2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)

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第 2 页 共 11 页2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．设z=+2i，则|z｜=

A．0 B． C．1 D．12

解析：选C z=+2i=—i+2i=i

2．已知集合A=｛x｜x2-x—2>0}，则∁

RA =

A．｛x|—1

—1}∪{x|x≥2｝

解析：选B A={x|x〈-1或x〉2}

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该

地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

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第 3 页 共 11 页建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析:选A

4．设S

n为等差数列｛a

n｝的前n项和,若3S

3=S

2+S

4，a

1=2，则a

5=

A．-12 B．-10 C．10 D．12

解析：选 ∵3(3a

1+3d）=（2a

1+d ）+（4a

1+6d) a

1=2 ∴d=-3 a

5=-10

5．设函数f（x)=x3+(a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f(x）在点（0，0）处的切

线方程为

A．y=-2xB．y=-xC．y=2xD．y=x

解析：选D ∵f(x）为奇函数 ∴a=1 ∴f（x)=x3+x f′(x）=3x2+1 f′(0)=1 故选D

6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则Error!=

A． — Error!B． Error!Error! — Error!C． + Error!AB，

D． + AB，）

解析：选A 结合图形，Error!=- (+Error!)=— —=- Error!Error!—Error!BA，）

（Error!—)=Error!Error! — Error!Error!

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点

为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最

短路径的长度为2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)(word版可编辑修改)

第 4 页 共 11

页A．2B．2Error!C．3D．217

解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长

8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则Error!·

=

A．5 B．6 C．7 D．8

解析：选D F(1，0),MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M（1,2）,N（4，4），

则=（0，2），=(3,4)

∴·=8FN→

9．已知函数f(x)= Error!，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．［–1，0） B．[0，+∞) C．［–1，+∞) D．[1，+∞)

解析:选C g（x)=0即f（x）=—x—a，即y=f（x)图象与直线y=—x—a有2个交点，结合y=f(x)

图象可知—a<1

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的

直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑

色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II,III的概率分

别记为p1，p2,p3，则

A．p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p32018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)(word版可编辑修改)

第 5 页 共 11

页解析:选A ∵AC=3,AB=4，∴BC=5,∴Error!AC=Error!，AB=2 , BC=

∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×(Error!)2+Error!×π×22=Error!π

∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×（)2— ×3×4=π-6;

∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π—6)=6=ΔABC面积258

∴p1=p2

11．已知双曲线C: — y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近

线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=

A．B．3C．2Error!D．4

解析：选B 依题F(2,0)，曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为，方程为y=(x-2),联3

立方程组解得M(,- Error!)，N(3， )，∴｜MN｜=33

2

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得

截面面积的最大值为

A．B．Error!C．Error! D．Error!

解析:选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面

积最大

此时正六边形的边长为Error!,其面积为6×Error!×(Error!）

2=33

4

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件,则z=3z+2y的最大值为{x—2y-2≤0，x—y+1≥0

y≤0，)

_____________．

解析：答案为62018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)(word版可编辑修改)

第 6 页 共 11 页14．记S

n为数列{a

n｝的前n项和,若S

n=2a

n+1，则S

6=_____________．

解析：a

1=—1，n≥2时，a

n=S

n-S

n—1=2a

n-1，a

n=-2n-1，S

6=2a

6+1=-64+1=—63

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共

有_____________种．（用数字填写答案)

解析：合条件的选法有C

63-C

43=16

16．已知函数f（x)=2sinx+sin2x，则f(x）的最小值是_____________．

解析:由题意可得T=2π是f(x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x

在[0，2π）上的最小值。

∵ f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x—1）=2（2cosx—1）（cosx+1)，

令f′(x）=0可解得cosx=或cosx=-1， 可得此时x=，π或Error!；π

3

∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或Error!和边界点x=0中取到，

计算可得f(Error!)=Error!，f(π)=0，f（Error!）=-,f(0)=0, ∴函数的最小值为—Error!

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5.

（1)求cos∠ADB；（2）若DC=2,求BC.

解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=。由题设知，sin∠ADB=Error!。AB

sin∠ADB

由题设知，∠ADB 〈900，所以cos∠ADB =Error!.

（2）由题设及(1）知，cos∠BDC= sin∠ADB=Error!.

在ΔBCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2—2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5.

18．（12分）2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)(word版可编辑修改)

第 7 页 共 11 页如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到

达点P的位置，且PF⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值。

解：（1）由已知可得,BF⊥PF，BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.

又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点,的方向为y轴正方向，｜Error!|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标

系H−xyz。

由（1)可得，DE⊥PE。又DP=2，DE=1，所以PE=。又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得PH=,EH=Error!.

则H(0，0,0)，P(0,0， ）,D(-1，— ,0 ）， =(1， Error!，)，

Error!=(0,0, Error!）为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=|｜=Error!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为Error!。

19．（12分）

设椭圆C: + y2 =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2,0）。

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2)设O为坐标原点，证明:∠OMA=∠OMB。

解：（1）由已知得F（1,0）,l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为(1， )或(1,- Error!）。