八年级数学面积法解题

等积法求相等的线段说题稿哈密市第十二中学 杨得封原题 已知：如图，AD 垂直平分BC ，D 为垂足，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，求证：DM=DNA一、说背景与价值本题选自人教版八年级上第十二章《12.3角平分线的性质》习题第二题。

解决此题涉及的知识有垂直的定义，垂直平分线的定义及性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，三角形的面积等。

本习题是在学生学习三角形全等的判定定理“AAS ”，及角平分线的性质的基础上给出的。

课本设置此练习的目的旨在巩固三角形全等的判定及角平分线的性质。

大部分学生想到利用三角形全等，然而解题的方法较多，需要学生发散思维，充分联系已知与求证，综合运用已学的知识来解决，在众多的方法中进行选优，从而获得一定的解题经验。

二、说教学与改进学生已经学会了三角形全等的判定定理“SSS ”,“SAS ”,“ASA ”,“AAS ”,对于证明相等的线段，基本上具备了解决此题的知识储备和技能。

而学生往往会思维定势，联想到证明三角形全等，而忽视了此时证明的是垂线段这个重要信息，缺乏相应的想象。

学生可能的做法：1、先证明△ADC ≅△ADB 得∠B=∠C ，再证明△DCM △DBN ，得到DM=DN ；2、先证明△ADC ≅△ADB 得∠CAD=∠BAD ，再证明△DAM ≅△DAN ，得到DM=DN ；3、先证明△ADC ≅△ADB 得AD 是角平分线，再利用角平分线的性质，得到DM=DN ；4、先由中垂线的性质证明AB=AC ，再由三角形的中线将三角形的面积二等分，得ADB ADC S S ∆∆=，由DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，得到DM=DN 。

在原先的教学中，让学生思考后回答，发现大部分学生是第1,2种解法，很少出现第3,4的解法，然后再追问，还有其他的方法吗？能利用今天学过的知识来解决吗？能利用角平分线的性质吗？终于有了第3种方法，可是学生缺乏想象，这样的教学效果不好。

