概率论与数理统计小结
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概率论与数理统计主要内容小结
概率部分
1、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式：
)()|()(11BPBAPAP)()|(22BPBAP)()|(nnBPBAP
其中nBBB,,,21是空间S的一个划分。
贝叶斯公式：njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(
其中nBBB,,,21是空间S的一个划分。
2、互不相容与互不相关
BA,互不相容0)(,BAPBA
事件BA,互相独立))(()(BAPBAP;
两者没有必然联系
3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。
),,1(~pbX即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1kppkxPkk
),,(~pnbX即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{nkppCkxPknkkn
),(~X即泊松分布，则分布律为,......1,0,!}{kkekxPk
),,(~baUX即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1)(其它baxabxf
),(~EX即指数分布，则概率密度为.,00,1)(其它xexfx
),,(~2NX即正态分布，则则概率密度为xexfx,21)(22.
连续性随机变量X分布函数性质：（i）1)(F，0)(F, (ii)分布函数连续
对连续性随机变量X，已知概率密度)(xf，则分布函数为xdttfxF)()(；
已知分布函数为)(xF，则概率密度)()(xFxf.
对连续性随机变量X，已知概率密度)(xf, 区间概率LdxxfLxP)(}{
4、连续函数随机变量函数的概率密度
设连续随机变量X的概率密度为)(),(XgYxfX也是连续型随机变量，求Y的概率密度
求法
(i) 利用以下结论计算：如果函数)(xg处处可导，且恒有0)(xg（或0)(xg），则Y概率密度为：
其他,0|,)(|)]([)(yyhyhfyfXY
其中，)(yh是)(xg的反函数，且有)},(),(min{gg)}.(),(max{gg
(ii) 利用分布函数计算：先求)(xgy值域，再在该值域求Y的分布函数
})({}{)(yXgPyYPyF}{BXPdxxfBxX)(
则有)()(yFyfY.
常用求导公式
)())(()())(()()()()()(yyfyyfdxxfyFyfyyY
5、二维随机变量分布律
对于二维连续性随机变量),(YX，其联合概率密度为),,(yxf其联合分布函数为),,(yxF
则,),(),(xydvduvufyxF
概率密度性质：（i）,0),(yxf (ii) 1),(dvduvuf
已知概率密度),,(yxf求区域概率有,),(}),{(DdydxyxfDyxP
边缘分布函数为,),()(xXdvduvufxF,),()(yXdudvvufyF
边缘概率密度为,),()(dyyxfxfX.),()(dxyxfyfY 条件分布函数为,)(),()|(|xYYXduyfyufyxF,)(),()|(|yXXYdvxfvxfxyF
条件概率密度为,)(),()|(|yfyxfyxfYYX.)(),()|(|xfyxfxyfXXY
对于离散情形，设联合分布律为ijjipyYxXP},{
边缘概率密度为.1}{ijijippxXP，jiijjppyYP.1}{
条件概率密度为.}|{iijijppxXyYP，jijjippyYxXP.}|{
6、二维随机变量函数的分布
设二维随机变量),(YX概率密度为),(yxf，分布函数为),(yxF
(i) Z=X+Y, 则Z的概率密度为
dyyyzfzfZ),()(dxxzxf),(
当YX,相互独立时，dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfYX)()(
(ii) M=max{X,Y}与N=min{X,Y}
当YX,相互独立时，)()()(zFzFzFYXM，))(1))((1(1)(zFzFzFYXN
7、数学期望
(i) 求法：连续随机变量X概率密度为)(xf，则dxxxfXE)()(；若)(XgY, 则dxxfxgYE)()()(.
离散随机变量分布律为kkpxxP}{，则1)(kkkpxXE;若)(XgY, 则kkkpxgXE)()(1.
若有二维的随机变量),(YX,其联合概率密度为),(yxf，若),(YXgY, 则dydxyxfyxgYE),(),()(.
