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考虑剪切和翘曲的变曲率曲梁变形微分方程

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梁的挠曲线近似微分方程及其积分.

梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。

ch7弯曲变形new

ch7弯曲变形new

§1 引言—梁变形的描述
弯曲变形特点 挠度与转角
弯曲变形特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交.
挠度与转角—梁位移
挠曲轴 转角
b
转角方程为
w ww12((xx))
0<x<a a < x<b
Pb 6EIl
3x2
(b2
l
2
)
Pa 6EIl
3(l
x)2
(a2
l
2
)
0< x<a a< x<l
B x
FBy
A
梁的最大转角：
< 0
C
当x =0时，转角为
A
w1(0)
Pab 6EIl
(l
b)
当x =l时，转角为
(顺时针）
B
w2( l )
1 M ( x)（非纯弯）——挠曲轴曲率 ( x) EI
平面曲线 w w(x) 的曲率
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度
smax < sp
挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
B
C
a
a
q/2
A C
B
A
a
a
对称, 转角为0
5 q l4

梁的变形问题

梁的变形问题

第四节 用积分法求梁的弯曲变形 1) 支承条件：
y
y
w0
w0
l
y
y
w 0; w' 0
wl
In education we are striving not to teach youth to make a living, but to make a life 教育不是为了教会青年人谋生，而是教会他们创造生活。
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确 定其大小。
In education we are striving not to teach youth to make a living, but to make a life 教育不是为了教会青年人谋生，而是教会他们创造生活。
材料力学 Mechanics of Materials
材料力学 Mechanics of Materials
第三节 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程
In education we are striving not to teach youth to make a living, but to make a life 教育不是为了教会青年人谋生，而是教会他们创造生活。
y
q
B’ C’
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度
w wB B x
q
B
A x
C
某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 臵有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程） w f1 ( x)或y f1 x 转角方程
q f 2 ( x)
EI q EI w F ( x l )dx C

第7章 弯曲变形

第7章 弯曲变形
x x1
最大挠度一定在左侧段
Fb 9 3LEI
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
a
F
b
C
max
B
A FL2 ; B 16 EI
x L 2
A
ymax yC
FL3 48 EI
§7-4
Me
叠加法计算梁的位移
q
梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。
qx2 B 弯矩： M M Fx e 2
Fb M ( x1 ) x1 （0 x1 a） L Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a) (a x2 l ) L
a
x1
F C
b
Fa l
A
B
x2
b)写出微分方程并积分 左侧段（0≤x1≤a）：
右侧段（a≤x2≤l）：
Fb Fb EIy2 x2 F ( x2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIw2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1 r ( x)
y
1 ( y)
3 2 2
y 1, →→
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系：
联立（1）、（2）两式得
M ( x) y EI
EIy M(x)
M>0
x
x
y ( x ) 0
y y 结论：挠曲线近似微分方程——

七章梁弯曲时的位移

七章梁弯曲时的位移

§7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wm ax l
w l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。
q
A l
y
Bx
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237104 m4
(x
a) 2
C2
（c）
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
（d）
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x0 0 w xl 0
位移连续条件：
w1(a) w2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
C1 C2
Fb (l 2 b2 ), 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me
q
A
C
l
q
A Me
A
解：此梁上的荷载可以分为 B 两项简单荷载，如图所示。
wC
wCq
wCM
5ql 4 384 EI
Mel2 16 EI
B
A
Aq
AM
ql3 24 EI
M el 3EI
正对称荷载作用下：
wC1
5(q / 2)l 4 384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
(q / 2)l3 24 EI
ql3 48 EI
B
q

