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大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
浅谈一元隐函数求导方法摘要：一元隐函数求导方法是微积分中的一项重点内容，它具有重要的应用价值。
在本文中，我们将详细介绍一元隐函数的概念、基本性质、求导方法以及实例应用。
本文不仅适合于初学者，同时也对于拓展和深入研究微积分理论的读者具有参考价值。
关键词：一元隐函数；求导方法；微积分；应用正文：一、概念所谓一元隐函数，是指由一个自变量和一个或多个函数构成的方程，其中一个函数表示成其他所有函数关于自变量的隐函数形式。
其形式可以表示为：F(x,y)=0其中，x 为自变量，y 为一元函数，F(x,y) 为二元函数。
这个等式中的 y 就是一元隐函数，它只取决于 x 的值。
二、基本性质对于一元隐函数，存在三个重要的性质，分别是：1.存在性对于形如 F(x,y)=0 的一元隐函数，如果存在一个点 (x0,y0) 使得 F(x0,y0)=0，且在该点处 y 作为 x 的函数存在，那么该一元隐函数存在。
2.唯一性如果一元隐函数存在，那么它是唯一的。
也就是说，在同一区间内，同一自变量所对应的函数值只有一个。
3.连续性如果 F(x,y) 在点 (x0,y0) 处连续且Fy(x0,y0)≠0，那么 y 作为 x 的函数也在点 x0 处连续。
三、求导方法对于一元隐函数的求导，有两种不同的方法可以使用。
1.牛顿-莱布尼茨公式法该方法是利用牛顿-莱布尼茨公式进行求导。
根据该公式，如果 y 是由一个方程 F(x,y)=0 决定的一元隐函数，那么该函数的导数可以表示为：dy/dx=-Fx/Fy其中，Fx 和 Fy 分别代表 F(x,y) 对 x 和 y 的偏导数。
2.隐函数定理法该方法是利用隐函数定理进行求导。
隐函数定理是指，在一个充分满足条件的函数系统中，方程可以用一个函数表示成另一个函数关于自变量的隐函数形式。
根据该定理，对于方程F(x,y)=0，它的一阶偏导数可以表示为：dy/dx=-Fx/Fy其中，Fx 和 Fy 分别代表 F(x,y) 对 x 和 y 的偏导数。
高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。
一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。
微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。
在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。
总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。
∫微积分计算举例微积分是数学中的一个重要分支，用于研究函数的变化和求解各种问题。
本文将通过一系列的例子来介绍微积分的计算方法，以帮助读者更好地理解和掌握微积分。
1.一元函数的定积分一元函数的定积分是微积分中的一个基本概念。
它可以用于计算函数在给定区间上的面积、弧长、质量等问题。
例1：计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
解：首先，我们需要求出函数f(x)=x^2的不定积分，即求出其原函数F(x)。
根据幂函数的积分法则，我们有F(x)=(1/3)x^3+C，其中C是常数。
然后，我们可以使用定积分的基本计算公式来求解定积分。
公式为∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
将函数 f(x) = x^2 和区间 [0, 1] 代入公式中，我们有∫[0, 1] x^2 dx = F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3因此，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3，即所求答案。
2.一元函数的不定积分和定积分相对应的是不定积分。
不定积分是求解函数的原函数，也就是函数f(x)的一个反导函数。
例2：计算函数f(x)=2x的不定积分。
解：根据幂函数的积分法则，函数f(x)的不定积分为F(x)=x^2+C，其中C是常数。
因此，函数f(x)=2x的不定积分为F(x)=x^2+C。
3.一元函数的导数微积分中还有一个重要的概念是函数的导数。
导数可以用来描述函数在其中一点处的变化率，它是函数在该点的切线斜率。
例3：计算函数f(x)=x^3的导数。
