含参量积分一致收敛及其应用

第 24 卷第 7 期 绍 兴 文 理 学 院 学 报Vol.24 No.72004 年 3 月JOURNAL OF SHAOXING UNIVERSITYM ar .2004数学分析中“一致收敛”概念的推广及其应用汪文珑(绍兴文理学院 数学系, 浙江 绍兴 312000)摘 要:将数学分析中一致收敛性的概念加以推广, 分别对函数项级数和含参量积分引入次一致收敛的概念, 证明了函数 项级数、含参量非正常积分连续性的充要条件和可微性的充分条件, 推广了数学分析中的相应结论 .关键词:一致收敛;次一致收敛;连续;可微中图分类号:O177 文献标识码:A 文章编号:1008-293X(2004)07-0006 -03熟知,函数项级数 ∑u n (x)的一致收敛性是保证其和函数具有连续性、可微性、可积性的重要条件 ,但又只是充分条件, 对含参量无穷积分∫+∞c f (x , y)同样如此〔1〕.由于一致收敛条件较苛刻, 因此考虑各种形式的推广是数学分析中一个饶有兴趣的问题.本文引入函数项级数和含参量无穷积分次一致收敛的概 念,并以此概念为基础,推广了数学分析中的有关结论 .设函数项级数与含参量非正常积分分别为:∞∑u n (x)=u 1(x)+u 2(x)+… +u n (x)+…n =1I(x)=∫+∞c f (x , y)dy , x ∈ 〔a , b 〕n函数项级数(1)的部分和记为 S n (x)= ∑u k (x), n =1 , 2 ,3 , …k =1定义 1 设 u n (x)定义于区间 I ,若对任意 ε>0 及自然数 m ,存在有限个开区间 I 1 , I 2 I ,存在一组大于 m 的自然数N i ,使得 n ≥N i , x ∈ I i ∩ I , i =1 ,2 , …, j ,有(1)(2), …, I j 覆盖了∞r n (x) = ∑ u n (x) <εk =n+1则称级数(1)在 I 上次一致收敛.定义 2 设含参量非正常积分(2)定义于 I ,若对任意 ε>0 及 m ≥c ,存在有限个开区间 I 1 , I 2 , …, I j 覆盖了 I ,存在一组大于 m 的数N i ,使 n ≥N i , x ∈ I i ∩ I , i =1 ,2 , …,j ,有∫+∞∫nc f (x , y)dy - c f (x , y)dy <ε则称含参量非正常积分(2)在 I 上次一致收敛.注:由定义可知 :一致收敛 次一致收敛 逐点收敛 .例如,级数 ∑x n在(0 ,1)非一致收敛,但由定理1 可知级数是次一致收敛的,因为其和函数在(0 ,1)连续. 定理 1〔2〕设 u n (x)在 I 上连续,且(1)的和函数是 f (x), 则 f(x)在 I 上连续的充要条件是 :级数(1)在 I 上次一致收敛 .定理2 设 f(x , y)为〔a , b 〕×〔c , +∞)上的连续函数,则含参量非正常积分(2)定义的函数 I(x)在 〔a , b 〕上连续的充要条件是含参量非正常积分(2)在〔a , b 〕上次一致收敛 .证明 必要性 :设 I(x)在〔a ,b 〕上连续 , x 0 ∈ 〔a , b 〕,对任意的 ε>0 ,存在 δ1 >0 ,当|x -x 0 |<收稿日期:2004 -02 -13作者简介:汪文珑(1948-),男,江西贵溪人,教授,硕士,从事应用泛函分析研究.第 7 期 汪文珑:数学分析中“一致收敛” 概念的推广及其应用 7+∞+∞+∞δ1时, 有|I(x)-I(x 0)|=∫c f(x , y)dy -∫c f(x 0 , y)dy< 3ε,又因∫c f (x , y)dy 在〔a , b 〕 上收敛 ,所以对任意的 m ≥c ,存在 N 0 >m ,当 n >N 0 时+∞ nε∫c f (x 0 , y )dy -∫c f(x 0, y)dy<3n由于 f(x , y)在〔a , b 〕 ×〔c , +∞)上连续, 所以∫c f(x , y)dy 在〔a , b 〕上也连续 , 故存在 0 <δ<δ1, 当|x x |时有n f (x , y)dy - n f(x 0 , y)dy ε 于是< 3,- 0 <δ ,∫c∫c+∞n+∞+∞n n∫c f (x , y)dy -∫c f(x , y)dy≤∫c f (x ,y)dy-∫c f (x 0 , y)dy+∫c f(x 0 ,y)dy -∫c f(x , y)dy+∞n+∫c f (x 0, y)dy -∫c f(x 0, y)dy<ε这表明对任意 x 0 ∈ 〔a , b 〕,存在 x 0 的邻域 I x 0 ,当 x ∈ I x 0 时, 有+∞n∫c f (x , y)dy -∫c f(x , y)dy<ε当 x 0 取遍〔a , b 〕, 所得开区间族{I x }覆盖了〔a .b 〕,据有限覆盖定理, 便得到必要性的证明 .充分性:对任意 x 0 ∈ 〔a , b 〕, ε>0 ,取 m =c ,根据含参量非正常积分(2)的次一致收敛性,存在开区间 I k以及相应的N k >m ,使 x 0 ∈ I k ,当 n >N k 时 ,有+∞ nε∫c f(x , y )dy-∫c f(x , y)dy<3对 x ∈ I k 都成立 ,而+∞+∞I(x)-I(x 0) = ∫c f (x , y)dy -∫c f (x, y)dynn+∞n+∞ n≤∫c f(x ,y)dy -∫c f(x 0 ,y)dy +∫c f (x ,y)dy -∫c f(x , y)dy +∫c f(x 0, y)dy -∫c f(x 0, y)dyn利用∫c f(x , y)dy 的连续性,存在 δ>0 , 使(x 0 -δ, x 0 +δ)I k , 且当 x ∈ (x 0-δ, x 0 +δ)时 , 有n n ε∫c f(x ,y )dy -∫c f(x 0 , y)dy< 3 ,因此当|x -x 0|<δ时 ,有+∞+∞|I(x)-I(x 0)|=∫c f(x , y)dy -∫c f(x 0, y)dy<ε即 I(x)在 x 0 处连续 .由 x 0 的任意性可知 I(x)在〔a , b 〕上连续.+∞定理 3 若(1)在 x 0 ∈ 〔a , b 〕收敛, 每个 u n (x)在〔a , b 〕 内可导,且 ∑u′n (x)在〔a ,b 〕内次一致收敛,则(1)在〔a , b 〕 内次一致收敛 ,且n =1+∞+∞ ′d ′dx∑u n (x) =∑u n (x)n =1n =1+∞证明:设 g(x)= ∑u n (x),由题设 ,任意ε>0及m ∈ N ,存在有限个开区间 I 1 , I 2 , …, I j 覆盖了〔a , b 〕,n =1存在一组大于 m 的自然数 N k , k =1 ,2 , …,j ,对任意 x ∈ 〔a ,b 〕,设 x ∈ I k ,1 ≤k ≤j ,当 n >N k 时,有+∞ ε +∞ ′ ε∑u i (x) < , ∑u i (x) <2 2(b -a) i =n +1 i =n+1∞ ∞ ∞ ∞于是∑ u k (x)≤∑ u k (x)-∑ u k (x 0)+∑ u k (x 0)k =n+1k =n+1k =n+1k =n+1=∞ ′+∞<ε∑ u k (ξ)‖ x -x 0∑ u k (x 0)k =n+1k =n+1其中 ξ介于 x 与x 0 之间, 这表明级数(1)在〔a ,b 〕次一致收敛 ,设极限函数为 f(x).8 绍兴文理学院学报(自然科学) 第 24 卷下面证明 f(x)在〔a , b 〕可微 ,且 f ′(x)=g(x).