山东省实验中学高三数学第三次模拟考试试题 理(打靶题)

理科数学试卷 第1页 共 4 页2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B =UA ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2． 在复平面内，复数12ii-对应点位于 A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3． 下列函数中是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是A ．()23f x x = B ．()2x f x =C ．()21log 1f x x =+ D ．()1f x x x=- 4． 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020a =A ．10091010B ．10091010-C ．20192020D ．20192020-理科数学试卷 第2页 共 4 页5． 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 6． 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-=7．“克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为 A ．32或5 B ．16或2 C ．16D ． 32或5或48． 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为A ．2536B ．1136 C ．49D ．599． 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．5• • • • • A (1,3)B (2,4)C (4,5)D (3,10)E (10,12)yxO理科数学试卷 第3页 共 4 页10．已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=u u u r u u u u r u u u u rg ，且2PF Q ∆周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为 A ．2BCD．11．已知数列{}n a ，2sin 2n n a n π=，则数列{}n a 的前100项和为A ．5000B ． 5000-C ． 5050D ．5050-12．已知ABC ∆中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=u u u r u u u r u u u r，且12AH AC =u u u r u u u r，则BH =AB．CD．二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2-=⎰．14．直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为 ．15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．理科数学试卷 第4页 共 4 页2-2O125π1211π xy16． 在三棱锥S ABC -中，6,8,10AB BC AC ===，二面角S AB C --、S AC B --、S BC A--的大小均为4π，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，直线SO 交平面ABC 于点M ，则三棱锥S ABC -的内切球半径为 ，SOOM= ． 三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共60分．17． 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2） 若26()3f x =，且324x ππ<<，求cos2x ．18． 如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥ 底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与 平面PBC 所成的角的 7G 的位置； 若不存在，请说明理由． 19． 函数2(1)=ln 1x f x x x --+（） （1） 求证：函数f x （）在(0,)+∞上单调递增； PAG FE C理科数学试卷 第5页 共 4 页（2） 若,m n 为两个不等的正数，试比较ln ln m n m n --与2m n+的大小，并证明．20． 已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>的离心率为2，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0．（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动.(ⅰ) 第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中签的概率.(ⅱ) 理学社设置了第n (+∈N n )个月中签的名额为162+n , 并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第n (+∈N n )个月中签的概率为180)1(19nn p -+=，活动进行了)(2+∈N k k 个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月．理科数学试卷 第6页 共 4 页（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若(1,0)P -，求11AP BP+的值．23． 选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+.（1） 当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．理科数学试卷 第7页 共 4 页2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：13. 2π 14. 15. 不会 16. 2，32SO OM = 三、解答题：17. （1）由图像可知2,2A ω== ……….3分代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………6分（2） 由题意知272336x πππ<-<………8分 cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭………12分18. （1）因为PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC 所以PA BE ⊥， ……….2分又因为BE AC ⊥，PA AC A =I所以BE ⊥平面PAC , …….. 4分 因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面 PAC ………… 5分理科数学试卷 第8页 共 4 页（2）因为,,EB EC EF 两两垂直，所以 以E 为坐标原点，分别以,,EB EC EF 的正方向为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则())()()()()0,0,0,,0,1,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1E B C A P F --…….. 6分)()2,PB BC =-=u u u r u u u r,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =u r ,由0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r得200y z y +-=+=⎪⎩,不妨设1x =,则y z ==所以(m =u r……..….8分设),,2PG PB λλλ==-u u u r u u u r ,则),,22AG AP PG λλ=+=-u u u r u u u r u u u r,由题知cos ,AG m AG m AG m ⋅===u u u r u r u u u r u r u u u r u r ………….10分 解得12λ=……...12分19. （1）22214(1)0(1)(1)x f x x x x x -'-=≥++（）=………………………………………………………3分∴ f x （）在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………….5分（2）不妨设m n >理科数学试卷 第9页 共 4 页ln ln m n m n --2m n -+=12ln m n m m n n m n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭（）211ln m n 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪=- ⎪- ⎪+⎝⎭（） 令1m t n =>，设21()ln 1t h t t t-=-+（）， ……………………………….7分 ()()h t f t =由（1）知在(0,)+∞上单调递增，(1)0,1()0h t h t =>∴>，…………….10分又m n >，∴ln ln m n m n --2m n>+， …………………12分 20. （1）依题意：1,b a == …………….2分所以椭圆方程为22 1.2x y += ………………..4分（2）由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++=由28160n ∆=->得 所以22n >，设112200(,),(,),(,)A x y B x y G x y ，由韦达定理12122242,.22n y y y y n n-+==++ ……………6分因为OA OB tOG +=u u u r u u u r u u u r121200002284(,)(,),,(2)(2)nx x y y t x y x y t n t n -∴++=∴==++ 2222222642162(2)(2)n G t n t n ⨯∴+=++Q 点在椭圆上得22162t n =+ …………8分理科数学试卷 第10页 共 4 页1>，所以223n << ………….10分(2,(2).55t ∴∈--⋃ ………….12分 21（1）（i ）设甲乙丙中签为事件,,A B C ， 则()()181716204()()3029281015P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=………….3分 （ii ）甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4 则183(1)305P X ===; 18202(2)(1)30287P X ==-⨯= 18202244(3)(1)(1)302826455P X ==-⨯-⨯=1820228(4)(1)(1)(1)1302826455P X ==-⨯-⨯-⨯=则甲参加活动的时间的期望为32448697123457455455455EX =⨯+⨯+⨯+⨯=…….. 8分（2）设甲中签为事件A ，则9898984()111091091095kP A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L设,m k m N +≤∈,甲在第21,2m m -个月中中签的概率为114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，第21,2m m -个月中中签的概率为114105()m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，理科数学试卷 第11页 共 4 页则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为()()2114441234(56)(212)10()555k EX k k P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ………10分 214443711(41)555k S k -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，则214444437(45)(41)55555k kS k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L所以211444434(41)55555k kS k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L4451912055k kS k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以 444191425519195224421155k k k k kk k EX ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …………12分 22. （1）直线的直角方程为10x y ++=， ……….2分曲线的直角坐标方程()22:24C x y ++= ……….4分（2）直线的参数方程可化为()122x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 ……….6分代入曲线可得230t -= ……….8分理科数学试卷 第12页 共 4 页所以1212113t t AP BP t t -+== ……….10分23. （1）2a =时，当2x <-时，()3f x =-1≥-，x 无解； ……………1分 当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤； ……………2分 当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >； ……………3分 综上，()1f x ≥-的解集为{}1x x ≥-. ……………5分（2）()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+， ……………6分()()21,1xg x =-+∈-∞， ……………7分由题意知，()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +<， ……………9分a ∴实数的取值范围为20a -<<. ……………10 分。