解：根据幂函数的导数法则，我们可以得到函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2因此，函数f(x)=x^3的导数为f'(x)=3x^24.一元函数的极值点极值点是指一个函数在其中一点上取得最大值或最小值的点。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
例4：计算函数f(x)=x^3-3x的极值点。
解：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
第四部分 一元函数微积分第11章 函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。
2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。
3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{}n x 发散。
定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,)U x δo内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A -→-==。
右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A +→+==。
一元函数微积分概念嗨，朋友！今天咱们来好好唠唠一元函数微积分这个超级有趣的东西。
你可别一听“微积分”就觉得头疼，其实呀，它就像一个神秘的魔法世界，一旦你走进这个世界，就会发现好多奇妙的事儿呢。
我有个朋友叫小李，他之前对一元函数微积分也是一窍不通。
有一天，我们在公园里散步，看到一个小孩子在玩滑梯。
我就跟他说，你看这个滑梯，就有点像一元函数。
从滑梯的顶端到低端，这个高度随着滑梯的长度在变化，就像函数里一个变量随着另一个变量在改变。
一元函数啊，简单来说，就是有一个自变量，就像滑梯的长度，然后有一个因变量，就像滑梯上小孩的高度。
那微积分呢？咱们先来说说微分。
微分就像是把这个滑梯拆成一小段一小段的来看。
比如说，我们想知道这个滑梯在某一小段上有多陡，这就类似于求函数在某一点的导数。
我给小李打了个比方，假如你在爬山，你想知道脚下这一小步的坡度是多少，这就是微分要干的事儿。
导数就是这个函数变化的快慢程度。
我问小李，你说这是不是很像我们生活中的一些情况呢？你骑自行车的时候，想知道你在某个瞬间加速或者减速多快，这不就是导数的概念吗？再说说积分吧。
积分就像是把这些小段小段的滑梯又重新拼起来，然后算出从滑梯顶端到底端总的高度变化。
如果说微分是把一个整体拆分开来研究细节，那么积分就是把这些细节重新组合起来得到一个整体的情况。
我告诉小李，想象你在给滑梯刷油漆，你要知道整个滑梯的面积，你就可以把滑梯分成很多小的部分，算出每个小部分的面积，然后加起来，这就是积分的思想啊。
我记得有一次，我们在图书馆学习，旁边有个同学在抱怨一元函数微积分太难了。
我就跟他讲，其实你就把函数想象成一个故事。
自变量就是故事里的主角经历的时间或者路程，因变量就是主角在这个过程中的感受或者状态。
微分就像是在故事的某个小情节里主角情绪的微小变化，而积分就是主角从故事开始到结束整个情绪的累积。
这个同学听了之后，眼睛都亮了，他说：“哎呀，原来还可以这么想啊！”一元函数微积分里还有很多重要的概念，像极限。
标题：对《一元函数微积分》的期中总结与反思一、新知总结1. 一元函数微积分学是一门研究函数、导数、积分等方面的学科。
通过本学期的学习，我掌握了微积分的概念、几何意义，基本初等函数的微分公式与微分运算法则，微分在近似运算中的运用，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式等，能够熟练地运用这些概念和性质解决问题。
2. 在高中阶段，我们学习了函数的基本概念和性质，但是并没有涉及到导数和积分的概念。
在大学阶段，我们学习的一元函数微积分学是对函数理论的进一步深化，不仅学习了导数和积分的概念和性质，还掌握了导数和积分的应用方法和技巧。
二、学习状态与情感收获1. 在本学期的学习中，我认真聆听了每一节课，积极参与课堂讨论，努力完成课后练习。
通过这些努力，我对一元函数微积分学有了更深入的理解和掌握，同时也培养了我的学习兴趣和自信心。
2. 通过与同学们的交流和讨论，我不仅拓展了自己的思路和视野，也感受到了团队合作的重要性。
在这个过程中，我也学会了如何与他人沟通和合作，提高了自己的团队协作能力和人际交往能力。
三、教师授课状态评价与建议1. 在本学期的学习中，我对教师的授课状态非常满意。
教师讲解深入浅出，思路清晰，能够引导我们积极思考和探究问题。
同时，教师还善于利用实例和练习题来帮助我们理解和掌握知识点，使我们能够更好地应用所学知识解决实际问题。
2. 我认为，在今后的教学中，教师可以适当增加一些互动环节，让学生更好地参与到课堂教学中来，提高学生的学习兴趣和积极性。
