二元一次方程组的解法3种

经典例题透析

类型一：求二元一次方程的解

1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.

思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.

解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，

所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.

所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：， ， ， .

总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.

举一反三：

【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.

【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.

把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

2 0 －1 －4

－2 2 6

【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。

思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。

解析：原方程变形为y＝9－2x

当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5

当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1

所以方程在自然数范围内的解为，，，，。

类型二：确定方程的待定系数

2．若是关于的二元一次方程，求的值.

思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.

解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.

而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.

1 二元一次方程组（BT）

例: 解下列方程组:

⑴41216xyxy ⑵41312223xyyxy

⑶2320235297xyxyy

典型例题分析

1. 解下列方程组:

⑴9185232032mnmmn ⑵7231xyxy

⑶199519975989199719955987xyxy ⑷323231112xyzxyzxyz ⑸23427xyyzzxxyz

2 2.如果21xy是方程组75axbybxcy的解,则ac与的关系是( )

A.49ac B. 29ac C. 49ac D. 29ac

3.关于xy、的二元一次方程组59xykxyk的解也是二元一次方程236xy的解,则k的值是 .

4. 若已知方程221153axaxaya,则当a= 时,方程为一元一次方程; 当a= 时,方程为二元一次方程.

5. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为31xy;乙看错了方程②中的b得到方程组的解为54xy,若按正确的ab、计算,求原方程组的解.

6. 若4360,2700,xyzxyzxyz求代数式222222522310xyzxyz的值.

7. 求二元一次方程3220xy的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.

8.已知关于xy、的方程组210320mxyxy有整数解,即xy、都是整数,m是正整数,求m的值. a515

二元一次方程组解法及运用

一、知识点回顾

知识点一：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

注：1.①方程中有且只有一个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。（三个条件完全满足的就是二元一次方程）

2. ①含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若axm+byn=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1

例1：下列方程中是二元一次方程的是（ ）

A．3x-y2=0 B．2x+1y=1 C．3x-52y=6 D．4xy=3

例2 ：已知关于x,y的二元一次方程（2m-4)x -3 +(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值

知识点二：二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（不必记）

注：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。

例1．下列方程组中，是二元一次方程是 ( )

A228423119...23754624xyxyabxBCDxybcyxxy

知识点三：方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。

方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

例1已知12xy是关于x,y的二元一次方程组2635axyxby的解，求２a+b的值．

例２已知方程组44axy，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 m2 26xy，， 乙看错了方程②中的b得到方程组的解为44.xy，若按正确的a、b计算，求原方程组的解．

知识点四：求二元一次方程的特殊解

例２：求二元一次方程2x+5y=30的①正整数解．②非负整数解

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1 第二讲 二元一次方程组的解法

知识要点：

（一）二元一次方程(组)的定义

1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．

3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．

注意体会二元一次方程组的两个特征：

（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；

（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次．

对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：222111cybxacybxa

4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．

（二）二元一次方程组的解法

1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．

（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．

（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．

2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．

（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等．

（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．

（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．