梁的变形计算

梁的变形计算

2
d2w M =− 2 EI dx dw M =− 2 EI dx
2
小挠度微分方程
d2 w M =− 2 EI dx
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法， 矩方程M 代入上式后，分别对x作不定积分, 矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包 含积分常数的挠度方程与转角方程： 含积分常数的挠度方程与转角方程：
梁的位移分析的工程意义
机械传动机构中的齿轮轴，当 机械传动机构中的齿轮轴， 变形过大时(图中虚线所示 图中虚线所示)， 变形过大时 图中虚线所示 ， 两齿 轮的啮合处将产生较大的挠度和转 角 ， 这不仅会影响两个齿轮之间的 啮合，以致不能正常工作。 啮合，以致不能正常工作。 同时， 还会加大齿轮磨损， 同时将在转动的 同时 ， 还会加大齿轮磨损 ， 过程中产生很大的噪声。 过程中产生很大的噪声。 此外， 当轴的变形很大使， 轴在支承处也将 此外， 当轴的变形很大使 ， 产生较大的转角， 产生较大的转角 ， 从而使轴和轴承的磨损大大增 降低轴和轴承的使用寿命。 加，降低轴和轴承的使用寿命。
梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简单的静不定梁 结论与讨论
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下， 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横 截面绕中性轴相互转过一角度， 截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯 曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线 （deflection curve）。 ）
1 2 M(x) =− q( l − x) 2
(0 ≤ x ≤ l)
将上述弯矩方程代入小挠度 3． 建立微分方程并积分 微分方程， 微分方程，得 1 2 EIw" = −M = q( l − x) 2

材料力学弯曲变形



Mi (x)dx EI

C1

(
Mi (x)dx EI

C1i
)

(
lk
M E
(x) dx
Ilk

C1lk
)
q
F
q
y




M (x) EI
dx

C1
dx

C2
(
Mi (x) EI
dx

C1i
dx

C2i
)
(
lk
lk
yC1


F l 3 2 3EI


Fl3 24EI
()
F yC1
解除 AB 段刚化，并令 BC 段刚化，计算 C 由 于 AB 段变形而产生的牵连位移
yB2


F
l
3

2
3(2EI)

M
o

l 2
例:图示简支梁的转角θA 、θB 和跨中挠度 yC 。
F1 = F/2 F2 = F/2
A
C
B
l /4 l /4 l /4 l /4
解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加
A A1 A2 B B1 B2
yC yC1 yC2
查表
A1


F1a1b1 6EIl
(
x)

EI
d2 y dx2

d2 dx2

EI
d2 y dx2


q
EI y(4) q
由基本方程两次积分:

工程力学第1节 挠曲线近似微分方程


挠曲轴线 近似微分方程 结论
M ( x) y EI
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M >0，曲线的二阶导数 y >0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下 侧纤维受压，弯矩 M <0，曲线的二阶导数 y <0；
第十章
梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的 外力 F 的作用下，将 产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
挠曲轴线方程
y f ( x)
y f ( x)
挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角 位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小， 则有以下关系：

第3讲 曲线梁桥基本微分方程

ˆ w w sin sin ˆ
z
l
(4-5)
z
l
(4-6)
2012-6-18
38
3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答
将式（4-3）~(4-6)分别代入式（4-1）（4-2）中去，可以得到 、
ˆ ˆ Aw B ˆ ˆ Bw D ˆ q ˆ m
1 N q X 0 r z z
对z求2阶导
Y
M
3
(1-5)
Q X mY 0
Y
z
3

QX
2
z
2

mY
2
z
2
0
两式相减，即
MY
3
z
3

N z

1 r

q x z

mY
2
z
2
0
（a）
(1-5)
M z
Y
Q X mY 0
2012-6-18 24
3.2 曲线梁微元体几何方程
B’’’点角增量为：（按A‘’‘的角增量沿微段轴向变化规律来写出），即
B dv dz d v dz
2 2
dz
因此，微段沿弧长总的角增量为：
2 dv dv d v d dz 2 dz dz dz
2012-6-18 21
3.2 曲线梁微元体几何方程
为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与 应变的几何关系。 该曲线梁相对与纵向轴线z轴的一般变形基本定义如下图所示：
坐标系仍为随动坐标系，x,y,z轴正方向符合“右手螺旋法则”。
O x (v)

梁的挠曲线近似微分方程


由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
q
A
x θA
θB
y
l
B
x
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
ymax
y
x l 2
5ql 4 384EI
max
A
B
ql3 24 EI
外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§6-3 用积分法求梁的变形
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
载荷作用。试求此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角
和最大挠度。
y
q
解：
FRA
FRB
ql 2
A
B
x
M(x) ql x q x2 22
x
l
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
§6-3 用积分法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M (x) dx2 EI
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第３０卷第３期　南京工业大学学报（自然科学版）　２００８年５月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＮＡＮＪＩＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３０　Ｎｏ．３　

