2016-2017学年高中数学阶段质量评估3北师大版选修2-1资料

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立其中全称命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案： B2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是( )A.3∉AB.3∈∁U BC.3∉A∩BD.3∈(∁U A)∩(∁U B)解析：由题意，非p：3∉A∪B，所以3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁U A)∩(∁U B)．答案： D3．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，由线面平行的判定定理知①正确．对于②，由线面垂直的判定定理知②正确．对于③，由平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面知③不正确．对于④，由面面垂直的判定定理知④正确．故选C.答案： C4．下列命题是真命题的有( )①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有①正确．答案： B5．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，故a＝1；若a＝1，直线x＋y＝0和直线x－y＝0显然垂直．答案： C6．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件解析：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；但是直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线都垂直，即必要性成立．答案： C7．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： “对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”等价于关于x 的不等式：x 3－x 2＋1≤0恒成立，其否定为：x 3－x 2＋1≤0不恒成立；即存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＞0成立，故选C.答案： C8．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是|a |＝5的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 若x ＝4，则a ＝(4,3)，|a |＝5. 若|a |＝5，则x 2＋9＝5， ∴x ＝±4∴“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件． 答案： A9．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形都不是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；綈p ：当x 2＋2x ＋2>0时，x ∈R 解析： D 中綈p ：对∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故D 不正确． 答案： D10．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析： 原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥3，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C 符合．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的________条件．解析： 甲乙而乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： 必要不充分12．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 答案： 任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠013．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4. 当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4. 答案： a ＞4 14．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；②“若sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题． 其中是真命题的有________．解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4，可知②是假命题；对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题． 答案： ③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .解析： (1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：NZ ，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解析： (1)原命题：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14，是真命题．(2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0} ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ＜0，解得－23≤a ＜0或a ≤－4.18．(14分)已知命题p ：若不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2＞0的解集是R ；命题q ：sin x ＋cos x ＞m ；如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．解析： 对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2＞0恒成立，满足题意：(2)当m －1≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0Δ＝m －2－m －＜0，所以，m ∈[1,9)．对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ∈[－2，2]，若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x ＞m 是假命题， 则m ≥2；综上，m 的取值范围是[2，9)．。

阶段质量检测（二）一、选择题1．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ )A ．（1，＋∞)B ．（1，2）C 。

错误!D ．（0，1)2．已知双曲线错误!－错误!＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D 。

错误!3．抛物线y 2＝8x 上一点P 到焦点的距离为4，则P 到坐标原点的距离为（ )A ．5B ．2错误!C ．4错误! D.错误!4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．设P 是双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0）上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|＝3，则｜PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D．86．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶｜F1F2|∶|PF2｜＝4∶3∶2,则曲线C的离心率等于(）A.错误!或错误!B.错误!或2C。

错误!或2 D。

错误!或错误!7．过双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的左焦点F（－c,0）(c＞0）作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(）A.错误!B。

错误!C.10D.错误!8．已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若｜PF1|＝5，则△PF1F2最大内角的余弦值为()A．－错误! B.错误!C.错误!D．－错误!9．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的离心率为错误!。

双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(）A.错误!＋错误!＝1B.错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1D.错误!＋错误!＝110．已知|AB―→｜＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（）A.错误!＋y2＝1 B．x2＋错误!＝1C.错误!＋y2＝1 D．x2＋错误!＝111．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm,灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是（) A．y2＝错误!x B．y2＝错误!xC．x2＝－错误!y D．x2＝－错误!y12．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为（)A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36二、填空题13．以双曲线错误!－错误!＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．14．设F1，F2为曲线C1：错误!＋错误!＝1的焦点,P 是曲线C2:错误!－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．15．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A，B两点,连接AF，BF。