F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。

第四节 图形的面积1.一些常见的面积公式正方形面积2边长×边长； 长方形（矩形）面积=长×宽； 平行四边形面积=底×高： 三角形的面积21=×底×高； 梯形面积⨯=21（上底+下底）×高， 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分1.计算面积常用的方法(1)和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示，通过常规图形面积公式计算． (2)割补法：有时直接求图形的面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解．(3)等积变形法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换为易求图形的面积．(4)等比法，将面积比转化为线段的比． 2.两个三角形的面积关系同（等）高时，面积之比等于底之比；同（等）底时，面积之比等于高之比， 3.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 4.常见的基本模型续表例1．如图1-4-1所示，△ABC 中，已知点F E D ,,分别是CE AD BC ,,边上的中点，且24S cm ABC =∆则BEF ∆S 的值为（ ）22.cm A 21.cm B 25.0.cm C 225.0.cm D141-- 241-- 341--检测1．如图1-4-2所示，AD 是△ABC 边BC 的中线，F E ,分别是BE AD ,的中点，若△BFD 的面积为6，则△ABC的面积等于( )18.A 24.B 48.C 36.D例2．如图1-4-3所示，在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，0是AD 上任意一点，=∆ABO S ,12S ,3CO BO ==∆∆A D S那么=∆COD S检测2．如图1-4-4所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，,32,BC BD FD AE ==则三角形BED 的面积为 平方厘米．例3．如图1-4-5所示，已知AE AD ,分别是△ABC 的高和中线，,12,9cm AC cm AB ==.90ο=∠CAB(1)求△ABE 的面积．(2)求AD 的长度．(3)求△ACE 和△ABE 的周长的差，441-- 541-- 641--检测3.如图1-4-6所示，在△ABC 中．,3,8,5,cm BE cm AC cm BC AC BE ===⊥(1)则△ABC 的面积为(2)画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值例4．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为检测 4.（安徽桐城市模拟）已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,,c b a h h h 且,6:5:4::=c b a 那么c b a h h h ::等于( )6:5:4.A 4:5:6.B 10:12:15.C 15:12:10.D第四节 图形的面积(建议用时:30分钟)实战演练1．（湖南衡阳期末）能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条( ) A ．角平分线 B ．中线 C ．高线 D ．既垂直又平分的线段2．如图1-4-1所示，4x4的方格中每个小正方形的边长都是1，则⋅ABCD 四边形S 与DF E C S 四边形的大小关系是( )DFABDC A EC S S .四边形四边形=DFABDC B EC S S .四边形四边形<1S S .EC +=DF ABDC C 四边形四边形 2S S .EC +=DF ABDC D 四边形四边形141-- 241-- 341--3．（江苏沭阳期末）如图1-4-2所示，在CE AD ABC ,,中∆分别是△ABC 的高，且,4,2==CE AD 则=BC AB :4:3.A 3:4.B 2:1.C 1:2.D4．如图1-4-3所示，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为CDQ a ∆,的面积为6．则阴影四边形的面积等于( )b a A +. b a B -. 2.ba C + D ．无法确定441-- 541-- 641--5．如图1-4-4是3个边长为1的正方形拼成的，则图中共有( )个面积为0.5的三角形．7.A 6.B 5.C 4.D6．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如图1-4-5所示，两条线段EF ，MN 将大长方形AB-CD 分成四个小长方形，已知,,b AE a DE ==,,d BN c AN ==且1S 的面积为2S ,8的面积为3S ,6的面积为5，则阴影三角形的面积为( ) 310.A 3.B 4.C 25.D 7．如图1-4-6所示，,7S ,4S ,5S a a a BFG ACG AFG ===∆∆∆则=∆AEG Sa A 1127.a B 1128. a C 1129. a D 1130.8．有三条线段a c b a ,,,长2.12米，6长2.71米，c 长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，如图1-4-7所示，第 个梯形的面积最大．741--9．如图1-4-8所示，图④③②①,,,都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为321S ,,S S 和⋅4S 则321,S ,S S 和4S中最小的与最大的和是 平方厘米．841--10.如图1-4-9所示，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是11．如图1-4-10所示，将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积在图中已标明，则△ABC 的面积为941-- 1041-- 1141-- 1241--12.如图1—4- 11所示，四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,上的点，且,31AD AH =,31AB BE =,31BC CF =,31CD DG =如果阴影部分的面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于 平方厘米．13．等边△ABC 的面积为G F E ,,,1是其各条边上的5等分点，其位置如图1-4- 12所示，那么△EFG 的面积为 14.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数，下底比上底长10 cm ，h 小于a ，梯形面积是,5612cm 请写出三元整数组),,(h b a 的所有可能15.如图1-4 - 13所示，AD 为△ABC 的中线．BE 为△ABD 的中线．,15)1(ο=∠ABF ,26ο=∠BAD 求BED ∠的度数：(2)若△ABC 的面积为,5,40=BD 则△BDE 中BD 边上的高为多少．16.如图1-4 - 14所示，△ABC 内的线段BD ．CE 相交于点O.已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆,, 和四边形AEOD 的面积分别为4321S ,S ,,S S1341--(1)求31:S S 的值； (2)如果,22=S 求4S 的值．17．(1)如图1-4 - 15所示，已知△ABC 的面积为a ，1541--① 如图①所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1S 则=1S（用含a 的代数式表示）； ② 如图②所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使==AE BC CD ,,CA 连接DE.若△DEC 的面积为,2S 则=2S （用含a 的代数式表示）；③ 在图②所示的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接,,FE FD 得到△DEF(如图③所示）．若阴影部分的面积为,S 3则=3S（用含a 的代数式表示）；(2)像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍， 拓展创新18.（江苏南京秦淮区期末）如图1-4 -16所示．(1)如图①．AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系，为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为如图②，已知,ABC S ∆△ABC 的中线AD ，CE 相交于点0，求四边形BDOE 的面积，,1S =∆ABC拓展1．如图③，已知1441--1641--是BC 边上的三等分点，F ，G 是AB 边上的三等分点，E D ABC ,,1S =∆AD ．CF 交于点0，则四边形BDOF 的面积为 拓展2．如图④，已知F E D ,,,1S ABC =∆是BC 边上的四等分点，G ，H ，I 是AB 边上的四等分点，AD ．CG 交于点0，则四边形BDOG 的面积为极限挑战19.设一个三角形的三边分别是.8,31,3m -(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图1-4 -17所示，在(2)的条件下，当3,31,8=-==BC m AC AB 时，若D 是AB 的中点，连接CD ，P 是CD 上动点（不与C ，D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子）：;S S S BPD APC ABC ∆∆∆+①,ABPBPA +②其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：请判断出谁不变，谁改变；若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围，1741--答案。

n m平行四边形的性质—— 平行线间的距离及等面积问题设计人：遵义市第五十三中学 龙文艳一、教材分析：平行线间的距离处处相等是人教版八年级下册第十八章第一节《平行四边形》中平行四边形的性质的一个推论，在等面积问题以及一些相似问题的运用中，这个知识点运用比较广泛，尤其是将一些不便于求解面积的图形问题转化为便于求解的图形问题时，常常会用到这一知识点。