(ii) 性质：)()()(),()(,)(YEXEYXEXCECXECCE
)()()()(22112211nnnnXEkXEkXEkXkXkXkE YX,相互独立，则有).()()(YEXEXYE
8、方差
定义：2)]([)(XEXEXD，标准差（均方差）：)(XD.
计算：22)]([)()(XEXEXD
性质：).()(),()(,0)(2XDCCXDXDCXDCD
)].)([(2)()()(EYYEXXEYDXDYXD
常见分布的数学期望和方差：两点分布：).1()(,)(ppXDpXE
),,(~pnbX即二项分布，则).1()(,)(pnpXDnpXE
),(~X即泊松分布，则.)(,)(XDXE
),,(~baUX即均匀分布，则.12)()(,2)(2abXDbaXE
),(~EX即指数分布，则.)(,)(2XDXE
),,(~2NX即正态分布，则.)(,)(2XDXE
9、协方差与相关系数
定义：协方差: ).()()()]}()][({[),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov
相关系数：.)()(),(YDXDYXCovXY则有)()(),(YDXDYXCovXY.
性质：0),(),(),(),,(),(aXCovXDXXCovXYCovYXCov
),(),(),(),,(),(2121YXCovYXCovYXXCovYXabCovbYaXCov
),(2)()()(YXCovYDXDYXD
如果YX,相互独立，则有)()()(YDXDYXD
,1||XY且1||XY1}{,,bXaYPba使.
10、独立与不相关关系
YXXY,0不相关)()(),(0),(YEXEYXEYXCov YX,相互独立)()(),()()()()(),(YEXEYXEyfxfyFxFyxF
F为分布函数，而f为概率密度
一般情况下，YX,相互独立YX,不相关，但反之不成立；
特殊情况，当);,;,(~),(222121NYX时，YX,相互独立YX,不相关
并且此时21222121),(,;)(,)(;)(,)(YXCovYDXDYEXEXY.
11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X的期望与方差为2)(,)(XDXE，则对任意正数0，有
2)(}|)({|XDXEXP, 即22}|{|XP.
进一步有：,)(1}|)({|2XDXEXP即.1}|{|22XP
12、两个中心极限定理
定理1（独立同分布的中心极限定理）设随机变量,,,,21nXXX相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差：,2,1,0)(,)(2kXDXEkk，则
当n充分大时，)1,0()()(~~~~~~~~1111NnnXXDXEXYniknkknknkkkn近似.
定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量2,1,nn服从参数为)10(,ppn的二项分布，则当n充分大时，)1,0()1(~~~~~~~~Npnpnpn近似
统计部分
1、常用统计量
设X为总体，nXXX,,21是来自总体X的样本，定义
样本平均值：niiXnX11,
样本方差：212)(11XXnSnii )(11212XnXnnii， 样本标准差（均方差）：niiXXnS12)(11
样本k阶矩：,2,1,11kXnAnikik
2、常用正态总体相关的统计量
（1）2分布
定义：设niNXi,2,1),1,0(~，则)(~2122nXnii，特别)1(~22iX.
性质 (i) 可加性：设),(~),(~2212nYnX则)(~212nnYX.
(ii) 设),(~nX则nXDnEX2)(,.
(iii) 特例：设),,(~2NXi则).(~)(1212nXnii
(2) t 分布
定义：设)(~),1,0(~nYNX, 且YX,相互独立，则统计量).(~/ntnYXt
性质
(i) 概率密度为偶函数，关于y轴对称；当n趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布；
(ii) 对于分位点有：)()(1ntnt.
(3) F分布
定义：设)(~),(~21nVnU, 且VU,相互独立，则统计量).,(~2121nnFnVnUF
性质 (i) 对于分位点有：.),(1),(12211nnFnnF
3、正态总体样本均值与样本方差分布
单个总体情形：设X为总体，且服从),,(~2NXnXXX,,21是来自总体X的样本，2,SX分别是样本均值与样本方差，有以下结论：
(i) ,)()(,)()(,)()(222XDSEnnXDXDXEXE 而且有
