初中数学 利用面积关系解题几例 专题辅导

初一（下）数学培优辅导材料（6）简单的面积问题科学的灵感，决不是坐待可以来的，只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人． 【知识纵横】几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一．平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法： 1、 和差发把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算． 2、 运动法有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解． 3、 等积变形法即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．【例题求解】例1 （1）如图①，边长为cm 3与cm 5的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________2cm （π取3）． （2）如图②中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_______________．例2 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为223525cm cm 和，那么梯形的面积是（ ）2m ． A ．144 B ．140 C ．160 D ．无法确定例3 如图，三角形ABC 内的线段CE BD 、相交于点O ，已知OE OC OD OB 2,==，设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为4321S S S S 、、、．（1）求31:S S 的值；（2）如果22=S ，求4S 的值．第1题图①第1题图② 3525D C O B A 第2题图 E D COBA第3题图GN FE DP BA 第4题图1第5题图例4 如图，△ABC 的面积为1，E D 、为AC 的三等分点，G F 、为BC 的三等分点．求：（1）四边形PECF 的面积；（2）四边形PFGN 的面积．例5 在任意凸四边形ABCD 中取各边的中点，并与它相对的一个顶点连结，如图所示，那么围成的中央四边形面积与周围那四个阴影三角形的面积总和相等吗？说明理由．【学力训练】基础夯实1、 如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积是1，则红色的面积是______________________．2、 如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个小长方形，如果2175cm S =，2215cm S =，那么大正方形的面积2____________cm S =． 3、 如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC 的面积是________________2cm ．4、 如图，若长方形CQHN BNHP APHM 、、的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是______________________．5、 在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（ ）．6、 如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（ ）．A ．)(4122a b -πB ．)(8122a b -πC ．)2(412b ab -πD ．)2(812b ab -π第1题图 S 4S 3S 2S 1第2题图 D C B A 第3题图N 第4题图ABC D7、 如图，△ABC 中，点F E D 、、分别在三边上，E 是AC 的中点，CF BE AD 、、交于一点G ，4,3,2===∆∆G D C G EC S S DC BD ，则△ABC 的面积是（ ）． A ．25 B ．30 C ．35 D ．408、 如图，正方形A B C D 中，F E 、分别是CD BC 、边上的点，AF BF DE AE 、、、把正方形分成8个小块，各小块的面积分别为821S S S 、、，试比较3S 与872S S S ++的大小，并说明理由．9、 如图，△ABC 的边cm AC cm AB 25,30==，点F D 、在AC 上，点G E 、在AB 上，4:3:2:1:::=∆∆∆∆G B C F G C E F G A D E S S S S ，求AD 和GE 的长．能力拓展10、如图，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为=mnn m 则,,__________．11、如图，GF E DBA第7题图S 8S 7S 6S 5S 4S 3S 2S 1F E DC B A第8题图 GF E D C 第9题图nm 第10题图第11题图DCB A FE DCBA 第12题图长方形ABCD 的周长是20米，在它的每条边上向外各画一个以该边为边长的正方形．若所画4个正方形的面积和是104平方米，则长方形ABCD 的面积是__________平方米．12、如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1412===∆∆ABCD CDF BCE S S S 平行四边形，则=∆CEF S _________________．13、如图，△ABC 的面积为1，E DC BD ,1:2:=是AC 的中点，BE AD 与相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为____________________．14、如图，点F E 、分别是长方形ABCD 的边BC AB 、的中点，连CE AF CE AF 、设,,交于点G ，则=ABCDAGCDS S 长方形四边形（ ）． A ．65 B ．54 C ．43 D ．3215、如图，凸四边形ABCD 中，对角线BD AC 、相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD 的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（ ）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 16、如图，在长方形ABCD 中， G H E AB AD BF BG AE 、、,23121===== 在同意条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）． A ．8 B ．12 C ．16 D ．2017、如图，△ABC 的面积是1:3:,2:1:,60==CD AD CE BE ，求四边形ECDF 的面积．E DPBA 第13题图GF EDC BA 第14题图DCOBA第15题图第16题图 F E D C B A 第17题图。

2020中考专题14——方法技巧之面积法班级姓名.【方法解读】有关面积的公理和定理1.面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；2.相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.【例题分析】例1.如图1，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为.图1图2例2.如图2，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '、C '、D '，则B B '＋C C '＋D D '的最大值为，最小值为．例3.如图3，矩形ABCD 中，3AB cm =，6AD cm =，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S ∆=2cm ．图3例4.如图4所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A(1,0)，对角线的交点5(2 P，1)（1）写出B、C、D三点的坐标；（2）若在线段AB上有一点(3,0)E，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式；（3）若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4:3两部分，并与y轴交于点M，求M点的坐标．图4【巩固训练】1.如图5，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为.图5图6图72.如图6，在平行四边形ABCD中，∠BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E为CD上的一个点，且BE=2cm，则点A到直线BE的距离为______。