在本教学设计中，我对这堂课进行了教材整合，我将平行线间涉及三角形面积的问题归纳在一起在这一堂课中展示，这样，便于解题方法的总结。

本节课就平行四边形的性质而推导得出平行线间的距离处处相等，然后将涉及这一知识点的相关三角形的面积问题加以整合，在教学过程中，我把对学生的数学转化思想的培养作为重点.二、教学目标：1、让学生在探究归纳中，理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；2、通过实例，教会学生运用“平行线间的距离处处相等”来解决一般三角形的面积问题；3、在图形的变换中，体会数学中的转换思想，培养学生的逻辑思维能力.三、教学重难点：重点：将一些不便于求解面积的三角形问题转化为便于求解的三角形问题的方法； 难点：在图形的转化过程中，体会并运用数学几何图形的转化思想.四、教学过程： （一）情境创设：如图，山坡上有两棵树，它们在直线AB 上，你能测量出两棵树距离有多远吗？（二）出示学习目标4、理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；5、会运用平行线间距离处处相等解决一般三角形的面积问题；6、在图形的变换中体会数学中的转换思想. （三）自主学习： 1、知识准备：（1）三角形的面积公式是 。

（2）点到直线的距离是指过这个点所作直线的垂线段的 。

（3）两平行线间的距离是指 ，如图，m ∥n ，则直线m 与直线n 之间的距离是 。

（4）平行四边形中，对边 .同时，每一组对边都是另一组对边之间的平行线段，因此上述结论可以这样说：平行线之间的平行线段相等.2、解决情境创设中的问题。

等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学指的是在初二数学中，使用等面积法解题的示例问题。

等面积法是一种常用的数学解题方法，主要基于面积的守恒原理，通过比较不同图形之间的面积关系来解决问题。

在初二数学中，等面积法常用于解决与面积有关的问题，如面积的证明、计算等。

以下是一些初二数学中应用等面积法的示例问题：
题目1：有一个矩形和一个三角形，它们的面积相等。

矩形的一条边长为6厘米，对应的另一条边长为8厘米。

三角形的底边长为12厘米，底边上的高为5厘米。

求矩形的另一条边长。

解法：我们设矩形的另一条边长为x厘米。

由于矩形的面积为长乘宽，所以矩形的面积为6×8=48平方厘米。

同理，三角形的面积为1/2×12×5=30平方厘米。

由于两者的面积相等，所以有：6x=30，解得x=5，所以，矩形的另一条边长是5厘米。

题目2：证明以下等式成立：a^2 + b^2 = c^2。

解法：我们可以将两个边长为a和b的正方形拼接成一个大的矩形，该矩形的长度为a+b，宽度为a。

矩形的面积为(a+b) × a = a^2 + ab。

由于大矩形的面积为两个小正方形的面积之和，所以有：a^2 + b^2 = c^2。

总的来说，“等面积法例题初二数学”就是初二数学中使用等面积法的例子及解析，通常用在解答关于几何形状的问题时帮助学生找到更快捷和直观的方法找到解题途径。

以上解答和解析仅供参考，如有疑问可以咨询数学老师或查阅教辅练习的解析。

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。

其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。

学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。

平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。

面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。

文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。

通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。

这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。

对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。

与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。

早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。

在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。

初二数学---面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

【 重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。

难点：灵活运用所学知识证明面积问题。

【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。

147. 14三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。

8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4. 还可以利用面积解决其它问题。

【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1. 分解法例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。

FEAB D C分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等高，故S S ADE ADB ∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ∆∆=③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点求证：S S ADM ABCD ∆=12分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为hD CN MA BS S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为hMN DC AB=+2则S MN h ABCD =⋅又ΘS S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD ∆12（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·ABAFEB D C分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。