2022届山东省实验中学高三上学期第三次诊断数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}12B x x =<≤，则A B =（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．[]0,2D ．()0,1答案：A求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .解：因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}12B x x =<≤，所以{}(]121,2A B x x ⋂=<≤=.故选：A.2．复数i2i-在复平面内对应点的坐标为（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：B将复数化为()i ,R a b a b +∈的结构，进而根据复数的几何意义得到答案. 解：()i 2i i 12i 2i 555+==-+-，则对应坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B. 3．14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出． 解：解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=， 当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．4．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin b A a B =，且2c b =，则a b=（ ）A ．3B ．13C D 答案：D利用正弦定理得到1cos 2A =，再利用余弦定理和2c b =得到ab =解：因为sin 2sin b A a B =，所以2sin cos sin b A A a B =，利用正弦定理可得：2cos ab A ab =，所以1cos 2A =，又2c b =，所以222222241cos 242b c a b b a A bc b +-+-===，解得：a b =故选：D5．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900斛 B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛答案：B计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 解：设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B.本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.6．设向量()1,2OA =-，(),1OB a =-，(),0OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9答案：C根据向量共线定理可得21a b +=，再应用基本不等式“1”的代换求12a b+的最小值，注意等号成立条件.解：由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且R λ∈，则1(1)21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩，可得21a b +=，∴11()(2)422448a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当122b a ==时等号成立. ∴112+a b 的最小值为8 故选：C.7．已知函数()2sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()1f α=-，()1f β=，若||αβ-的最小值34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ） A ．34x π=-B ．4x π=C ．2x π=-D ．12x π=答案：C根据()1f α=-，可得122k πωαϕπ+=-，1k Z ∈，根据()1f β=，可得2k ωβϕπ+=，2k Z ∈，可得12|()||(2)|2k k πωαβπ-=--2π≥，所以324ππω=，所以23ω=，根据()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6πϕ=-，再求出函数()f x 的所有对称轴，从而可得答案.解：因为()1f α=-，所以sin()1a ωϕ+=-，所以122k πωαϕπ+=-，1k Z ∈，因为()1f β=，所以sin()0ωβϕ+=，所以2k ωβϕπ+=，2k Z ∈， 所以12()(2)2k k πωαβπ-=--，1k Z ∈，2k Z ∈， 所以12|()||(2)|2k k πωαβπ-=--2π≥，当且仅当1220k k -=或1221k k -=时，等号成立，因为0>ω，所以||2παβω-≥，所以324ππω=，所以23ω=. 又()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以234k πϕπ⨯+=，k Z ∈，所以6k ϕπ=π-，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-，所以2()2sin()136f x x π=-+，由32362x k πππ-=+，3k Z ∈， 得332x k ππ=+，3k Z ∈， 所以333|0|||||222x k πππππ-=+≥-+=，当且仅当31k =-时，等号成立，所以函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为2x π=-. 故选：C.本题考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的对称中心，属于基础题.8．已知()'()1f x f x x +=+，且(0)1f =，()1x f ax <+有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是A ．211122a e e<≤+B ．2311212233a e e +<≤+C ．221112a e e +<<+ D ．221122a e e+<<+答案：A解：分析：构造函数()()x F x f x e =，利用()()1x F x x e +'=可得()xF x xe c =+，结合()01f =可得()1xf x x e =+，利用导数研究函数的单调性，由数形结合思想，列不等式求解即可 详解：因为()()'1f x f x x +=+，所以()()()(1)x xf x f x e x e +=+'，设()()xF x f x e =，则()()1x F x x e +'=， ∴()xF x xe c =+，即()xcf x x e =+，又因为()01f =，∴1c =， ∴ ()1x f x x e =+，()111x x x e f x e e--='=，则()f x 在(),0-∞上为减函数，在()0,∞+上为增函数， 曲线()y f x =与1y ax =+都过点()0,1，当0a >时，若()1f x ax <+有且仅有一个整数解，只能为1x =， 则()()22111f a f a ⎧≥+⎪⎨<+⎪⎩，解之得211122a e e <≤+，故选A.点睛：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 二、多选题9．已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案：ABC若n 为偶数，则展开式中间一项12nT +的二项式系数2nnC 最大；若n 为奇数，则展开式中间两项12n T +与32n T +的二项式系数12n n C -和12n n C +相等，且最大.解：若展开式只有第五项的二项式系数最大，则152n+=，解得：n ＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则352n +=，解得：n ＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则152n +=，解得：n ＝9； 故选：ABC10．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12,F F 在y 轴上，短轴长等于21F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为答案：ACAB 选项，根据短轴长，离心率和222a b c =+求出23a =，1b =，焦点12,F F 在y 轴上，所以求出椭圆方程；C 选项，求出P ，Q 两点的横坐标，进而得到通径长；D 选项利用椭圆的定义进行求解. 