机变量的数字特征

§3.1 数学期望

定义3.1 离散型随机变量 有概率函数： ,若级数

绝对收敛，则称这级数为 的数学期望，简称期望或均值。记为 ，即

定义3.2 设连续型随机变量 有概率密度 ，若积分 绝对收敛，则

称为 的数学期望。

§3.2 数学期望的性质

（1）常量的期望就是这个常量本身，即 。

（2）随机变量 与常量之和的数学期望等于 的期望与这个常量的和。

（3）常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。

（4）随机变量线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。

（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和。

(6)两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即

(3.5)

§3.4 方差

（一）方差的概念

定义3.4 随机变量离差平方的数学期望，称为随机变量的方差，记作 或 。而 称为 的标准差(或方差根)。 （3.13）

（二）方差的性质

（1）常量的方差等于零。

（2）随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身。

（3） 常量与随机变量乘积的方差，等于这常量的平方与随机变量方差的乘积。

（4）两个独立随机变量之和的方差，等于这两个随机变量方差的和。

(5)任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望的平方之差：

（3.17）

第四章 几种重要的分布

§4.1 二项分布

（一）随机变量 的分布律

定义4．1如果随机变量 有概率函数

(4.1)

其中 ，则称 服从参数为 的二项分布。

简记作 。公式（4．1）称为二项分布公式或贝努里公式。 （二）二项分布的期望和方差

（三）二项分布的最可能值

当 是整数时 （4.3）

§4.2 超几何分布

定义4.2 设 个元素分为两类，有 个属于第一类， 个属于第二类

。从中按不重复抽样取 个，令 表示这 个中第一（或二）类元素的个数，则 的分布称为超几何分布。

其概率函数是：

§4.3 普哇松分布

定义4．3 如果随机变量 的概率函数是

其中 ，则称 服从普哇松（Poisson）分布。

同样的方法可以计算出 ，所以

普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数、候车的旅客数、原子放射粒子数、织机上断头的次数，以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。

§4.4 指数分布

定义4.4 如果随机变量 的概率密度为

其中 ，则称 服从参数为

的指数分布。 指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如随机服务系统中的服务时间、某些消耗性产品（电子元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。

§4.6 正态分布

正态分布是最常见的也是最重要的一种分布。它常用于描述测量误差及射击命中点与靶心距离的偏差等现象。另外，许多产品的物理量，如青砖的抗压强度、细纱的强力、螺丝的口径等随机变量，它们的分布都具有“中间大、两头小”的特点。

（－）正态分布的概率密度

定义4.6 如果连续型随机变量 的概率密度为

其中 为常数，并且 ，则称 服从正态分布，简记作 可以计算出

特别地，当 时， 可以写成

称它为标准正态分布的概率密度，简记作

（二）标准正态分布概率密度 的性质及概率密度函数表

除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质（请读者用微积分的知识证明）。（1） 有各阶导数；

（2） ，即 的图形关于 轴对称；

（3） 在 内严格上升，在 内严格下降，在 处达到最大值：

（4） 在 处有两个拐点；

（5） ，即 轴是曲线 的水平渐近线。

（三）一般正态分布与标准正态分布的关系

定理4.2 如果 ， ，其概率密度分别记为 及 ，分布函数分别记为 及 ，则

定理4.3 如果 ，而 ，则 。