任意 x ∈ 〔a , b 〕,存在 I k , 使得 x ∈ I k ,若 x 为〔a , b 〕的内点,令 h =min{|x -t |:t 为 I k 的端点},定义 : d n (t)=S n (x+t )t-S n (x),t ≠0 ; S ′(x), t =0 .n(注 :当 x +h(或 x -h)为 I k 的端点时 ,存在 I k l ,使得 x +h(或 x -h)为 I k l 的内点 ,所以 d n (t)在点 h(或 -h)有定义),易知 d n (t)为〔-h , h 〕上的连续函数,且|d n+p (t)-d n (t)|= S n+p (x +t )t -S n+p (x)-S n (x +t)t -S n (x)S ′n+p (x +θ1t)-S ′n (x +θ2t)ε1=<b -a ( < θ,1θ2 < )对所有 n >N k , p ≥1 , t ∈ 〔-h , h 〕成立,故{d n (t)}在〔-h , h 〕上一致收敛于d(t)= f (x +t)t-f(x),t ≠0 ; g(t), t =0 .注意到 d(t)在〔-h , h 〕 上连续, 故有 :lim d(t)=limf(x+t)-f(x)=g(x).t →0t →0t即 f(x)可导且 f ′(x)=g(x)对于 x =a 或x =b 的情形 ,只需将 t ∈ 〔-h , h 〕相应地改为〔0 , h 〕或〔-h ,0〕,便可以证明 f(x)在 x =a 或 x =b 分别具有单侧导数 .定理 4 若(2)在 x 0 ∈ 〔a , b 〕收敛 , f(x ,y )在〔a , b 〕 ×〔c , +∞〕对 x 的偏导存在,又∫+∞c f x(x , y)dy在〔a , b 〕 次一致收敛,则(2)在〔a ,b 〕次一致收敛, 且dx d (∫+∞c f(x , y)dy =∫+∞c f x (x , y)dy证明 :与定理 3 的证明类似 .参考文献 :1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)〔M 〕.北京 :高等教育出版社, 2000 .2 胡雁军, 李育生,邓聚成 .数学分析中的证题方法与难题选解〔M 〕.郑州 :河南大学出版社,1987 .Generalization and application of the uniformlyconvergence in mathematical analysisWang Wenlong(Department of Mathematics ,Shaoxing University ,Shaoxing ,Zhejiang ,312000)Abstract : In this paper we study the generalization of the uniformly convergence in mathematicalanalysis , quote the concept of second uniformly convergence to functional series and integral with parameter .Furthermore ,we obtain a suf-ficient and necessary condition about continuity of functional series and integral with parameter , and show the sufficient condition about differential .Key words: uniformly convergence ;second uniformly convergence ;continuity ;differential。

含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希 指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛1 引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰(1)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有()(,),[,],cI x f x y dy x a b +∞=∈⎰(2)称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2 含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰，则称含参量反常积分(1)在],[b a 一致收敛于()I x ，或简单地说含参量积分(1)在[,]a b 上一致收敛.2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任給的正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰, )3(证明 （必要性） 由于含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛，则 对0>∀ε,0>∃M ,M A A >∀21,时，使得],[b a x ∈∀时，有1(,)2A f x y dy ε+∞<⎰,且2(,)2A f x y dy ε+∞<⎰由2112(,)(,)(,)A A A A f x y dy f x y dy f x y dy+∞+∞=-⎰⎰⎰12(,)(,)A A f x y dy f x y dy +∞+∞≤+⎰⎰εεε=+<22可知：0,0>∃>∀M ε，当M A A >21,时， 有21(,)A A f x y dy ε<⎰.（充分性) 因为0ε∀>，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰,当+∞→2A 时，有1(,)A f x y dy ε+∞<⎰成立.故⎰+∞1),(A dy y x f在),[],[1+∞⨯A b a 上是一致收敛的. 又因为⎰⎰⎰+∞+∞+=11),(),(),(A cA cdy y x f dy y x f dy y x f ,其中⎰1),(A cdy y x f 是含参量正常积分，故一致收敛.所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[],[+∞⨯c b a 上是一致收敛的.2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1 含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列}{n A （其中c A =1），函数项级数)(),(111x u dy y x f n A A n n n n∑⎰∑∞=∞=+= )4(在],[b a 上一致收敛.证明 (必要性）由)1(在],[b a 上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >，使当M A A >>'"时，对一切],[b a x ∈，总有"'(,)A A f x y dy ε<⎰. )5(又由)(∞→+∞→n A n ，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当N n m >>时，就有M A A n m >>.由)5(对一切],[b a x ∈，就有11()()(,)(,)m n m nA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰1(,)m nA A f x y dy ε+=<⎰.这就证明了级数)4(在],[b a 上一致收敛.(充分性) 用反证法.