解：由题意得：22b =，所以1b =，因为63c a=，221a c =+，解得：22c =，23a =，因为焦点12,F F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为2213y x +=，A 正确，B 错误；不妨设()10,2F ，则P ，Q 两点的纵坐标也为2，令2213y x +=中2y =，解得：33x =±，所以不妨令3,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,23Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以233PQ =，C 正确；根据椭圆的定义可知，2PF Q △的周长为443a =，故D 错误. 故选：AC11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 答案：ABD【解析】若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 解：如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =，∴13DB ==，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A正确；∵()13PD ，，11DD =，则1PD =P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图32，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在R 上无极值点B ．()g x 在()0+∞，上存在唯一极值点 C ．0x ∀>，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则a 的最小值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e答案：ACDAB 选项，通过二次求导研究()f x 与()g x 的单调性，进而得到()f x 与()g x 在各自定义域上均无极值点；C 选项，结合()f x 的单调性，解不等式，分离常数后通过研究()2ln xt x x=的单调性求出最值，进而求出a 的最小值；D 选项，函数同构结合函数单调性得到12e xx =，从而得到()()1121ln ln ln 1e 1x t t t x x t x ==++，通过研究()ln t t tμ=()0t >的单调性求出最大值. 解：()()e 1x f x x =+定义域为R ，()()1e 1x f x x '=++，令()()1e 1xh x x =++，则()()2e x h x x '=+，当2x >-时，()0h x '>，当2x <-时，()0h x '<，当2x =-时，()0h x '=，所以()()1e 1xh x x =++在2x =-处取得极小值，也是最小值，所以()()22e 10h x h -≥-=-+>，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 在R 上无极值点，A 正确；()()1lng x x x =+定义域为()0,∞+，()1ln 1g x x x '=++，令()1ln 1x x x ϕ=++，则()22111x x x x xϕ-'=-=，当1x >时，()0x ϕ'>，当1x =时，()0x ϕ'=，当01x <<时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在1x =处取得极小值，也是最小值，()()11120x ϕϕ≥=+=>，所以()0g x '>恒成立，所以()()0g x +∞在，单调递增，所以()g x 在()0+∞，上无极值点，B 错误；因为()f x 在R 上单调递增，0x ∀>，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，所以2ln ax x ≥，即2ln x a x ≥在()0,∞+上恒成立，只需2ln xa x ≥的最大值，令()2ln x t x x=，()0,x ∈+∞，则()222ln xt x x-'=，当0e x <<时，()0t x '>，当e x >时，()0t x '<，当e x =时，()0t x '=，所以()t x 在e x =处取得极大值，也是最大值，()()max 2e e t x t ==，所以2e a ≥，则a 的最小值为2e，C 正确；()()()()e 1ln e e 1e x x x xf x xg =+=⋅+=，()()1ln g x x x =+，根据()()()120f x g x t t ==>得：()()()12e 0x g g x t t ==>，因为()g x 在()0+∞，单调递增，所以12e xx =，故()()1121ln ln ln 1e 1x t t t x x t x ==++，令()ln t t t μ=()0t >，则()21ln t t t μ-'=，当t e >时，()0t μ'<，当e t =时，()0t μ'=，当0e t <<时，()0t μ'>，所以()t μ在e t =处取得极大值，也是最大值，()max 1et μ=，D 正确 故选：ACD函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题13．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为_________. 答案：2π3120 根据向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，利用向量的数量积运算求解. 解：因为向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+， 所以22()cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅=， 解得1cos ,2a b =-，因为[],0,a b π∈， 所以2,3a b π=，故答案为：23π14．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ近似服从正态分布()295,N σ，且()91950.3P ξ<≤=，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为___________. 答案：360由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =，根据正态分布曲线的对称性，求得()199[12(9195)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤，进而可求解，得到答案.解：解：由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =，又由(9195)0.3P ξ<≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.30.222P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=，所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为18000.2360⨯=人， 故答案为：360.15．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________.答案：1,1⎡⎤-⎣⎦求出圆心和半径，由已知条件可得2AE =，利用圆心()1,0E 到直线l ：0x y m ++=的距离d AE =≤，解不等式即可求解.解：由2220x y x +-=可得()2211x y -+=，所以圆心()1,0E ，半径1r =， 过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形， 所以11sin 302r AE AE ===，所以2AE =，圆心()1,0E 到直线l ：0x y m ++=的距离2d AE =≤=，解得：11-≤≤m ，故答案为：1,1⎡⎤-⎣⎦.四、双空题16．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：11a =，21a =，()123--=+≥∈*n n n a a a n ,n N ，记其前n 项和为n S ，设2020a m =(m 为常数)，则20182020S a -=______；1352019+++⋅⋅⋅+=a a a a ______. 