七年级数学寒假专题1——面积问题与面积方法某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题1——面积问题与面积方法二. 学习重难点：图形的面积的计算及利用面积证明一些几何问题是本讲的重点也是难点三. 知识要点讲解： 【面积问题知识点】 1、常见图形的面积公式： ①S △ABC ＝高底⨯⨯21②高底平行四边形⨯=S③高下底）（上底梯形⨯+⨯=21S ④表示半径圆R R S 2π=2、常见的等面积变形：①等底同高 ②同底等高----有平行条件③三角形的面积之比：高相等时，面积之比等于底之比，底相等时，面积之比等于高之比。

3、面积证题的要点：一个图形的面积，两种不同的求法。

【典型例题】应用1：面积的计算问题例1. 求下列图形的面积（网格图形的面积）例2. 已知：平面直角坐标系中的三个点A （5，2）、B （2，5）、C （0，0） 求：S △ABC ＝_______注：平面直角坐标系中的面积问题实际上就是网格问题例3. 一次函数y ＝0.5x －3与两坐标轴所围成的三角形的面积是：________例4. 求一次函数y ＝12x和y ＝2x –2与两坐标轴所围成的图形的面积。

例5. 已知：在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ＝2cm ，求：S △ABC ＝_______解：作△ABC 的高线AD ，BD ＝DC ＝1cm ， 由勾股定理可知：AD ＝3B D AB 22=-cm ∴S △ABC ＝33221AD BC 21=⨯⨯=⨯⨯2cm 总结：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理、30°角的直角三角形的性质、三角形的面积公式。

应用2：利用面积法进行有关的计算或证明：一个图形的面积，两种不同的求法。

例6. 在直角△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝3，则斜边AB 上的高CD ＝________。

CBDA解：∵∠ACB ＝90°∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝25∵AB>0 ∴AB ＝5 ∵CD AB S BC AC ABC ⨯==⨯∆2121 ∴AC ×BC ＝AB ×CD 即：3×4＝5×CD ∴CD ＝512例7. 在直角△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝5，BC ＝12，求：△ABC 的两条角平分线的交点到三条边的距离。