假若)1(在],[b a 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >>'"和],['b a x ∈，使得"''0(,)A Af x y dy ε≥⎰,现取},1m ax {1c M =，则存在112M A A >>及],[1b a x ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰一般的，取)2}(,m ax {12≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及],[b a x n ∈，使得2210(,)nn A n A f x y dy ε-≥⎰)6(由上述所得到的数列}{n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim .现在考察级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n n n ndy y x f x u由)6(式知存在正数0ε，对任何正整数N ,只要N n >,就有某个],[b a x n ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰这与级数)4(在],[b a 上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M 判别法）设有函数，使得(,)(),,f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设)1( 对一切实数c N >，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一致有界，即存在正数M ,对一切c N >及一切],[b a x ∈，都有(,);Ncf x y dy M ≤⎰)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致的收敛于0，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设)1(⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.2.6 含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.1 （连续性） 设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若反常积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰)7(在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于∞+的数列}{n A )(1c A =，函数项级数∑⎰∑+∞=+∞=+==111)(),()(n A A n n n nx u dy y x f x I )8(在],[b a 上一致收敛.又由于),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，故每个)(x u n 都在],[b a 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在],[b a 上连续.定理 2.6.2 （可微性） 设 ),(y x f 与),(y x f x 在区域),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上收敛，dy y x f cx ),(⎰+∞在],[b a 上一致收敛，则)(x I 在],[b a 上可微，且dy y x f x I cx ),()('⎰+∞=)9(证明 对任一递增且趋于∞+的数列)}({1c A A n =，令⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u则()dy y x f x u n nA A x n ),(1'⎰+=由()dy y x f cx ⎰+∞,在],[b a 上一致收敛及定理1，可得函数项级数dy y x f x u n A A x n n n n),()(11'1∑⎰∑+∞=+∞=+=在],[b a 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得()()()()dy y x f dy y x f x u x I cx n A A x n n n n,,11''1⎰∑⎰∑∞+∞=∞====+定理2.6.3 （可积性） 设()y x f ,在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若()()dy y x f x I c⎰+∞=,在],[b a 上一致收敛，则()x I 在],[b a 上可积，且()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞=b accbadx y x f dy dy y x f dx ,,证明 由定理2.6.1知道()x I 在],[b a 上连续，从而()x I 在],[b a 上可积.又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数()8在],[b a 上一致收敛，且各项()x u n 在],[b a 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有⎰∑⎰∑⎰⎰++∞=+∞===1),()()(11n nA A n ban ban bady y x f dx dx x u dx x I()∑⎰⎰+∞=+=11,n A A ban ndx y x f dy (10)这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作()()⎰⎰⎰+∞=bacbadx y x f dy dx x I ,定理2.6.4设()y x f ,在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若 (1)()⎰+∞adx y x f ,关于y 在任何闭区间],[d c 上一致收敛，()⎰+∞cdy y x f ,关于x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛； (2)积分(),acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与(),cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛， 则()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accadx y x f dy dy y x f dx ,,3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义设()y x f ,在区域),[],[d c b a ⨯上有定义，若对x 的某些值，d y =为函数()y x f ,的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称()⎰dcdy y x f , (11)为含参量x 的瑕积分.3.2 含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有(),dd f x y dy ηε-<⎰则称含参量瑕积分(11)在],[b a 上一致收敛.3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，存在不依赖于x 的0>δ，使得当δηη<<<'0时，对一切[]b a x ,∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰(12)证明 (必要性）由(11)在[]b a ,上一致收敛，故对任给的)(0c d -<>δε，存在0>δ，使得δηη<<<'0时，有 (),2dd f x y dy ηε-<⎰与'(,)2dd f x y dy ηε-<⎰同时成立，则有()()'',(,),d ddd d d f x y dy f x y dy f x y dy ηηηη----=-⎰⎰⎰'(,)(,)ddd d f x y dy f x y dy ηηε--≤+<⎰⎰（充分性）由所给条件知：对任给正数ε，存在不依赖于x 的)(0c d -<>δδ，使得当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰成立.