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图2-1-3所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图2-1-3A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【解析】 夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →.【答案】 C4.在如图2-1-4所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图2-1-4A ．〈AB →，BC →〉B ．〈BC →，CA →〉C ．〈C 1B 1→，AC →〉D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D.【答案】 D5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A.BD →B ．BC 1→ C.BD 1→D ．A 1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量．【答案】 A二、填空题6．正四面体S -ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】 如图所示，∵E ，F 为中点，∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形，∴∠SAC ＝π3，∴〈EF →，AC →〉＝2π3.【答案】 2π37．下列命题正确的序号是________．①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4； ②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ；③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错；③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】 ④图2-1-58．如图2-1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】 要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.【答案】 60°三、解答题9.如图2-1-6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图2-1-6(1)写出所有的单位向量；(2)写出与AB →相等的所有向量；(3)写出与AD →相反的所有向量；(4)写出模为5的所有向量．【解】 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝ 5.(1)单位向量有：AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →.(2)与AB →相等的向量有：DC →，D 1C 1→，A 1B 1→.(3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C 1B 1→，D 1A 1→.(4)模为5的向量有：AD 1→，A 1D →，BC 1→，B 1C →，D 1A →，DA 1→，C 1B →，CB 1→.图2-1-710．如图2-1-7所示，已知正四面体A -BCD .(1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线；(2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】 如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．(2016·福州高二检测)空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量，∴a ＝－b ，又∵|b |＝3，∴|a |＝3.【答案】 D2．(2016·天津高二检测)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C 1D 1→，AD 1→与C 1B →平行且方向相反，互为相反向量．【答案】 B图2-1-83．如图2-1-8所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ，且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ，∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1，∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图2-1-9，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2-1-9(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC .∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。

模块综合检测(B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若命题p：任意x∈R,2x2＋1〉0，则綈p是（)A．任意x∈R，2x2＋1≤0B．存在x0∈R，2x0＋1>0C．存在x0∈R，2x0＋1<0D．存在x0∈R，2x0＋1≤02．“a〉0”是“|a|〉0”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若双曲线错误!－错误!＝1 （a〉0,b〉0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( ）A．e>错误!B．1<e<错误!C．e〉2 D．1<e〈24．已知△ABC的顶点B、C在椭圆错误!＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是（）A．2错误!B．6C．4 3 D．125．过点（2，－2）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为（）A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.y24－错误!＝1 D.错误!－错误!＝16．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝（sin α，1,cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )A．90° B．60° C．30° D．0°7．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（)A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!8．已知椭圆x2＋2y2＝4,则以（1，1）为中点的弦的长度为（) A ．3错误!B．2错误! C.错误!D。

错误! 69．命题p:关于x的不等式(x－2)错误!≥0的解集为{x｜x≥2},命题q:若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4〈k≤0，那么不．正确的是( )A．“綈p”为假命题B．“綈q”为假命题C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题10。

选修1-2 模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．下列框图中，可作为流程图的是( )A.整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂B.随机事件→频率→概率C.入库→找书→阅览→借书→出库→还书D.推理图像与性质定义【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合．【答案】 C4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】2i1－i＝1＋－＋＝－2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的【解析】 计算3293与101314可知相差很小，故选B.【答案】 B8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…，观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 必要性显然成立；PQR >0，包括P ，Q ，R 同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P <0，Q <0，则P ＋Q ＝2b <0，这与b 为正实数矛盾．同理当P ，R 同时小于0或Q ，R 同时小于0的情况亦得出矛盾，故P ，Q ，R 同时大于0，所以选C.【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：y ＝bx ＋a 的系数b ＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ＝15.4， 所以线性回归方程为y ＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．在平面几何中，△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比|AE |∶|EB |＝|AC |∶|CB |(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A BCD 中，平面CDE 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，结论是__________________．图2【解析】 依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比． 【答案】 S △ACD ∶S △BCD ＝AE 2∶EB 215．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．图3【解析】 当x ＝1时，1<2，则x ＝1＋1＝2；当x ＝2时，不满足x <2，则y ＝3×22＋1＝13.【答案】 1316．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________. 【导学号：67720029】【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z ＝－＋＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)给出如下列联表：(参考数据：P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 χ2＝－230×80×50×60≈7.486.又P (χ2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 19．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.于是x＝52，y＝692，代入公式得：b ＝∑i ＝14x i y i －4x －y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ＝735x －2.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12nn －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156aD ．153a【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→. ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 P A →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·n |n |＝103， 即|－2(x ＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11.【答案】 C3．(2016·南宁高二检测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( )A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1) DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33. 【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45， ∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43. 【答案】 C 二、填空题6．如图2-6-5所示，在直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2-6-5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎨⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎨⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32zy ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2＝4917＝491717.【答案】4917178．如图2-6-7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2-6-7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0， 且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0， 令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1. ∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 【答案】 23 三、解答题9．如图2-6-8，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图2-6-8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离．【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎨⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161. 10．如图2-6-9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2-6-9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎨⎧ －2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1. ∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33 B ．1 C. 2D ． 3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2-6-10，P -ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )图2-6-10A ．6B ．355 C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655. 【答案】 C3.如图2-6-11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2-6-11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝P A →＋AF →＝P A →＋12AC →＝P A →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎨⎧(x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0⇒⎩⎨⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎨⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】2334．(2016·石家庄高二检测)已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717， 因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717， 所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。