等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学指的是在初二数学中，使用等面积法解题的示例问题。

等面积法是一种常用的数学解题方法，主要基于面积的守恒原理，通过比较不同图形之间的面积关系来解决问题。

在初二数学中，等面积法常用于解决与面积有关的问题，如面积的证明、计算等。

以下是一些初二数学中应用等面积法的示例问题：
题目1：有一个矩形和一个三角形，它们的面积相等。

矩形的一条边长为6厘米，对应的另一条边长为8厘米。

三角形的底边长为12厘米，底边上的高为5厘米。

求矩形的另一条边长。

解法：我们设矩形的另一条边长为x厘米。

由于矩形的面积为长乘宽，所以矩形的面积为6×8=48平方厘米。

同理，三角形的面积为1/2×12×5=30平方厘米。

由于两者的面积相等，所以有：6x=30，解得x=5，所以，矩形的另一条边长是5厘米。

题目2：证明以下等式成立：a^2 + b^2 = c^2。

解法：我们可以将两个边长为a和b的正方形拼接成一个大的矩形，该矩形的长度为a+b，宽度为a。

矩形的面积为(a+b) × a = a^2 + ab。

由于大矩形的面积为两个小正方形的面积之和，所以有：a^2 + b^2 = c^2。

总的来说，“等面积法例题初二数学”就是初二数学中使用等面积法的例子及解析，通常用在解答关于几何形状的问题时帮助学生找到更快捷和直观的方法找到解题途径。

以上解答和解析仅供参考，如有疑问可以咨询数学老师或查阅教辅练习的解析。

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

【六升七博学班】第15讲：面积与面积法模块一：不规则图形面积的求法知识导航求不规则图形面积主要有以下几种方法：1.和差法：将图形面积用常规图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算.2.运动法：有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，使图形中的部分图形运动起来，将图形运动起来，将图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解.3.等积变化法：即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积.例题呈现1.用分割的方法求面积【例1】如图，在一个四边形AFCE中，AB=3，AF=4，CD=5，CE=6，∠AFD=∠BEC=90°，求阴影部分的面积.2.用合并的方法求面积【例2】如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块图形的面积分别是13、35、49，求阴影部分的面积.3.用倍数比的方法求面积【例3】如图，三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD 的面积.4.用和差法求面积【例4】如图，是由正方形和半圆形组成的图形，其中点P为半圆周的中点，Q为正方形一边中点，求阴影部分的面积...5.用运动的方法求面积【例5】如图，三角形为等腰直角三角形，扇形的圆心角为90°，求出图中阴影部分的面积.（单位：厘米，π取3.14）1. 如图，图中每一个小正方形的面积都是1，则阴影部分的面积为 .2．如图，在腰长为4的等腰直角三角形的腰上作两个半圆，求阴影部分的面积.3.如图已知长方形长8厘米，宽4厘米，图中阴影部分面积是10平方厘米，求OD的长.4．如图，AB=6，AD=9，且三角形ABE与四边形AECF及三角形AFD的面积均相等，求三角形AEF的面积.举一反三5. 如图，已知一个四边形的两条边和三个角，求这个四边形的面积.1、求下图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）2、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米，求乙正方形的面积。

专题二：面积问题与面积方法主讲教师：贺航飞引例1证明：（维维安尼定理）“面积法”∵21231()2ABC PBC PAB PACS S S S a h h h ∆∆∆∆=++=++= ∴123h h h ++=。

引例2：一个不规则四边形ABCD （面积为S ），如图1所示．在每条边上都取三等分点，再把两双对边上的三等分点连起来，成井字形．求中间四边形MNOP 的面积．解：S MNOP =19S 第一步，S ABCD = 3S KLGH = 3S EFIJ ； S KLGH =∆LGH+∆LKH=12(∆LBH+∆LHD)=12(S ABCD -∆ABL -∆CDH)=12( S ABCD -13S ABCD )=13S ABCD 第二步，M, N 与P, O 分别是LG 与KH 的三等分点；2133BEJC BEJC GEJ S JCG GEB S JCB CEB ∆=-∆-∆=-∆-∆2112()()3333BEJC BEJC BEJC S S BEJ S JCE JCE BEJ =--∆--∆=∆+∆同理，1233LEJ DEJ AEJ ∆=∆+∆，∴2GEJ LEJ ∆=∆，点M 为LG 的三等分点；第三步，由第一步知S KLGH =3S MNOP ，∴S MNOP =19S ．【知识内容】一、三角形面积问题设∆ABC ，a , b, c 分别为角A, B, C 的对边，h a 为a 边上的高，R, r 分别为∆ABC 外接圆、内切圆半径，半周长1()2p a b c =++．则∆ABC 的面积有如下公式：⑴12ABC a S ah ∆=；⑵1sin 2ABC S ab C ∆=； ⑶ABC S rp ∆=；⑷ABC S ∆= ⑸22sin sin sin ABC S R A B C ∆=； ⑹4ABC abcS R∆=；⑺1()2ABC a S r b c a ∆=+-；（r a 旁切圆半径） ⑻21(sin 2sin 2sin 2)2ABCS R A B C ∆=++； ⑼2sin sin 2sin()ABCa B CS B C ∆=+．F E 图1二、常见面积定理⑴一个图形的面积等于它的各部分面积之和； ⑵两个全等形的面积相等；⑶等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底即两底和相等）的面积相等； ⑷相似三角形面积比等于相似比的平方；⑸等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；A PB A Q B ∆∆⑻共角定理：若∠ABC 和∠A ’B ’C ’相等或互补，则'''''''ABC A B C S A B B C ∆∆=⋅．【典型例题】1．面积分割（等积法）：①多边形可以分割成若干个三角形，其面积保持不变． ②同高三角形的面积比等于底之比．例1：如图2，正方形边长为10，一条长为9的线段AB ，端点在这正方形的两条邻边上．在A 下面3处作水平线，在B 左边2处作垂直线，分别得到C 、D ．求四边形ABCD 的面积．解：分割，S ABCD ＝53．例2：凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于K ．如果面积和AKB CKD BKC DKA S S S S ∆∆∆∆+=+，那么K 是AC 或BD 的中点．2BA图2证明：∵AKB AKD AKBKC DKC KC∆∆==∆∆， ∴(1)()0KCAKB CKD BKC DKA AKB DKA AK∆+∆-∆-∆=-∆-∆= 故10KCAK-=，此时K 为AC 中点；或者AKB DKA ∆=∆，此时K 为BD 中点。