Ｍａｙ　２００８　

考虑剪切和翘曲的变曲率曲梁变形微分方程　王　通　，李鸿晶　，孙　晟　（１．南京工业大学土木工程学院，江苏南京２１０００９：　２．江苏省建筑工程质量检测中心有限／厶＼司，江苏南京２１０００８）　

摘要：变曲率导致曲线梁变形分析更加复杂，寻求简单、可靠的力学模型有利于变曲率曲梁的研究．基于Ｖｌａｓｏｖ　薄壁梁理论，推导出平面变曲率薄壁曲线梁的变形微分方程，并考虑了剪切变形和截面翘曲的影响，经退化可以得　到经典的Ｖｌａｓｏｖ方程．模型的平面内与平面外变形是不耦联的，可以独立求解．最后给出了考虑剪切变形和截面翘　曲影响的回旋线型薄壁曲线梁的变形微分方程．通过对比分析发现，该模型较容易求解．　关键词：曲线梁；变形微分方程；变曲率；剪切变形；翘曲　中图分类号：Ｕ４４８．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—７６２７（２００８）０３—００５２—０４　

Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅ－ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｓｈｅａｒ　ａｎｄ　ｗａｒｐ　

ＷＡＮＧ　Ｔｏｎｇ　，ＬＩ　Ｈｏｎｇ—ｊｉｎｇ　，ＳＵＮ　Ｓｈｅｎｇ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１０００９，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｔｅｓｔｉｎｇ　Ｃｅｎｔｅｒ　ｆｏｒ　Ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１０００８，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖａｒｉｅｄ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｍａｋｅｓ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ　ｍｏｒｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ，ａｎｄ　ｓｅｅｋｉｎｇ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｒｅｌｉ—　ａｂｌｅ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｏｆ　ａｄｖａｎｔａｇｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｖａｒｉａｂｌｅ－ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｖｌａｓｏｖ　Ｓ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｂｅａｍ．ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｐｌａｎｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ—ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ－　ｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｓｈｅａｒｉｎｇ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｗａｒｐｉｎｇ　ｗｅｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ，ａｎｄ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉ—　ｃａｌ　Ｖｌａｓｏｖ　Ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｏｕｔ—ｏｆ－ｐｌａｎｅ　ａｎｄ　ｉｎ—ｐｌａｎｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ｓｏｌｖｅｄ　ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｌｙ　ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈｅｉｒ　ｕｎｃｏｕｐｌｉｎｇ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｃｌｏｔｈｏｉｄ　ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ－　ｉｎｇ　ｓｈｅａｒｉｎｇ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｗａｒｐｉｎｇ　ｗｅｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｓｉｍｐｌｙ　ｓｏｌｖｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｕｒｖｅｄ　ｇｉｒｄｅｒ；ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ；ｓｈｅａｒｉｎｇ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｗａｒｐｉｎｇ　

曲线梁在机械、土木、航天等工程领域具有广泛　的应用，尤其是桥梁工程领域，在高等级的铁路、公　路和城市立交中曲线梁桥是一种比较普遍的桥梁结　构形式，应用得越来越多．所以，对曲线梁的研究愈　来愈受到国内外学者的重视¨　．　在薄壁曲线梁变形研究方面，Ｖｌａｓｏｖ＿６　基于刚　性周边假定建立的薄壁梁理论为薄壁曲线梁的研究　提供了理论基础，给出了截面形心和剪心重合的圆　弧形曲线梁的变形微分方程，即著名的Ｖｌａｓｏｖ方　程；按照平衡原理，Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ等　导出了不考虑翘　曲影响的空间曲线梁的平衡微分方程；Ｙａｎｇ等　从　虚功原理出发，导出了空间圆形曲线梁的平衡微分　