等面积法例题初二数学摘要：一、等面积法基本概念1.等面积法的定义2.等面积法在初二数学中的应用二、等面积法例题解析1.例题一1.题目描述2.解题思路3.解题步骤2.例题二1.题目描述2.解题思路3.解题步骤3.例题三1.题目描述2.解题思路3.解题步骤三、等面积法在数学中的意义1.等面积法在几何证明中的应用2.等面积法在实际问题中的应用四、等面积法的学习方法与技巧1.掌握基本概念2.多做例题练习3.培养空间想象力正文：一、等面积法基本概念等面积法，是数学中一种常用的解题方法。

它是指在解决数学问题时，如果已知两个或多个图形的面积相等，那么可以通过面积相等这一条件，推导出其他相关量之间的关系。

在初二数学中，等面积法常常应用于几何证明和实际问题解决。

二、等面积法例题解析为了更好地理解等面积法的应用，我们通过以下三个例题来进行解析：例题一：已知矩形ABCD的面积为12平方厘米，矩形EFGH的面积为6平方厘米，若矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽之和相等，求矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽。

解题思路：由于已知矩形ABCD与矩形EFGH的面积之和，我们可以利用等面积法，设矩形ABCD的长为x，宽为y，矩形EFGH的长为a，宽为b，则有xy=ab=12和x+y=a+b。

通过解这个方程组，我们可以求得矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽。

解题步骤：1.根据已知条件列出方程组：xy=12, x+y=a+b2.将第一个方程变形得到：y=12/x，代入第二个方程得到：x+12/x=a+b3.化简得到：x^2-ab+12=04.求解得到：x=2, y=6, a=3, b=2所以，矩形ABCD的长为2厘米，宽为6厘米，矩形EFGH的长为3厘米，宽为2厘米。

例题二：已知等腰三角形ABC，底边BC=6厘米，高AD=8厘米，求等腰三角形ABC的面积。

解题思路：由于已知等腰三角形ABC的底边和高，我们可以利用等面积法，设等腰三角形ABC的腰长为x，则有x^2=8^2+(6/2)^2=64+9=73。

因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。

专题23 面积的计算○阅 ○读 ○与 ○思 ○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：例 题 与 求 解【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛)A ．12B ．14C ．16D ．18 解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系.例1图C例2图C【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AH DA＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，P A 与CQ 相交于点E ，且∠P AD＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题) 解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.例3图例4图例5图C【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F . 求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1； (2)P A AD ＋PB BE ＋PC CF＝2 解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把P AAD转化为面积比，利用面积法证明.○能 ○力 ○训 ○练A 级1．如图，ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________. (济南市中考试题) 2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________. (北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________.(浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2， S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于 ( ) (金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a例6图D第2题图CF第1题图第3题图P6．如图，已知M 是ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与ABCD 的面积之比为（ ） （山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于( )(浙江省宁波市中考试题) A ．14 B ．12 C ．23 D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（ ）cm 2. (广东省竞赛试题)A ．4B ．2 3C ．3 3D ．4 39．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..第8题图第5题图DC第4题图D第6题图CM第7题图C第9题图C'11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时， 问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题）图2图1图312．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1) 如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2) 如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3. (3) 如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________. （安徽省中考试题）图2图1图3第10题图B 级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2. （武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________. (北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________. (全国初中数学联赛试题)4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________. (山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于 ( ).A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题) 6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是 ( )A ．13B ．52 C ．715 D ．815(江苏省竞赛试题)7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)A ．2B ．3C ．4D ．5第6题图F第4题图第3题图B第2题图第1题图FA第5题图第7题图A BEF8．(1) 探究：如图1，在ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连接AC ，EF. 在图中找一个与△F AE 全等的三角形，并加以证明.(2) 应用：以ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF ，GH ，IJ ，KL ，若ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________. （长春市中考试题）图1图2BJ9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ＝2cm ，BC ＝4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR ＝120°，底边QR ＝6cm ， 点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上，且C ，Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S cm 2.(1) 当t ＝4时，求S 的值；(2) 当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值. (广州市中考试题)10．有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm ，如图1将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合 将直尺沿AB 方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm 2.(1) 当x ＝0时，S ＝________，当10=x 时，S ＝________； (2) 当0＜x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式；(3) 当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值. (徐州市中考试题)图1图2E11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证第9题图BC(Q)R明你的结论. (全国初中数学联赛试题)12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分. 你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)图1图2图3专题23 面积的计算例1．22 提示：连接AF．例2．选C提示：连接DE．例3提示：连接GA，HB，EC，FD，AC，BD，则(1)(1)HAE HAB ABDS m S m mS=+=+∙△△△，同理(1)FCG BCDS m m S=+△△，故+(1)HAE FCG ABCDS S m m S=+∙△△，同理+(1)EBF GDH ABCDS S m m S=+△△.例4．提示：过E作EF∥BC交AB于F，△AEF≌△ADE≌△ADQ，又△AED∽△PEC，则AD DEPC CE=，积AD·CE=PC·DE．例5．提示：（1）362y x=-+（0≤x≤4）第11题图（2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6. 例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PD S AA AD BC AA ===△△则． 同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△， 故++=1BPC PCA PAB ABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△． （2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=. A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值． 10． 提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线． 11．（1）结论仍然成立，证明略． （2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略 （2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC ''==△△ （3）120°，32aB 级12．256 3．3122n m + 4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略 （2）10 9．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ，S △BDC=122⨯⨯=． （2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4， 由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQRS CR SPQ ==PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2， ∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)5(32+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．②当6＜t ≤10时，如图c ，BR ＝10－t ，BK ⊥RK ，且∠KRB ＝30°，所以BK ＝21BR ＝21(10－t )，KR ＝23(10－t )，S ＝21BK ·KR ＝83(10－t )2．当t ＝6时，S 最大值＝23． 综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．图c图b图aA10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x －14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10． 综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．图a图b图c11．∵∠HBD ＝∠HAE ，∴Rt △BDH ∽Rt △ADC ．∴HDDC BD AD =．又BD ＝DC ＝21BC ， ∴AD ·HD ＝BD ·DC ＝41BC 2．∴S △ABC ·S △HBC ＝(21AD ·BC )(21HD ·BC )＝161BC 4．而BC 是不变的，∴当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC ·S △HBC 保持不变．12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l ．过点D 作DA ⊥OB 于A ，则点P (4，2)为矩形ABCD 的对称中心． ∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可．易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将△DOA 的面积平分，从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积，直线PH 即为所求直线l ．设直线PH 的表达式为y ＝kx ＋b ，且点P (4，2)， ∴2＝4k ＋b ，即b ＝2－4k ，∴y ＝kx ＋2－4k ．∵直线OD 的表达式为y ＝2x ， ∴⎩⎨⎧=-+=x y k kx y 242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=k k y k k x 284242， ∴点H 的坐标为(k k --242，kk --284)． ∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(2，2－2k )，∴0＜2－2k ＜4，∴－1＜k ＜1． ∴S △DHF ＝21(4－2＋2k )·(2－kk --242)＝21×21×2×4，解得k ＝2313-(k ＝2313--不合题意，舍去)．∴b ＝8－213，∴直线l 的表达式为y ＝2313-x ＋8－213．。