此外，教师也可以多引入一些实际应用案例，让学生更好地理解和掌握所学知识的应用价值。
四、对“水课”和“金课”的理解1. 水课，指的是那些没有实际应用价值、缺乏深度和广度的课程。
在大学阶段，我们应该尽量避免上水课，因为水课不仅无法帮助我们提升自己的专业能力和综合素质，还可能浪费我们的时间和精力。
2. 金课，指的是那些具有实际应用价值、深度和广度的课程。
在大学阶段，我们应该尽量选择上金课，因为金课不仅能够帮助我们提升自己的专业能力和综合素质，还能够为我们今后的职业发展打下坚实的基础。
一元复合函数求导在微积分中，复合函数是一种非常重要的概念。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
在一元函数中，复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。
在这种情况下，我们需要使用一元复合函数求导的方法来求导。
一元复合函数求导的方法一元复合函数求导的方法可以通过链式法则来实现。
链式法则是微积分中的一个基本规则，它可以用来求解复合函数的导数。
链式法则的公式如下：如果y=f(u)和u=g(x)，则y=f(g(x))，则有：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示y关于x的导数，dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
举个例子，如果我们要求解y=sin(x^2)，则可以将其表示为y=sin(u)，其中u=x^2。
因此，我们可以使用链式法则来求解y关于x的导数：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x= cos(x^2) * 2x因此，y=sin(x^2)的导数为cos(x^2) * 2x。
另一个例子是y=e^(x^2)，我们可以将其表示为y=e^u，其中u=x^2。
因此，我们可以使用链式法则来求解y关于x的导数：dy/dx = dy/du * du/dx= e^u * 2x= e^(x^2) * 2x因此，y=e^(x^2)的导数为e^(x^2) * 2x。
总结一元复合函数求导是微积分中的一个基本概念。
通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数。
在求解一元复合函数的导数时，我们需要将其表示为f(g(x))的形式，并使用链式法则来求解。
通过这种方法，我们可以求解各种复杂的函数的导数，从而更好地理解微积分的基本概念。
在一元函数微积分中在一元函数微积分中，常见的是以下几类问题:1.第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数方式，求物体在任意时刻的速度和加速度。
也就是数学中的导数问题。
2.第二类问题是求曲线的切线。
3.第三类问题是求函数的最值，如大炮的最大射程等。
4.第四类问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲线围成的体积。
在上面四个问题的驱使下，我们的先辈们为了解决这些问题，经过几百年的努力成功地创造了微积分学。
整个微积分的内容基本上是围绕这几个问题在展开的，当然在具体的学习过程中还有很多一些问题和内容，但在学习的主线上可以按照这个线条来把握，在学习一元微积分的过程中，应当掌握以下几个重要的概念1(函数函数是我们微积分的研究对象，也是我们利用数学这个工具去解决实际问题的基础根本，它揭示了我们要解决的问题的几个方面的数量关系，通过数学符号和式子体现出来。
2.极限极限是学习微积分碰到的第一个重要的概念，也是以后学习微积分的重要基础，因此深入理解领会极限的概念是很重要的。
判断数列{}是否有极限有很多方法，但从数列{}本身的特征直接判断是XXnn 否收敛是很有意义的，即Cauchy收敛准则。
Cauchy收敛准则:数列{}收敛的充要条件是:对任意ε>0, 存在n,m.>N Xn 有|Xn-Xm|<ε总成立.这个准则说明了收敛数列的基本特点和本质特征.对于帮助我们更好的理解极限的本质有很好的意义。
3( 导数导数概念的本质特征是函数的变化量和自变量的变化量的比的极限，也就是理解为两个微分的商，所以也称为“微商”。
深刻理解这个概念对于解决对于相关变化率的问题是十分重要的。
4(黎曼和式黎蔓和的概念是定积分概念的本质内容，也就是定积分就是黎曼和式的极限，是前面我们提到的函数的概念和极限思想的综合，深刻理解定积分的定义即黎曼和式的极限的深刻意义，是我们用数学解决很多实际问题的一个强有力的武器，具体就体现在会用元素法解决一些简单的实际问题。