收稿日期：２ｏｏ７．１２—１２　基金项目：江苏省基础研究计划（ＢＫ２００５１１５）　作者简介：王通（１９８１一），男，山东金乡人，硕士生，主要研究方向为桥梁抗震　李鸿晶（联系人），Ｅ．ｍａｉｌ：ｈａｒｂｉｎｅｒ＠１６３．ｃｏｎ．　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　王通等：考虑剪切和翘曲的变曲率曲梁变形微分方程　方程．值得一提的是，前面三者得到的都是常曲率曲　梁模型，且模型平面内与平面外变形相互独立．针对　变曲率薄壁曲梁，夏淦　不考虑剪切变形的影响，　导出了变曲率曲梁的基本微分方程，并退化得到了　不考虑剪切影响的回旋曲线薄壁梁模型，此模型平　面内和平面外变形是相互独立的；王银辉等　得到　了考虑截面形心和剪心分离的变曲率箱梁模型，并　退化得到形心和剪一ｔ２，分离的回旋曲线箱梁模型，此　模型平面内和平面外变形相互耦合．　本文采用Ｖｌａｓｏｖ薄壁梁理论的基本假定，考虑　剪切变形和截面翘曲的影响，推导出任意曲线形式　的等截面变曲率薄壁曲线梁的变形微分方程，目的　是为进一步研究实际工程中经常采用的回旋线型薄　壁曲线梁桥结构特性奠定基础．　１研究对象及假设　研究对象取为等截面变曲率薄壁曲线梁，如图　１所示．假定曲梁截面形心和剪心重合，建立坐标　系：　轴沿径向指向曲线内侧，Ｙ轴竖直向下，各截面　形心连线为。轴，三者满足右手螺旋法则．　若曲梁的曲率为Ｋ，则　Ｋ＝１／ｒ　（１）　式中曲率Ｋ和曲率半径ｒ都是坐标。的函数．　图１曲梁坐标系　Ｆｉｇ．１　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｂｅａｍ　２平衡方程　由两相邻的径向平面截出曲梁单元ＡＢ，其长度　为　．单元所受外力和内力分别如图２和图３所示．　ＡＢ所受的外荷载为：沿坐标轴　、ｙ，ｚ方向的分布荷　载ｑ　、ｑ　、ｑ　；绕坐标轴　、ｙ、。的力矩ｍ　、ｍ　、ｍ　；外力　５３　都是沿坐标轴的正方向为正．ＡＢ所受的内力为：沿　、Ｙ轴作用的剪力Ｑ　、Ｑ　以绕单元顺时针转动为　正；沿。轴的轴向力Ⅳ，以拉为正；绕　、Ｙ轴的弯矩　、　前者以使梁下侧受拉为正，后者以使梁外侧　受拉为正；绕。轴的扭矩　，以垂直横截面向外为　正．单元Ｂ截面上各力比Ａ截面各力有相应的微小　增量ｄＱ　、ｄＱ　、ｄＮ、ｄＭ　、ｄＭ　、ｄＴ．　

图２曲梁单元所受外力　Ｆｉｇ．２　Ｅｘｔｅｒｎａｌ　ｌｏａｄｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｂｅａｍ　ｅｌｅｍｅｎｔ　

Ｙ　图３曲梁单元所受内力　Ｆｉｇ．３　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｆｏｒｃｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｂｅａｍ　ｅｌｅｍｅｎｔ　

由沿　轴、Ｙ轴、。轴的力平衡得到　Ｑ　＋ＫＮ＋ｑ　＝０　Ｑ　＋ｑ　＝０　Ⅳ　一ＫＱ　＋ｑ　＝０　式中，　表示旱，以下表示与此相同．　Ｌ　由绕　轴、Ｙ轴、。轴的力矩平衡得到　

＋ＫＴ—Ｑ，＋ｍ　＝０　＋Ｑ　＋ｍ，：０　

（２）　（３）　（４）　

（５）　（６）　

维普资讯 http://www.cqvip.com 南京工业大学学报（自然科学版）　第３０卷　３　几何方程　Ｔ　一ＫＭ　＋　＝０　（７）　

假定单元ＡＢ的位移如图４所示，ｕ、　、　分别　是梁截面形心沿坐标轴　、Ｙ、　方向的位移；　、／３、０　分别是横截面绕坐标轴　、Ｙ、　的转角；位移的方向　都是以沿坐标轴的正方向为正．单元Ｂ截面上各位　移量比Ａ截面各位移量有相应的微小增量ｄｕ、　、　ｄｗ、ｄａ、ｄ口、ｄＯ．　

图４曲梁单元位移　Ｆｉｇ．４　Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅｄ　ｂｅａｍ　ｅｌｅｍｅｎｔ　