令0'→η，则有(,)dd f x y dy ηε-<⎰成立.由定义知：含参量瑕积分)11(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M 判别法）设有函数)(y g ，使得(),(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (13) 若⎰dcdy y g )(收敛，则含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.证明 因为⎰dcdy y g )(收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，对于任意的',ηη，且δηη<<<'0，有 ⎰--<')(ηηεd d dy y g又由)13(可得⎰⎰⎰------<≤≤''')(|),(||),(|ηηηηηηεd d d d d d dy y g dy y x f dy y x f故由定理3.3.1知：含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列)(),}({1+∞→→=n d A c A A n n 时，相应的函数项级数)(),(111x u dy y x f n n n A A n n∑∑⎰∞=∞==+ )14(在],[b a 上一致收敛.证明 （必要性）因为)11(在],[b a 上一致收敛，由定理5知：对任给的0>ε，必存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，总有εηη<⎰'--d d dy y x f ),( )15(成立.令n n A d -=η，由)(∞→→n d A n 且n A 递增，则)(0∞→→n n η且递减.由数列极限定义，对上述0>δ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有δηη<<<n m 0，于是)()()(1x u x u x u m n n ++++ ⎰⎰++++=11),(),(n n m mA A A A dy y x f dy y x f⎰+=1),(m nA A dy y x fεηη<=⎰+--1),(m nd d dy y x f根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛.（充分性） 用反证法，假设)11(在],[b a 上非一致收敛，则存在某一正数00>ε，使得)(0c d -<>∀δδ，存在相应的δηη<<'<0和],[b a x ∈'，有0),(εηη≥'⎰'--d d dy y x f现取},1m in{1c d -=δ，则存在1120δηη<<<及],[1b a x ∈，使得121),(εηη≥⎰--d d dy y x f一般的取)2}(,1min{1≤-=-n nn n n ηηδ，则有n n n δηη<<<+10及],[b a x n ∈，使得01),(εηη≥⎰+--n nd d dy y x f )16(令n n d A η-=，则}{n A 是递增数列，且有d A n n =∞→lim .考察级数∑∑⎰∞=∞=+=111),()(n n A A n n ndy y x f x u )17(由)16(式知存在正数00>ε，对任意正整数N ，只要N n >就有某个],[b a x n ∈，使01),()(ε≥=⎰+n nA A n n dy y x f x u这与函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛的条件矛盾，故)1(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(对一切d d c <'<，含参量正常积分⎰'d cdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一有界，即存在正数M ，对任何d d c <'<及一切],[b a x ∈，有M y x f d c≤⎰'),()2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 单调且当d y →时，对参量),(,y x g x 一致收敛于0.则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.6 设),(y x f 在),[],[d c b a ⨯上连续，对任何⎰∈dcdy y x f b a x ),(],,[收敛，且⎰dcdy y b f ),(发散，则⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.证明 用反证法.若⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<'<0时，对一切),[b a x ∈有εηη<⎰'--d d y x f ),(根据假设),(y x f 在],[],[ηη'--⨯d d b a 上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令-→b x ，有εηη≤⎰'--d d dy y b f ),(这与假设含参量瑕积分⎰dcdy y b f ),(发散矛盾.故⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.4 典型例题例4.1 证明含参量反常积分dx x xy⎰+∞+021cos )18( 在),(+∞-∞上一致收敛.证明 由于对任何实数y 有22111cos x x xy +≤+，及反常积分⎰+∞+021xdx收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分)18(在),(+∞-∞上一致收敛.例4.2 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy)19( 在],0[d 上一致收敛.证明 由于反常积分dx xx⎰+∞sin 收敛（当然，对于参量y ，它在],0[d 上一致收敛），函数),(y x g xye-=对每个],0[d y ∈单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有1),(≤=-xy e y x g故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分)19(在],0[d 上一致收敛.例4.3 证明含参量瑕积分dy xy xy ⎰-1sin ))1,0((∈x在)1,0(上一致收敛.证明 因为dy xy xy dy y x xydy xy xy xx⎰⎰⎰-+-=-101sin sin sin所以对于含参量瑕积分dy yx xyx⎰-0sin ， 由于⎰⎰---≤-x x xx yx xy dy y x xy ηηsin sinηη21=-≤⎰-dy yx xx 故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰-xx yx xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的. 