答案： 1- m【解析】因为斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，通过归纳可以得出2112311n n n n n a a a a a a a S +++=+=+++⋯=+，135201912018a a a a a S +++⋯+=+,代入即可求解解：因为斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a = ，12n n n a a a --=+， ∴312a a a =+；423121a a a a a =+=++；5341231a a a a a a =+=+++； …2112311n n n n n a a a a a a a S +++=+=+++⋯=+；所以201820201S a -=-， 因为135201911234201720181201811a a a a a a a a a a a a S m m +++⋯+=++++⋯++=+=+-= ．故答案为：1-，m ．本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题． 五、解答题17．在①函数()y f x =的图象关于直线3x π=对称，②函数()y f x =的图象关于点,06P π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③函数()y f x =的图象经过点2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知函数()sin cos cos sin 0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭最小正周期为π，且 ，判断函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案：答案不唯一，具体见解析先对函数化简得()sin()f x x ωϕ=+，由函数的最小正周期为π，可得2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，若选①，则有2()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，从而可求出ϕ的值，进而可求出函数的解析式，再利用换元法可求得最值；若选②，则有2()6k k πϕπ⨯+=∈Z ，从而可求出ϕ的值，然后利用换元法可求得最值；若选③，则有222()32k k ππϕπ⨯+=-∈Z ，从而可求出ϕ的值，再利用换元法可求最值即可 解：解：()sin cos cos sin sin()f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+， 由已知函数()f x 的周期2T ππω==，求得2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+， 若选①，则有2()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得()6k k πϕπ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以，0,6k πϕ==-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666t x πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以当2t π=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1．若选②，则有2()6k k πϕπ⨯+=∈Z ，解得()3k k πϕπ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以0,3k πϕ==-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,33t x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以当2t π=，即512x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1．若选③，则有222()32k k ππϕπ⨯+=-∈Z ，解得112()6k k πϕπ=-∈Z ， 又因为2πϕ<，所以1,6k πϕ==，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72,626t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 显然，函数()f x 在该区间上没有最大值．关键点点睛：此题考查利用三角函数的性质求函数解析式，考查求三角函数的最值，考查计算能力，解题的关键是根据题意正确的求出函数的解析式，再利用换元法求函数的最值，属于中档题18．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8． （1） 求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和 答案： （1）35n a n =-+，或37n a n =-. （2）24,1,{31110, 1.22n n S n n n ==-+>解：考察等差等比数列的通项公式，和前n 项和公式及基本运算． （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,{()(2)8.a d a a d a d +=-++=解得12,{3,a d ==-或14,{ 3.a d =-= 所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-. 故35n a n =-+，或37n a n =-.（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列； 当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,37{37, 3.n n n a n n n -+==-=-≥记数列{}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，114S a ==；当2n =时，2125S a a =+=； 当3n ≥时，234n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,{31110, 1.22n n S n n n ==-+>【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.19．已知函数()()2ln 1f x x ax x =-+-+.(1)函数()f x 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数，求实数a 的取值范围：(2)已知函数()f x 既存在极大值点又存在极小值点，求实数a 的取值范围. 答案：(1)(],1-∞(2)()2-++∞（1）问题转化为()1201f x x a x '=-+-≤+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，参变分离后得到()12121x a x ++≥++，换元法后利用对勾函数的单调性结合函数不等式恒成立得到23a +≤，求出a 的取值范围；（2）()f x 既存在极大值又存在极小值等价于方程()22210x a x a -+-+-=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，求出不等式组，解出答案即可.(1)函数()f x 定义域为()1,-+∞，()121f x x a x '=-+-+， 由题意1201x a x -+-≤+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，即()12121x a x ++≥++在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，令110,2t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数知：()12g t t t =+在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，()132g t g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以23a +≤，得1a ≤，所以实数a 的取值范围为(],1-∞. (2)()()22211211x a x a f x x a x x -+-+-'=-+-=++，()f x 既存在极大值又存在极小值等价于方程()22210x a x a -+-+-=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，需满足()()222102142810a a a a a ⎧-+-+-<⎪-⎪>-⎨-⎪⎪-+->⎩解得:2a >-+所求实数a的取值范围为()2-++∞20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥==E 为PD 上一点，且PE =2ED .