根据图４中的截面位移方向的假定，采用几何　方法得到以下６个几何方程：　＝Ｍ　一卢　（８）　ｙ　＝　＋　（９）　ｓ：＝　一Ｋｕ　（１０）　ｋ　＝　＋ＫＯ　（１１）　ｋ　＝／３　＋Ｋ２Ｍ　（１２）　ｋ：＝０　一Ｋａ　（１３）　式中：ｙ　、ｙ　、ｓ：、ｋ　、ｋ　、ｋｚ分别为　方向的剪应变、Ｙ　方向的剪应变、　方向的轴应变、绕　轴的弯曲曲　率、绕Ｙ轴的弯曲曲率、绕　轴的扭率．　

４本构方程　结合内力正方向及各位移变化率方向的假定，　相应得到以下６个本构方程：　Ｑ　＝ＧＡ　（Ｍ　一　）　Ｑ　＝ＧＡ　（　＋　）　Ｎ＝ＥＡ（　一Ｋｕ）　

＝Ｅｌ　（　＋肋）　

Ｍ　＝Ｅｌｙ（　＋Ｋ２Ｍ）　（１８）　

Ｔ＝Ｔｗ＋　＝ＧＩｄｋ：一Ｅｌ　ｋ”：＝　

ＧＩｄ（０　一Ｋａ）一Ｅｌ　（　一Ｋａ”一２Ｋ　一　）　

（１９）　式中：Ｅ和Ｇ分别为材料的弹性模量和剪切模量；　Ａ　、Ａ　分别为　、Ｙ方向的有效剪切面积；，　、，，分别为　截面绕　轴和Ｙ轴的惯性矩；，　为杆件横截面的扇　性主惯矩；ｌａ为圣维南扭转惯矩．　

５变曲率曲梁变形微分方程　将式（１４）～（１９）代人式（２）～（７）中可以得到　考虑剪切变形和截面翘曲影响的变曲率曲梁的变形　微分方程，即　ＧＡ　Ｍ”一Ｋ２ＥＡｕ＋　一ＧＡ　＝一ｑ　（２０）　ＧＡ　”＋ＧＡ　０　＝一ｑ　（２１）　Ｋ（ＥＡ＋　）／／，　＋Ｋ　ＥＡｕ—ＥＡｗ”一　＝ｑ　（２２）　一ＧＡ　＋（、Ｅｉ　ｘ＋　Ｅ１　ｏｃ１　＋２ＫＫ　Ｅ１　仪ｆ＋　（ＫＫ＂ＥＩ　一ＧＡ　一Ｋ２ＧＩｄ）　—ＫＥＩ　”＋（２３）　Ｋ０　Ｅｌ　＋Ｇｌ　ｄ　０　＋Ｋ　Ｅｌｘ０＝一ｍ　（　＋ＧＡ　）Ｍ　＋２ＫＫ　Ｅｌｙｕ＋Ｅｌｙ［Ｊ　一　＝一　（２４）　ＫＥＩ　＋３ＫｔＥｌ　０ｃ＿　＋（、３Ｋ＇　Ｅｌ　一ＫＥｌ　一　ＫＧＩｄ）　＋（１ｑ”Ｅｌ　一Ｋ　Ｇ，ｄ）　—Ｅｌ　０“＋（２５）　ＧＩｄ０”一Ｋ２Ｅｌｘ０＝一　

观察方程（２０）～（２５），方程（２０）、（２２）、（２４）　中只包含平面内的位移变量ｕ、　和　，方程（２１）、　（２３）、（２５）只包含平面外的位移变量　、　和０．这说　明本文所建立的考虑剪切变形和截面翘曲影响的变　曲率薄壁曲线梁变形微分方程，其平面外和平面内　变形是不耦合的，可以分别求解．　本文给出的曲梁模型，平面内变形与平面外变　形相互独立，而且平面内变形由３个相互耦合的二　阶微分方程来描述，平面外变形由相互耦合一个二　阶方程、一个三阶微分方程与一个四阶方程来描述；　本文没有对平面内和平面外的变形微分方程进行消　元凝聚处理，即通过高斯消元去掉某些变量，并减少　方程数量．虽然这样处理可以使变量和方程的数量　减少，但是方程的阶数会升高．由于需要考虑剪切变　形的影响，消元后的方程难于给出适当的边界条件　进行求解．而在本文给出的低阶模型的基础上较容