2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)
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高考真题 高三数学
第 1 页 共 5 页 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z=错误!+2i，则|z｜=
A．0 B．错误! C．1 D．错误!
解析:选C z=错误!+2i=—i+2i=i
2．已知集合A=｛x|x2-x-2>0｝，则∁RA =
A．｛x｜-1〈x<2｝ B．｛x|-1≤x≤2} C．{x|x〈-1}∪{x｜x〉2} D．{x｜x≤—1｝∪｛x|x≥2}
解析:选B A=｛x|x〈-1或x>2｝
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析:选A
4．设Sn为等差数列｛an｝的前n项和,若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A．-12 B．—10 C．10 D．12
解析：选 ∵3(3a1+3d）=(2a1+d ）+(4a1+6d） a1=2 ∴d=-3 a5=—10
5．设函数f(x）=x3+(a-1）x2+ax，若f(x）为奇函数，则曲线y=f（x)在点（0，0)处的切线方程为
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
解析:选D ∵f（x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x）=x3+x f′(x）=3x2+1 f′（0)=1 故选D
6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则错误!=
A．错误!错误! - 错误!错误! B． 错误!错误! — 错误!错误! C．错误!错误! + 错误!错误! D． 错误!错误! + 错误!错误!
解析：选A 结合图形，错误!=- 错误!(错误!+错误!）=- 错误!错误!-错误!错误!=— 错误!错误!-错误!（错误!—错误!)=错误!错误! - 错误!错误!
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面 高考真题 高三数学
第 2 页 共 5 页 上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径的长度为
A．2错误! B．2错误! C．3 D．2
解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点,则错误!·错误!=
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：选D F(1，0)，MN方程为y=错误! （x+2),代入抛物线方程解得交点M（1,2），N（4，4）,则错误!=（0,2)，错误!=（3，4)
∴错误!·错误!=8
9．已知函数f(x)= 错误!，g(x）=f(x)+x+a．若g（x)存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0) B．［0，+∞） C．［–1,+∞) D．[1，+∞)
解析：选C g（x)=0即f(x）=—x—a,即y=f（x)图象与直线y=—x-a有2个交点，结合y=f（x）图象可知-a<1
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC．△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I,II，III的概率分别记为p1,p2,p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p3
解析:选A ∵AC=3,AB=4，∴BC=5，∴错误!AC=错误!，错误!AB=2 , 错误!BC=错误!
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为错误!×π×(错误!）2+错误!×π×22=错误!π
∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为错误!×π×（错误!）2- 错误!×3×4=错误!π-6;
∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于错误!π—(错误!π-6）=6=ΔABC面积
∴p1=p2
11．已知双曲线C：错误! - y2 =1，O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN｜=
A．32 B．3 C．2错误! D．4
解析:选B 依题F(2，0),曲线C的渐近线为y=±错误!x,MN的斜率为错误!，方程为y=错误!(x-2)，联立方程组解得M（错误!,- 错误!)，N（3, 错误!），∴|MN|=3
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!
解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等.当正六边形过正方体棱的中点时,面积最大
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此时正六边形的边长为错误!，其面积为6×错误!×(错误!)2=错误!
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件错误!，则z=3z+2y的最大值为_____________．
解析:答案为6
14．记Sn为数列｛an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________．
解析：a1=—1,n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an—1，an=—2n-1,S6=2a6+1=—64+1=-63
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案)
解析：合条件的选法有C63-C43=16
16．已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____________．
解析：由题意可得T=2π是f（x)=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在［0，2π）上的最小值。
∵ f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x—1)=2（2cosx-1)（cosx+1），
令f′（x)=0可解得cosx=错误!或cosx=-1， 可得此时x=错误!，π或错误!;
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=错误!，π或错误!和边界点x=0中取到,
计算可得f(错误!）=错误!,f（π）=0，f（错误!）=—错误!，f（0）=0， ∴函数的最小值为-错误!
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分)
在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB; （2）若DC=2错误!，求BC。
解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得错误!=错误!。由题设知，sin∠ADB=错误!。
由题设知，∠ADB <900,所以cos∠ADB =错误!.
(2）由题设及（1）知，cos∠BDC= sin∠ADB=错误!.
在ΔBCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5。
18．(12分）
如图,四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值。
解：（1）由已知可得，BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz。 高考真题 高三数学
第 4 页 共 5 页 由(1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1,所以PE=错误!。又PF=1，EF=2，故PE⊥PF。 可得PH=错误!，EH=错误!.
则H(0,0,0)，P（0，0, 错误!）,D(-1，— 错误!,0 ), 错误!=(1, 错误!,错误!）,
错误!=（0，0, 错误!)为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=｜错误!｜=错误!.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!。
19．（12分）
设椭圆C: 错误! + y2 =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为（2，0）。
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2)设O为坐标原点,证明：∠OMA=∠OMB。
解：（1）由已知得F（1，0），l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为（1， 错误!)或(1，— 错误!).
所以AM的方程为y= - 错误!x+错误!或y= 错误!x—错误!。
（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB =00。
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB。
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1）(k≠0)，A(x1，y1），B(x2，y2)，
则x1〈错误!，x2
由y1=kx1-k， y2=kx2-k得kMA+kMB=错误!
将y=k(x-1）代入x22 + y2 =1得(2k2+1）x2—4k2x+2k2-2=0 所以，x1+x2=4k2 2k2+1， x1x2=错误!。