(1)求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)求平面PCE 与平面BCE 所成角的余弦值. 答案：(1)证明见解析. (2)3510. （1）根据线面垂直和面面垂直的判定定理可得证；（2）以A 为原点AB ，AD ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，运用面面角的向量求解方法可求得答案. (1)证明：在APD △中，1AP AD ==，2PD =，所以222PD PA AD =+， 所以PA AD ⊥，又PA CD ⊥，CDAD D =，CD ，AD ⊂面ABCD ，∴PA ⊥面ABCD ，PA ⊂面PAC ，∴面PAC ⊥面ABCD ； (2)解：以A 为原点AB ，AD ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,1,0C ，210,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1P ，所以()0,1,0BC =，111,,33CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1PC =-，设平面PCE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m CE m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴1111110330y z x x y z ⎧--+=⎪⎨⎪+-=⎩，令11y =，解得111x z =⎧⎨=⎩所以()0,1,1m =设平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴11120330y z x y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，所以()1,0,3n =，所以cos ,2m n m n m n⋅==⨯， 由图示知面PCE 与面BCE 所成的二面角是锐角，所以面PCE 与面BCE . 21．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下： 假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题： (1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率：(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列和均值()E X . 答案：(1)25(2)平均利润为44元(3)分布列答案见解析，数学期望：8350（1）将消费2次、3次、4次的人数相加，除以100，求得结果；（2）按照题中所给的优惠政策，分别计算出第1 、2、 3 、4次消费时，游泳馆获得的利润 再求平均数即可；（3）分别计算出会员消费1次、2次、3次、4次时平均利润和概率，从而可以求得X 的所有可能取值，以及对应的概率，列出分布列，利用公式求得期望即可得结果. (1)2510540++=，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，803050-=（元），所以游泳馆获得的利润为50元， 第2次消费时，800.953046⨯-=（元），所以游泳馆获得的利润为46元， 第3次消费时，800.903042⨯-=（元），所以游泳馆获得的利润为42元， 第4次消费时，800.853038⨯-=（元），所以游泳馆获得的利润为38元， ∵50464238444+++=（元），∴这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元. (3)若会员消费1次，16031005P ==，则平均利润为50元，其概率为35； 若会员消费2次，5046482+=（元），22511004P ==，则平均利润为48元，其概率为14； 若会员消费3次，504642463++=（元），310110010P ==，则平均利润为46元，其概率为110； 若会员消费4次，50464238444+++=（元），45110020P ==， 则平均利润为44元，其概率为120. 由题意知，X 的所有可能取值为0，2，4，6. 且()33111111870554410102020200P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=，()31111192254410102025P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()31112942510420200P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()3136252050P X ==⨯⨯=.∴X 的分布列为∴()879293830246200252005050E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．已知函数()e sin xf x x =⋅.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；(3)设函数()()20152017e cos ,,22xF x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值.答案：(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(],1-∞ (3)1008π（1）对函数求导()πsin 4xf x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)∵()()πsin cos sin 4x xf x e x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，增区间应满足：()0f x '>，22,4k x k k z ππππ≤+≤+∈减区间应该满足：()0f x '<，222,4k x k k z πππππ+≤+≤+∈∴()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，∵()()sin cos xg x e x x k '=+-令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()()min 00g x g ==，∴1k ≤满足题意；②当π21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，∴()0(0)0g x g <=不符合题意； ③当π2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴()()00g x g <=不符合题意，∴1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)∵()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+∴()2cos xF x e x '=，设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=，从而切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=-，∴()0000000π1πsin cos 2cos tan 222x xex x e x x x x -⎛⎫⎛⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在2015π2017π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. ∴1008πS =.。