在一元函数的微积分中的一些具体问题如下1极限问题这里主要是计算问题，一般情况下我们掌握了一些计算极限的基本技巧，加上'熟悉两个重要极限，等价无穷小，以及法则，变上限函数的求导等知LHospital识点，一般的极限都能求出来。
2x1cos 例:求. lim(,)22x,0xxsin0'【分析】可以先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与法则求LHospital0解即可.22221cosxx,sinxcosxlim(,),lim【解】 2222x,0x,0sinxxxsinx1122xsin2x2xsin4x,,42 =. limlim,43x,x,00x4x12(4x)1cos4x4,2 . limlim,,,22x,x,0036x6x0【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等0价无穷小替换来简化计算，这也是我们计算极限的一般的基本的方法。
2.导数问题主要是导数的计算，有以下一些基本类型:函数在某点的连续性和可导性的判断，复合函数的求导;参数方程的求导;隐函数的求导;幂指函数求导等;2xedyxy,arctane,ln例1 设，求. 2xx,1dxe，1【解】本题为计算导数的基本题型，主要考查复合函数求导.，先求导函数即可.1x2x因为， y,arctane,x，ln(e，1)2x2xee,y,,1，即有， 2x2x1，ee，1dye,1 所以 . ,2x,1dxe，13最值问题,x 例: 将函数()绕轴旋转一周，求当为何值时，得到y,extt,x,5t的体积达到最值,【分析】本题属于定积分的应用加上最值的判定方法，可以先求出最大值的表示式子，在利用积分上限函数的求导的计算方法得到结果。
5t,x2【解】由题意可得: V(t),,(e)dx,t',10t,2t' 所以令 V(t),,[5e,e]V(t),011解得到由于这里客观存在最值。
所以当时，t,ln5t,ln588旋转得到的体积达到最值，这里是最大值。
4 不定积分和定积分的计算问题主要是要掌握不定积分的定义和一些基本的不定积分的运算，掌握换元法和分部积分法计算不定积分，这两个个也是计算定积分的基本方法。
2例:计算 2x,xdx,【分析】本题属于求函数的不定积分，可以先通过变形，作到基本的积分表中有的形式在计算。
22【解】原式= ,1,(x,2x，1)dx1,(x,1)d(x,1),,做变量替换即有: t,x,122= 再做变量替换 1,(x,1)d(x,1)1,tdtt,sinu,,2 所以cosucosudu 所以1,tdt= dt,cosudu,,uusin2u1，cos22 =cosudu== du，，C,,242arcsint1arcsin(x,1)122== ，t,1,t，C，(x,1),1,(x,1)，C2222112 = arcsin(x,1)，(x,1),2x,x，C22通过两次变量替换可以将原式化为比较好积分的形式，最后再将替换后的变量重新替换回去211,xxe,,,x,2,22例:设，求. f(x),f(x,1)dx,1,12,x,1,,2,【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:x , 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.211【解】令x , 1 = t， f(x,1)dx,f(t)dt,f(x)dt11,,,1,,22212111x2 , (1)0()xedx，,dx,，,,,1,,122,225 定积分的问题1. 概念问题我们通过例子来说明。
n!n 例: 求极限ln limn,,n【解】这是其中一种解法，利用定积分的定义求解:n1!n 因为ln= limlim[ln(n!),lnn]n,,n,,nn1 =[ln1+ln2+…+ln-ln] limnnn,,n1 =[(ln1-ln)+(ln2-ln)+…+(ln-ln)] limnnnnn,,n121n =[ln…+ln] lim，ln，n,,nnnnni1 = lnlim,n,,nni,1这就是函数在[0,1]区间上的黎曼和式极限. 所以 f(x),lnx111原式==-= -1 lnxdxdxxlnx|,,0002. 定积分的应用包括几何应用和物理应用，数学上主要讨论几何应用。
但这几年的研究生入学考试却基本上都是物理应用，应当注意。
2例:有一金属棒，其线密度=2+3+6 ()求金属棒的质量M ,(x)xkg/mx【解】: 我们可以利用元素法解决这个问题，因为质量是个标量，可以累加，因此可以利用元素法即利用定积分的定义中的黎曼和式的极限的思想来解决这个问题，由题意可以知道，金属棒的长度为6，建立坐标轴，以棒m的一端为原点，在上面任取一点，先求一小段长度的质x,[0,6][x,x，dx]量，即 dm,,(x)dx662 所以M==234 () ,(x)dx(2x，3x，6)dx,kg,,00最近几年几个研究生入学考试试题解析:41 若函数由方程确定,求曲线在点(1,1)处y,f(x)y,f(x)xy，2lnx,y的切线方程 (2003年考研数学二)分析】这是一个由隐函数确定的函数的求导，最后再求切线方程的问题，【所以应当对隐函数的求导这个知识点应当熟练。
