一元二次方程的几种解法

用公式法解一元二次方程

一教学目标

1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。

2．引导学生熟记求根公式aacbbx242并理解公式中的条

件042acb3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。

二教学重点

1．掌握一元二次方程的求根公式。2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。

三教学难点

掌握求根公式的推导

四、教学关键：会用公式法解简单的一元二次方程。

五、教学过程：：（一）复习旧知：

我们已经学习了怎样用配方法解一元二次方程，现在就请大

家回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤有那些？

（二）自主探索：

我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

因为a≠0，方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

思路方法　

一元二次方程的几币中特殊解法　

■邓小明　

关于一元二次方程的解法，有常用的有配方法、　公式法、十字相乘法等。但是有些一元二次方程可以　有特殊的解法，使得方程的求解更加简便。下面介绍　几种特殊的方法。　一、利用一元二次方程的性质解题　１．一元二次方程的一般形式：ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ，（０≠　０）。若满足：ａｃ＋ｂ＋ｌ＝０，则两根为　ｌ＝：ＩＺＣ，　２＝±　。　证明：女口果ａｃ＋ｂ＋ｌ＝０，贝０（ｚｃ＝～ｂ一１，　由求根公式得：　：　兰　：　：　２ｎ　一６±、／６　＋４６＋４一一６±、／（６＋２）　————————————　—————————　—一●　２０　２０　￣：Ｘ１－二　±　！：一１．　２ａ　ａ　—ｂ－（６＋２）一２（ｂ＋１）０ｃ　—　一　—＿＿　’　女口果０／７一ｂ＋ｌ＝０，贝００ｃ＝ｂ一１，　由求根公式得：　：　兰　：　：　２０　—６±、／　一６±、／　：：　————————————————————————一　２０　２　即：　—－ｂ＋（ｂ－２）：　，　２ａ　ａ　—ｂ一（ｂ－２）一（６—１）一伽　一　例１求解一元二次方程２ｘｚ一１　ｌｘ＋５＝０。　解析：这个一元二次方程显然有解，除了用十字　相乘法，运用上述性质更加简便。根据原方程，系数　ａ＝２，ｂ＝－１　１，ｃ＝５。根据计算观察，ａｃ＋ｂ＋ｌ＝Ｏ。　根据上述性质，原方程的两根　＝÷，ｘ２＝５。　２．一元二次方程的一般形式：ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ，（０≠　０）。若满足，ａ￣ｂ＋ｃ＝０，则两根为　１＝±１，　２＝±三。　证明：如果叶６＋ｃ＝０，则０＝一ｂ—ｃ，　由求根公式得：　：．二鱼　：　２　一ｂ＋＿Ｎ／—ｂ２＋４ｂ—ｃ＋４ｃｚ一６±、／　２ａ　即＂－Ｘｌ￣　——　——　～’　一ｂ－（６＋２ｃ）　２ａ．　一６＋（ｂ＋２ｃ）　Ｃ　一　—■　—　。　如果　６＋ｃ＝０，则ｎ＝６一ｃ，　由求根公式得：　：　生　：　Ｚ血　一ｂ＋Ｘ／—ｂ—Ｚ－—４—ｃ—ｂ—＋—４—ｃ—２　２ａ　一一６±、／，　———　～’　即：　ｌ＝—－ｂ－（ｂ—－２ｃ）：二　一１　：：—－ｂ＋（ｂ—－２ｃ）　‘２０　２０　‘　２０　一　。　血　０　

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t2－22t＋18＝0.

参考答案

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．