对于积分dy xy xyx⎰-1sin 由于ηηη2sin =-≤-⎰⎰++x xx xxy dydy x y xy故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰+x xdy xy xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的.于是积分dy xy xy ⎰-1sin对于)1,0(∈∀x 一致收敛.例4.4 证明含参量瑕积分⎰1)ln(dy xy 在],1[b b)0(>b 上一致收敛. 证明 由条件可知y x xy ln ln )ln(+=y x ln ln +≤y b ln ln -≤ 而⎰1)ln(dy xy收敛.所以由魏尔斯特拉斯M 判别法知：⎰1)ln(dy xy在)1](,1[>b b b上一致收敛.例4.5 证明含参量瑕积分dy ye xy11⎰- 在],0[d 一致收敛.证明 由于dy y⎰11 收敛（当然，对于参量x ，它在],0[d 上一致收敛）. 函数xyey x g -=),(，对每个],0[d x ∈单调，且对任何10,0≤≤≤≤y d x ，都有1),(≤=-xy e y x g ，故由阿贝尔判别法知dy ye xy11⎰- 在],0[d 上一致收敛.结束语本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用.参考文献[1] 华东师范大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,2001. [2] 复旦大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,1985． [3] 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹[M],上海崇文书局，2003． [4] 吉米多维奇数学习题集[M],北京人民教育出版社,1978．[5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993.[6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004.Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter ImproperIntegralAuthor:Jiang Bixi Supervisor: Zhang HaiAbstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improperintegral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems.Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence。

含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1。

1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在［a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=(这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=1),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ，所以当y<0时，x —y>0,则sgn （x —y ）=1，即f （x ，y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时， f （x ，y)= 0,x=y ，1,x 〉y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1， y 〈0当y 〉1时， f （x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F （x)= 1-2y ，0≤y<0—1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y ）在y=0与y=1处均连续，因而F(y ）在),(+∞-∞上连续。

例2 求下列极限：(1）dx a x ⎰-→+11220limα; （2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=［-1，1]⨯［—1.1］上连续，则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在［-1，1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα。

（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间［0，1]上是正的连续函数。

含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希 指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛1 引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰(1)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有()(,),[,],cI x f x y dy x a b +∞=∈⎰(2)称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2 含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰，则称含参量反常积分(1)在],[b a 一致收敛于()I x ，或简单地说含参量积分(1)在[,]a b 上一致收敛.2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任給的正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰, )3(证明 （必要性） 由于含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛，则 对0>∀ε,0>∃M ,M A A >∀21,时，使得],[b a x ∈∀时，有1(,)2A f x y dy ε+∞<⎰,且2(,)2A f x y dy ε+∞<⎰由2112(,)(,)(,)A A A A f x y dy f x y dy f x y dy+∞+∞=-⎰⎰⎰12(,)(,)A A f x y dy f x y dy +∞+∞≤+⎰⎰εεε=+<22可知：0,0>∃>∀M ε，当M A A >21,时， 有21(,)A A f x y dy ε<⎰.（充分性) 因为0ε∀>，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰,当+∞→2A 时，有1(,)A f x y dy ε+∞<⎰成立.故⎰+∞1),(A dy y x f在),[],[1+∞⨯A b a 上是一致收敛的. 