【解】已知方程两边对求导，得到: x2'3' y，xy，,4yyx2y，''x 整理可得: 故而有 k,y|,1y,(1,1)34y,x所以切线方程为即为所求。
y,1,x,1y,x3,xtt,，，31,2 (2004年考研数学二)设函数由参数方程确定, 则yx(),3ytt,,，31,,向上凸的取值范围为____________.. 曲线yyx,()xxxt,(),【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ,yyt,(), 22,,,,,,dyytxtxtyt()()()(),dy定义的求出二阶导数,再由确定的取,0x,223,dxdxxt(())值范围.主要是考参数方程的求导，还有就是利用导数来研究函数的一些性态，包括函数的单调性，凹凸性等。
dy22dytt3312,,dt【解】 , ,,,,,1222dxdxttt3311，，，dt2,dyddydtt214,,,, , ,,,,,1,,,,22223dtdxdxdxttt，，，13(1)3(1),,,, 2dy令 . ,0,t,02dx3又始终是单调递增, 所以在当时, x,,,(,1)xtt,，，31t,0(时，时，曲线凸.)所以答案是或者 (,1],,(,,,1)(,,,1],x,t,0x,1【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.参数方程求二阶导数是求导运算中的重点。
12n222n 3 (2004年考研数学二) 等于，，，limln(1)(1)(1),,nnnn222(A). (B). lnxdx2lnxdx,,11222(C). (D) 2ln(1)，xdxln(1)，xdx,,11【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。
作变换后,从四个选项中选出正确的.12n222n【解】，，，limln(1)(1)(1),,nnnn2n12n，， ,，，，limln(1)(1)(1),,,,nnnn，，212n，， ,，，，，，，limln(1)ln(1)(1),,n,,nnnn，，ni1 ,，lim2ln(1),,,nnn1,i1 ,，2ln(1)xdx,02 12ln，,xttdt,12 ,2lnxdx,1故选(B).【评注】这个考试题就是对定积分定义中的黎曼和式要有比较深刻的理解。
4 (2003年考研数学一)某建筑工程打地基时，常需要用汽锤将桩打进土层，汽锤每击打，都将克服土层对桩的阻力做功。
设土层对桩的阻力大小与被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k>0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)，根据设计方案，要求汽锤每次击打所做的功与前一次击打所做的功之比为常数r(0<r<1)求1(汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深,2(若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深,(注:m表示长度单位)【解】 :(1)这是一个定积分中用元素法求做功问题。
属于定积分的物理应用问题。
根据题意知阻力为，其中为汽锤将桩打入地下的深f,kxx度，设表示击打桩n次后在地下的深度(n=1,2…)所以有 xnx11122W= kx,ka,kxdx11,022x1122222W= ,kxdxk(x,x),k(x,a)2212,x12222由题意可知所以得到 W,rWx,(1，r)a212x1132222 = W,kxdxk(x,x),k[x,(1，r))a]3323,x22222 由得到 W,rW,rWx,1，r，ra32132 即气锤击打3次后，可将桩打进地下 1，r，ra(m)2n,1(2)用归纳法，假设，则 x,1，r，r，？，ranx11n，12222n,12 = W,kxdxk(x,x),k[x,(1，r，r，？，r)a]，1nn，1nn，1,xn222n 由所以得到 W,rW,rW,？,rW，1,11nnn22n,12n2 x,(1，r，r，？，r)a,ran，1n，11,r2n,1经计算可以得到: ,x,1，r，r，？，raan1,r1 于是有 alimx,n，1n,,1,r1 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 ()。