试卷第1页，共6页山东省实验中学2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学试题试卷副标题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C ．13D ．236．已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 8．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞评卷人 得分二、多选题9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好 10．设函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象过点()0,1； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12π；D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象．试卷第3页，共6页11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）． A B ．侧棱与底面所成的角为4π CD ．侧棱与底面所成的角为3π12．设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ） A ．若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF =则POF 的面积______．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 评卷人 得分四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点， 23BD DC =，1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8c =．（1）求a 的值；（2）求ADC 的外接圆的半径R ．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 4360BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =.试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）(]0,1(]1,2(]2,3(]3,4(]4,5包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数 [)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[]400,500天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 21．设函数()ln mf x x x=+， R m ∈． （1）当1m =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()()3xg x f x '=-有两个零点，求实数m 取值范围； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．试卷第6页，共6页22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；（3）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．答案第1页，共18页参考答案1．A 【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 考点：复数的除法运算． 【详解】 2．B 【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，2:0x B x-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．D 【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．C答案第2页，共18页【分析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，()f x ∴在[]1,1-上为减函数，11111244>>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题. 5．D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+,又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.答案第3页，共18页故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B 【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、22121(21)sin2k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，22(2)sin 0k a k k π==；当*21,n k k N =-∈时，22121(21)sin2k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+50492(13579799)250250002⨯⎛⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题. 7．D 【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率. 【详解】答案第4页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b bk c c-==--， ∵直线FB 与直线by x a=互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， ∴51+,故选D.考点：双曲线的简单性质 8．D 【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程222lnx x x m x -=--+有解，即2m lnx x=+有解．设()()20h x lnx x x =+>,则()22122x h x x x x-'=-=， ∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项.9．ABD答案第5页，共18页【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可 【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”有95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确，对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为9510499.52+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD 10．AC 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当0x =时，()02sin16f π==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；对于B ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以B 错误；答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于C ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以C 正确；对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误.故选：AC. 11．AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a=所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a =答案第7页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………当()0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题. 12．AD 【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++， ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．故选：AD. 13．2【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA =,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离22212d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()221211a a =⇒=±+-故答案为：2± 【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题. 14．3【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1S OF n 2=⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 42∴=22p=F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得pPF m 422=+=，答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………即m 242+=，解得m 32=，点P 在抛物线C 上，得n 2=42×32=24 n 26∴=± ,OF 2=，POF ∴的面积为1S OF n 232=⨯=． 故答案为23．【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 15．36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C 种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中答案第10页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………档题． 16．4 【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时1()0f x x a⇒'==① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min1()min (1),(f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{411()120f a a f a a-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.17． （1）12n n a（2）()()3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出答案第11页，共18页()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. （1）若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选③，由121111222n n n nn a a a a +-+++=， 可知()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n na n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；（2） 由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 18． （1）5答案第12页，共18页（2【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △弦定理得到BD ，从而可得结果；（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. （1） ∵1cos 7ADC ∠=，∴sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠， ∵23BD DC =，∴2DC =∴325a =+=； （2）在ABC 中，7b =． 在ADC 中，12sin b R ADC =⋅=∠ 19．(1)见证明；【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且12OH AB ==答案第13页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………又//EF AB ，233EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，23B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313cos 1139m nm n θ⋅-===⨯++ 因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直43,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭）样本中快递费用答案第15页，共18页（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. 【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）极小值1；无极大值；（2）203m <<；答案第16页，共18页（3）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()31()03x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求解；（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+调递减，即()2110mh x x x'=--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. （1） 因为()()210x f x x x -'=> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以当1x =时，()f x 取得极小值()11ln111f =+=，无极大值.（2）由题可得()()()21033x m xg x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+．所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；所以()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：当203m <<时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203m <<. （3）原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立，答案第17页，共18页令()()()ln 0mh x f x x x x x x=-=+->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2110mh x x x '=--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以14m ≥， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．（1）22143x y +=（2）[]0,12（3）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可；（3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. （1）由已知()322a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，则b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，则2200143x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()22100000112354PF PA x x y x x ⋅=----+=++．答案第18页，共18页由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()21354f x x x =++在区间[]22-,上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 （3）由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +122834km x x k -+=+ ， 212241234m x x k -=+．由0∆>得2243k m +>．2AH MH HN =⋅，即2AH MH NH =，可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++= ()()22222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>．当12k m =时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。