又因为⎰⎰⎰+∞+∞+=11),(),(),(A cA cdy y x f dy y x f dy y x f ,其中⎰1),(A cdy y x f 是含参量正常积分，故一致收敛.所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[],[+∞⨯c b a 上是一致收敛的.2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1 含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列}{n A （其中c A =1），函数项级数)(),(111x u dy y x f n A A n n n n∑⎰∑∞=∞=+= )4(在],[b a 上一致收敛.证明 (必要性）由)1(在],[b a 上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >，使当M A A >>'"时，对一切],[b a x ∈，总有"'(,)A A f x y dy ε<⎰. )5(又由)(∞→+∞→n A n ，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当N n m >>时，就有M A A n m >>.由)5(对一切],[b a x ∈，就有11()()(,)(,)m n m nA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰1(,)m nA A f x y dy ε+=<⎰.这就证明了级数)4(在],[b a 上一致收敛.(充分性) 用反证法.假若)1(在],[b a 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >>'"和],['b a x ∈，使得"''0(,)A Af x y dy ε≥⎰,现取},1m ax {1c M =，则存在112M A A >>及],[1b a x ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰一般的，取)2}(,m ax {12≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及],[b a x n ∈，使得2210(,)nn A n A f x y dy ε-≥⎰)6(由上述所得到的数列}{n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim .现在考察级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n n n ndy y x f x u由)6(式知存在正数0ε，对任何正整数N ,只要N n >,就有某个],[b a x n ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰这与级数)4(在],[b a 上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M 判别法）设有函数，使得(,)(),,f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设)1( 对一切实数c N >，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一致有界，即存在正数M ,对一切c N >及一切],[b a x ∈，都有(,);Ncf x y dy M ≤⎰)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致的收敛于0，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设)1(⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.2.6 含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.1 （连续性） 设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若反常积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰)7(在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于∞+的数列}{n A )(1c A =，函数项级数∑⎰∑+∞=+∞=+==111)(),()(n A A n n n nx u dy y x f x I )8(在],[b a 上一致收敛.又由于),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，故每个)(x u n 都在],[b a 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在],[b a 上连续.定理 2.6.2 （可微性） 设 ),(y x f 与),(y x f x 在区域),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上收敛，dy y x f cx ),(⎰+∞在],[b a 上一致收敛，则)(x I 在],[b a 上可微，且dy y x f x I cx ),()('⎰+∞=)9(证明 对任一递增且趋于∞+的数列)}({1c A A n =，令⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u则()dy y x f x u n nA A x n ),(1'⎰+=由()dy y x f cx ⎰+∞,在],[b a 上一致收敛及定理1，可得函数项级数dy y x f x u n A A x n n n n),()(11'1∑⎰∑+∞=+∞=+=在],[b a 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得()()()()dy y x f dy y x f x u x I cx n A A x n n n n,,11''1⎰∑⎰∑∞+∞=∞====+定理2.6.3 （可积性） 设()y x f ,在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若()()dy y x f x I c⎰+∞=,在],[b a 上一致收敛，则()x I 在],[b a 上可积，且()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞=b accbadx y x f dy dy y x f dx ,,证明 由定理2.6.1知道()x I 在],[b a 上连续，从而()x I 在],[b a 上可积.