一元二次方程三种解法

一元二次方程竞赛解题方法

一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。以下是一些解题方法：

一、换元法

例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法

例如，考虑已知$\alpha。\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法

例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。将$S_{1993}$代入$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}$，可以发现所有项都抵消了，因此等式成立。

一元二次方程的解法大全

【直接开平方法解一元二次方程】

把方程 ax2+c = 0(a ≠ 0),

这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例：用直接开平方法解方程：

2

1. 9X2-25= 0;

2. (3x+2) 2-4= 0;

3* (x+ 73) 2 = 4V⅛

4. (2x+3) 2= 3(4x+3).

解：1 . 9X2-25= 0

9X2= 25

25

V

2. (3x+2) 2-4= 0

(3x+2) 2 = 4

3x+2 = ± 2

3x = -2± 2

—2 士2

X ~

…宜1 = 0, =—

工(x+ √3) 2 = 4√3X;

X2 + 2√3+ 3=4√3≡

J2-2√3X+3=0 当孤 C异号时』两边同时开平方得琵=± ” -

(X- √3) 2 = O

E- 73= O

• ∙ Xι X2 3.

4. (2x+3) 2= 3(4x+3)

4X2+12X+9=12x+9

4x2= 0

• ∙ X1 X 0.

【配方法解一元二次方程】

将一元二次方程化成一般形式，如 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）;把常数项移到方程的右边，如 ax2+bx = -c;方程的两边都除

-X=——;方程的两边都加上一次项系数一半的平方，⅛∏xa ÷ —X

以二次项系数，使二次项系数为 1 ,如x2+- ■

+ （丄）i;把方程的左边变形为一次二项式的完

2a a 2a

全平方，右边合并或一个常数，如（"云）—一^厂；方程的两边同

h 宀 ∕⅛⅛ 2 — 4 津；

时开平方.得到两个一元一次方程，;分别解这

2a 2a

例：用配方法解下列方程：

1. x2-4x-3 = 0; 2 . 6x2+x = 35;

3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3= 0.

2

解：1 . X -4x-3= 0

x2-4x = 3

2 X -4x+4 = 3+4

(X-2)2=7

一元二次方程的解法及步骤

1、直接开平方法：

例．解方程3x+1^2;=7 3x+1^2=7 ∴3x+1^2=7

∴3x+1=±√7注意不要丢解符号 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3

2、配方法：

例．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+ 4/62=2 +4/6 2

配方：x-4/62= 2 +4/6 2

直接开平方得：x-4/6=± √[2 +4/6 2 ]

∴x= 4/6± √[2 +4/6 2 ]

3．公式法：

例.用公式法解方程 2x2-8x=-5

将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5 b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[-b±√b2-4ac]/2a

4．因式分解法：

例．用因式分解法解下列方程：

1 x+3x-6=-8

化简整理得

x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零

x-5x+2=0 方程左边分解因式

∴x-5=0或x+2=0 转化成两个一元一次方程

∴x1=5,x2=-2是原方程的解. 其实一元二次方程没有什么难点的，对于应用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。对于解一元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x2=25，可以直接解出x=±5）②求根公式法（x2+2x+1=0 △=b2-4ac 判断△的范围，＞0，＝0，＜0

去解出根）③因式分解法（这个方法对于很多同学来说都是一个难点，要掌握这个方法必须通过大量的题去掌握，例如x2-5x+6=0 可以化为（x-2）（x-3）=0 解得x1=2，x2=3）④配方法（例如x2-6x-6=0 可以化为（x-3）2=15，再用直接开方法解出x1，和x2）

一元二次方程四种解法例题

一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。下面是四种解法例题：

1. 解法一：使用因式分解法

例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0

解答：

首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。

根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。

在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。因此，我们可以将方程进行因式分解：

(x - 3)(x - 2) = 0

根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。因此，我们可以得到以下两个方程：

x - 3 = 0 或 x - 2 = 0

解上述两个方程，得到：

x = 3 或 x = 2

所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。

2. 解法二：使用求根公式

例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0 解答：

根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。将这些值代入求根公式，我们可以得到：

x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)

= (3 ± √(9 + 16)) / 4

= (3 ± √25) / 4

= (3 ± 5) / 4

因此，我们得到两个解：

x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2

x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2

所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。