山东省实验中学2008年第三次诊断性考试高三数学试卷(理科)注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页，共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若集合}1|{2<=x x M ，}1|{<=x x N ，则N M =（ ）A.MB.NC.φD.}10|{}01|{<<<<-x x x x2、命题p ：在ABC ∆中，B C ∠>∠是B C sin sin >的充分不必要条件；命题q ：b a >是22bc ac >的充分不必要条件，则（ ）A.p 真q 假B.p 假q 真C.“p 或q ”为假D.“p 且q ”为真3、已知直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为（ ）A ．21 B.21- C.2 D.2- 4、已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中不正确的是（ ）A.若m ∥α⊥m n ,，则α⊥nB.若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥nC.若⊥m βα⊥m ,，则α∥βD.若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ 5、方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率为（ ）A.21 B.31 C.41 D.43 6、若ααααcos sin ,22)4sin(2cos +-=-则的值为（ ）A.27-B.21-C.21D.277、把函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的图象向左平移3π个单位，所得的曲线的一部分如下图所示，则ω、ϕ的值分别是（ ）A. 1,3π B. 1，3π-C. 2,3π D. 2, 3π-8、已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）主视图左视图俯视图A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项9、如右图，BAO,,是平面上的三点，向量,OA a OB b==，设P为AB的垂直平分线CP上的任意一点，向量=，若4||=，2||=b，则)(bap-⋅等于（）A.6 B．5 C．3 D．110、已知椭圆()222210x ya ba b+=>>与双曲线()222210,0x ym nm n-=>>有相同的焦点(),0c-和(),0c，若c是,a m的等比中项，2n是22m与2c的等差中项，则椭圆的离心率是（）14D.1211、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种B.147种C.141种D.142种12、设5021,,,aaa 是以1,0,1-这三个整数中取值的数列，若：95021=+++aaa 且107)1()1()1(2502221=++++++aaa ,则5021,,,aaa 当中取零的项共有（）A．11个 B．12个 C．15个 D．25个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13、一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形.则该几何体的体积是 .14、若3162323n nC C++=2012((3)n nnn N x a a x a x a x*∈-=++++)且,则012(1)nna a a a-+-+-= .15、买4斤苹果和5斤梨的价格之和不小于20元，而买6斤苹果和3斤梨的价格之和不大于24元，则买3斤苹果和9斤梨至少需要元.16、给出下列命题：①若812484,,,,}{SSSSSnSann--则项和是前成等比数列成等比数列；②已知函数2),0()sin(2=<<+=yxy其图象与直线为偶函数πθθω的某两个交点的横坐标为2,2,||.,2121πθωπ的值为的值为则的最小值为若xxxx-；③函数axxfy==的图象与直线)(至多有一个交点；④函数).0,12(62sin(2ππ是的图象的一个对称中心-=xy其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，17-21小题每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、已知向量(2c o s1,c o s 2s i n O P x x x O Q x =+-+=-,定义()f x OP OQ =⋅.（1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 的取值集合.18、设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a .(1) 求数列{}n b 的通项公式； (2) 若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72n T <.19、在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为12. (1)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列及数学期望.20、如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直， M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =．(1)求证：⊥AM 平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (3)求二面角C EB A --的大小．21、已知函数()2ln ,(1)0.bf x ax x f x=--= (1)若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围; (2)若函数()f x 的图象在1=x 处的切线的斜率为0，且11()11n n n a f na a +'=-++，若13,:2n a a n +≥求证≥.22、已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范围.BMEDCA[参考答案] 一： BCABC CDCAD CA 二：13.64314.256 15.22 16.③④三：17．（1）)1,(cos )1sin 2cos ,1cos 2()(-⋅+-+=⋅=x x x x OQ OP x f 1sin 2cos cos cos 22-+-+=x x x x xsin cos += ……………4分 )4sin(2π+=x …………………………………………… 6分322,,242k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 令522.44k x k ππππ+≤≤+解得所以，函数.],452,42[)(Z ∈++k k k x f ππππ的单调递减区间为………………9分 （2）函数.42,224,2)(πππππ+=+=+k x k x x f 即此时的最大值是所以，函数}.,42|{2)(Z ∈+=k k x x x x f ππ的取值集合为时的取得最大值……12分18. 解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =. 21222()b b b =-+，则229b =.………………………………………………………2分 当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---. 即113n n b b －＝. …3分所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=.………………4分（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n .…………6分从而nn n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=. ……………………………………7分 ∴],31)13(318315312[232n n n T ⋅-++⋅+⋅+⋅=]31)13(31)43(315312[231132+⋅-+⋅-++⋅+⋅=n n n n n T ∴]31)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T . ………………10分 从而2733127271<-⋅-=-n n n n T . ………………………………………12分19.解: (Ⅰ)设事件A 表示“甲选做14题”,事件B 表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”,且事件A 、B 相互独立∴ ()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=11111(1)(1)22222⨯+-⨯-=……………6分(Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且1(4,)2B ξ.∴ 4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222k k k k P k C C k ξ-==-== ……………8分 所以变量ξ的分布列为….10分113110123421648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 或1422E np ξ==⨯= …….12分 20．解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，EC AM AC EA ⊥⊥∴,． ………………………1分 ∵平面⊥ACDE 平面ABC ，又∵AC BC ⊥，⊥∴BC 平面EAC ． ……………………2分 ⊂AM 平面EAC ，⊥∴BC AM ．……………3分 ⊥∴AM 平面EBC ． ………………4分(Ⅱ)连结BM ，⊥AM 平面EBC ，ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． …………………………………………5分设a BC AC EA 2===，则a AM 2=，a AB 22=， ……………………………………………6分21sin ==∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ． 即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30…8分(Ⅲ)过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． …………………………………………9分 ⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ． AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． ……10分 ∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ． ⊥∴EA AB ．在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得 a AB 22=，a EB 32=， 322aEB AB AE AH =⋅=∴． ……………………………………………10分 23sin ==∠∴AH AM AHM ．︒=∠∴60AHM ． ∴二面角C EB A --等于︒60． ………………………………………12分 解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ， …………2分 ∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．设2===BC AC EA ，则),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，)1,1,0(M ∴．……………4分 (Ⅰ)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=，0,0=⋅=⋅∴CB AM EC AM ， …………………………………4分B ME DC A HBME D C ACB AM EC AM ⊥⊥∴,⊥∴AM 平面EBC ． ………………………………5分(Ⅱ) ⊥AM 平面EBC ，∴为平面EBC 的一个法向量，………………………6分)0,2,2(),1,1,0(==AB AM ，21==∴．…………………7分︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． ……………8分(Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =，则AE n ⊥且AB n ⊥，0=⋅∴且0=⋅． ⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z 取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=． ……………………………………………10分又∵为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴，设二面角C EB A --的平面角为θ，则21c c o s ==θ，︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60．………… 12分 21．（１）0>x 22(1),,()a f a b a b f x a x x '=-∴==+-aa a x a 1)11(2-+-=，（２分）①当0a >时，则有211()()f x a x a '=-10a a +-≥恒成立。