八年级数学下棱柱体棱台表面积和体积导言本文将讨论八年级数学中关于棱柱体和棱台的表面积和体积计算方法。

棱柱体和棱台是常见的几何体，它们在日常生活中有着广泛的应用。

了解如何计算它们的表面积和体积是数学研究的重要组成部分。

棱柱体表面积和体积计算棱柱体表面积的计算方法棱柱体的表面积是指所有侧面和底面的总面积。

以下是计算棱柱体表面积的公式：表面积 = 2 ×底面积 + 侧面积其中，底面积可以根据底面形状进行计算，侧面积可以根据棱柱体高度和侧面形状进行计算。

棱柱体体积的计算方法棱柱体的体积是指棱柱体所占的空间大小。

以下是计算棱柱体体积的公式：体积 = 底面积 ×高度其中，底面积可以根据底面形状进行计算，高度是指与底面平行的两个底面之间的垂直距离。

棱台表面积和体积计算棱台表面积的计算方法棱台的表面积是指所有侧面和底面的总面积。

以下是计算棱台表面积的公式：表面积 = 底面积 + 上底面积 + 侧面积其中，底面积可以根据底面形状进行计算，上底面积可以根据上底面形状进行计算，侧面积可以根据棱台高度和侧面形状进行计算。

棱台体积的计算方法棱台的体积是指棱台所占的空间大小。

以下是计算棱台体积的公式：体积 = (上底面积 + 底面积+ √(上底面积 ×底面积)) ×高度 ÷ 3其中，上底面积可以根据上底面形状进行计算，底面积可以根据底面形状进行计算，高度是指与底面平行的两个底面之间的垂直距离。

总结通过本文，我们了解了八年级数学中棱柱体和棱台的表面积和体积计算方法。

这些计算方法是数学学习的基础，有助于我们在日常生活中应用几何知识。

希望本文对你有所帮助！。