又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数()8在],[b a 上一致收敛，且各项()x u n 在],[b a 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有⎰∑⎰∑⎰⎰++∞=+∞===1),()()(11n nA A n ban ban bady y x f dx dx x u dx x I()∑⎰⎰+∞=+=11,n A A ban ndx y x f dy (10)这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作()()⎰⎰⎰+∞=bacbadx y x f dy dx x I ,定理2.6.4设()y x f ,在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若 (1)()⎰+∞adx y x f ,关于y 在任何闭区间],[d c 上一致收敛，()⎰+∞cdy y x f ,关于x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛； (2)积分(),acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与(),cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛， 则()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accadx y x f dy dy y x f dx ,,3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义设()y x f ,在区域),[],[d c b a ⨯上有定义，若对x 的某些值，d y =为函数()y x f ,的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称()⎰dcdy y x f , (11)为含参量x 的瑕积分.3.2 含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有(),dd f x y dy ηε-<⎰则称含参量瑕积分(11)在],[b a 上一致收敛.3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，存在不依赖于x 的0>δ，使得当δηη<<<'0时，对一切[]b a x ,∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰(12)证明 (必要性）由(11)在[]b a ,上一致收敛，故对任给的)(0c d -<>δε，存在0>δ，使得δηη<<<'0时，有 (),2dd f x y dy ηε-<⎰与'(,)2dd f x y dy ηε-<⎰同时成立，则有()()'',(,),d ddd d d f x y dy f x y dy f x y dy ηηηη----=-⎰⎰⎰'(,)(,)ddd d f x y dy f x y dy ηηε--≤+<⎰⎰（充分性）由所给条件知：对任给正数ε，存在不依赖于x 的)(0c d -<>δδ，使得当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰成立.令0'→η，则有(,)dd f x y dy ηε-<⎰成立.由定义知：含参量瑕积分)11(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M 判别法）设有函数)(y g ，使得(),(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (13) 若⎰dcdy y g )(收敛，则含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.证明 因为⎰dcdy y g )(收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，对于任意的',ηη，且δηη<<<'0，有 ⎰--<')(ηηεd d dy y g又由)13(可得⎰⎰⎰------<≤≤''')(|),(||),(|ηηηηηηεd d d d d d dy y g dy y x f dy y x f故由定理3.3.1知：含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列)(),}({1+∞→→=n d A c A A n n 时，相应的函数项级数)(),(111x u dy y x f n n n A A n n∑∑⎰∞=∞==+ )14(在],[b a 上一致收敛.证明 （必要性）因为)11(在],[b a 上一致收敛，由定理5知：对任给的0>ε，必存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，总有εηη<⎰'--d d dy y x f ),( )15(成立.令n n A d -=η，由)(∞→→n d A n 且n A 递增，则)(0∞→→n n η且递减.由数列极限定义，对上述0>δ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有δηη<<<n m 0，于是)()()(1x u x u x u m n n ++++ ⎰⎰++++=11),(),(n n m mA A A A dy y x f dy y x f⎰+=1),(m nA A dy y x fεηη<=⎰+--1),(m nd d dy y x f根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛.（充分性） 用反证法，假设)11(在],[b a 上非一致收敛，则存在某一正数00>ε，使得)(0c d -<>∀δδ，存在相应的δηη<<'<0和],[b a x ∈'，有0),(εηη≥'⎰'--d d dy y x f现取},1m in{1c d -=δ，则存在1120δηη<<<及],[1b a x ∈，使得121),(εηη≥⎰--d d dy y x f一般的取)2}(,1min{1≤-=-n nn n n ηηδ，则有n n n δηη<<<+10及],[b a x n ∈，使得01),(εηη≥⎰+--n nd d dy y x f )16(令n n d A η-=，则}{n A 是递增数列，且有d A n n =∞→lim .考察级数∑∑⎰∞=∞=+=111),()(n n A A n n ndy y x f x u )17(由)16(式知存在正数00>ε，对任意正整数N ，只要N n >就有某个],[b a x n ∈，使01),()(ε≥=⎰+n nA A n n dy y x f x u这与函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛的条件矛盾，故)1(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(对一切d d c <'<，含参量正常积分⎰'d cdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一有界，即存在正数M ，对任何d d c <'<及一切],[b a x ∈，有M y x f d c≤⎰'),()2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 单调且当d y →时，对参量),(,y x g x 一致收敛于0.则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.6 设),(y x f 在),[],[d c b a ⨯上连续，对任何⎰∈dcdy y x f b a x ),(],,[收敛，且⎰dcdy y b f ),(发散，则⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.证明 用反证法.若⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<'<0时，对一切),[b a x ∈有εηη<⎰'--d d y x f ),(根据假设),(y x f 在],[],[ηη'--⨯d d b a 上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令-→b x ，有εηη≤⎰'--d d dy y b f ),(这与假设含参量瑕积分⎰dcdy y b f ),(发散矛盾.故⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.4 典型例题例4.1 证明含参量反常积分dx x xy⎰+∞+021cos )18( 在),(+∞-∞上一致收敛.证明 由于对任何实数y 有22111cos x x xy +≤+，及反常积分⎰+∞+021xdx收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分)18(在),(+∞-∞上一致收敛.例4.2 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy)19( 在],0[d 上一致收敛.证明 由于反常积分dx xx⎰+∞sin 收敛（当然，对于参量y ，它在],0[d 上一致收敛），函数),(y x g xye-=对每个],0[d y ∈单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有1),(≤=-xy e y x g故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分)19(在],0[d 上一致收敛.例4.3 证明含参量瑕积分dy xy xy ⎰-1sin ))1,0((∈x在)1,0(上一致收敛.证明 因为dy xy xy dy y x xydy xy xy xx⎰⎰⎰-+-=-101sin sin sin所以对于含参量瑕积分dy yx xyx⎰-0sin ， 由于⎰⎰---≤-x x xx yx xy dy y x xy ηηsin sinηη21=-≤⎰-dy yx xx 故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰-xx yx xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的. 对于积分dy xy xyx⎰-1sin 由于ηηη2sin =-≤-⎰⎰++x xx xxy dydy x y xy故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰+x xdy xy xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的.于是积分dy xy xy ⎰-1sin对于)1,0(∈∀x 一致收敛.例4.4 证明含参量瑕积分⎰1)ln(dy xy 在],1[b b)0(>b 上一致收敛. 证明 由条件可知y x xy ln ln )ln(+=y x ln ln +≤y b ln ln -≤ 而⎰1)ln(dy xy收敛.所以由魏尔斯特拉斯M 判别法知：⎰1)ln(dy xy在)1](,1[>b b b上一致收敛.例4.5 证明含参量瑕积分dy ye xy11⎰- 在],0[d 一致收敛.证明 由于dy y⎰11 收敛（当然，对于参量x ，它在],0[d 上一致收敛）. 函数xyey x g -=),(，对每个],0[d x ∈单调，且对任何10,0≤≤≤≤y d x ，都有1),(≤=-xy e y x g ，故由阿贝尔判别法知dy ye xy11⎰- 在],0[d 上一致收敛.结束语本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用.参考文献[1] 华东师范大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,2001. [2] 复旦大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,1985． [3] 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹[M],上海崇文书局，2003． [4] 吉米多维奇数学习题集[M],北京人民教育出版社,1978．[5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993.[6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004.Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter ImproperIntegralAuthor:Jiang Bixi Supervisor: Zhang HaiAbstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improperintegral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems.Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence。

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）题目一致收敛性及应用学院理学院成绩2013年 6月20日摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。

本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。

通过研究定理当中，函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性以及含参变量广义积分的一致收敛性的一致收敛的充分必要条件、一般性质和判别方法，对比出三者之间的联系。

通过例题，说明了一致收敛是和函数的充分分析性质，而不是必要条件。

由此我们可以看出，在数学分析教学中，合理恰当的例题会更好的展现出定理。

关键词：函数列；函数项级数；含参变量广义积分；一致收敛AbstractStudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. Using the definition of simple introduction to the uniform convergence. Using the Cauchy criterion of uniform convergence, Prove discriminance of uniform convergence in series of functions. Through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in uniform convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. Through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a necessary condition. From this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.Keyword:sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters；uniform convergence目录摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。