山东省实验中学高三第三次诊断性测试数学试题（理科）2009.3本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题60分）注意事项1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试规定的位置。

2．第I 卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试卷上作答无效。

）一、选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1．复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在等比数列{}n a 中，若357911243a a a a a =，则7a 的值为 A ．9 B ．1 C ．2 D ．33．设:1p x <-或1x >，:2q x <-或1x >，则p ⌝是A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．要得到sin 2cos 2y x x =+的图象，只需将2y x =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移8π个单位5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图的侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形。

若该几何体的体积为 A ．32 B ．16 C ．643 D ．3236．22)nx展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 A ．360 B ．180 C ．90 D ．457．设a R ∈，函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ，且'()f x是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 A ．ln 22-B ．ln 2-C ．ln 22 D ．ln 28．函数lg ||x y x=的图象大致是9．已知0,0,l g 2x y x y >>+=则113x y+的最小值是 A ．2B ．C． 4D．10．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组学习，则按分层随即抽样组成此课外兴趣小组的概率为A ．42105615C C C ⋅B ．33105615C C C ⋅ C ．615615C AD ．42105615A A C ⋅11．若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，12F F 、分别是它们的左右焦点，设椭圆心离率1e ，双曲线离心率为2e ，若120PF PF ⋅=，则221211e e += A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，则点O A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在C ∠平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上 D ．是ABC ∆的外心第Ⅱ卷（共90分）注意事项：第Ⅱ卷共2页。

山东省实验中学2010级第三次诊断性测试数学试题（理科）（2012.12）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共两卷。

其中第Ⅰ卷为第1页至第2页，共60分；第Ⅱ卷为第3页至第6页，共90分；两卷合计150分。

考试时间为120分钟。

本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若”“M N ⊆，则有21a =或22a =，解得1a =±或a =”“1=a 是”“M N ⊆充分不必要条件，选A.2、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ） A.xx f 1)(= B.x x f -=)( C.x x x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 【答案】C 【解析】xx f 1)(=在定义域上是奇函数，但不单调。

x x f -=)(为非奇非偶函数。

x x f t an )(-=在定义域上是奇函数，但不单调。

所以选C.3.若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A.2B.21- C.21D.-2【答案】D【解析】由3)4tan(=-απ得，tantan()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-，所以1cot 2tan αα==-选D.4.函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+，做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象，如图由图象中可知交点个数为1个，即函数的零点个数为1个，选B.5.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3【答案】A【解析】因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ，所以(2)0a -+≠，所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122y x a a =+++，因为两直线平行，所以32a a =+且122a ≠-+，解得1a =-或3a =，选A.6.设命题p ：曲线x e y -=在点），（e 1-处的切线方程是：ex y -=；命题q :b a ,是任意实数，若b a >，则1111+<+b a ，则（ ） A.“p 或q ”为真 B.“p 且q ”为真 C.p 假q 真 D.p ，q 均为假命题【答案】A【解析】'()'x xy e e --==-，所以切线斜率为e -，切线方程为(1)y e e x -=-+，即y e x =-，所以P 为真。

山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试数学试题(理科)2017．12 说明：本试卷满分150分。

分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.A. B. C. D.【答案】D。

故得到答案为：D。

2. x的值是A. 0B.C. 2D. ±2【答案】D故答案为：D。

3.A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，可得可行域是一个封闭的三角形区域，交于点A（1，1）A时，有最大值，代入得到3.故答案为：C。

4.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B所以是必要不充分条件。

故选B。

5. d的值为：A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由等差数列的概念及前n故答案为：C。

6.A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】化故答案为：B。

7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b升，c升，1斗为10升；则下列判断正确的是A. 22C.D.【答案】D52升，根据等比数列的前N故答案为D。

8.A. B.C. D.【答案】A考点：函数的图像9. 为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x的图象A.B. 2倍，纵坐标不变C.D. 2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由图可知A=1，T=π，∴ω=2，（k∈Z），∴k∈Z），又0＜ϕ∴∴y=sin（．∴为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（x∈R位，得到y=sin（的图象，再将y=sin（（纵坐标不变）即可．故答案为A。

山东省实验中学2017届高三第三次模拟考试（打靶）数学理试题（word 版）第I 卷（选择题 共5 0分）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合M ={x|x 2 -x<0}，N={x||x|<2}，则 A ．M I N=∅B ．M U N'=RC ． M U N=MD ．M I N=M2．复数z=241ii+-（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A ．（3,3） B ．（-l,3） C ．（3,-1） D ．（2,4） 3．下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是 A ．y=log 2 |x|B．y=cos 2xC ．y=222x x--D ．y=lo 222xg x-+ 4．如图，程序框图所进行的求和运算是A ．111124620++++LB ．11113519++++LC ．11112418++++LD ．231011112222++++L5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为A ．42π+B ．342π+C ．542π+D ．4π+6．函数f （x ）=sin （x ωϕ+）（其中．（ω>0，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sinx ω的图象，则只要将f （x ）的图象A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位7．下列四个图中，函数y=10111n x x ++的图象可能是8．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为 A ．16B ．13C ．12D ．239．设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，3,2AB AC ==uu u r uu u r，∠ABC=60o，则AD u u u r ·BC uu u r=A ．85-B ．95C ．95-D ．8510．定义在R 上的函数f （x ）满足：f (x)+f ' (x)>l ，f (0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),00,-∞+∞UD ．()3,+∞第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样 本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电 子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与 使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是。

山东省济南市市中区山东省实验中学2024学年高三下学期第三次摸底：数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 22．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-3．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．164．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.95447．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．5198．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．359．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C ．22D ．210．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423C ．2D ．23311．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．212．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．10082二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。