模块质量检测(二)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(¬p )或qB ．p 且qC ．(¬p )且(¬q )D ．(¬p )或(¬q ) 解析： 由题知，p 真q 假，则¬p 假，¬q 真． ∴只有D 中(¬p )或(¬q )为真，故选D. 答案： D 2．(2011·天津卷)设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： A ＝{x |x －2＞0}＝{x |x ＞2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x ＜0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 答案： C3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量A B →与A C →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析： A B →＝(0,3,3)，A C →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →〉＝A B →·A C→|A B →||A C →|＝332×2＝12，所以〈A B →，A C →〉＝60°，故应选C.答案： C4．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析： ∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C5．在下列各结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要条件但不充分条件； ④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要条件但不是充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④解析： “p ∧q ”为真则“p ∨q ”为真，反之不一定，①真；如p 真，q 假时，p ∧q 假，但p ∨q 真，故②假；¬p 为假时，p 真，所以p ∨q 真，反之不一定对，故③真；若¬p 为真，则p 假，所以p ∧q 假，因此④错误．答案： B6．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，A B →＝(1,5，－2)，B C →＝(3,1，z )，B P →＝(x －1，y ，－3)，若AB ⊥BC ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析： 因为AB ⊥BC ，所以A B →·B C →＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，所以B P →⊥A B →，B P →⊥B C →， 又B C →＝(3,1,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407.y ＝－157.答案： B7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63解析： ∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角即为BB 1与平面ACD 1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D 到面ACD 1的距离为33，所以sin θ＝33，得cosθ＝63.答案： D8．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析： y 2＝8x ，焦点F (2,0)，可知椭圆焦点落在x 轴上，排除A 、C ；且椭圆中c ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋4，2a ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.故选B.答案： B9．椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是( )A.13B.23C.73D.14解析： 不妨设P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线和椭圆定义可知：|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，∴|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝24－2×3－162×3＝13.故选A.答案： A10．已知命题p ：m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 解析： 若p ∧q 为假命题则p 与q 至少有一个为假命题①若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0m 2－4＜0⇒－1＜m ＜2；②若q 假p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤0m 2－4≥0⇒m ≤－2；③若p 假q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0m 2－4≥0⇒m ≥2综上可知m ≤－2或m ＞－1，故选B. 答案： B 11．(2011·泸州高二检测)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( )A.34B.12C.32D ．1 解析： 由题意知：取AB 中点E ，连结C 1E ，CE .易知∠C 1EC ＝60°，过点C 作CO ⊥C 1E .解Rt △COE ，即证CO ＝34.也可建立坐标系求解．答案： A12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析： 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，k BF ＝－bc，双曲线渐近线的斜率k ＝±ba.∵BF 与一条渐近线垂直，∴－b c ·ba ＝－1，∴b 2＝ac ，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2－ac －a 2＝0， ∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1±52(舍负值)∴e ＝5＋12，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知p ：α是第二象限的角，q ：sin α·tan α<0，则p 是q 的________条件． 解析： 由α是第二象限的角，知sin α>0，tan α<0， 故sin α·tan α<0，即p ⇒q ；反之，不一定成立． 例如，当α是第三象限的角时，sin α<0，tan α>0， 所以sin α·tan α<0也成立． 答案： 充分不必要14．若{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________．解析： 因为d ＝αa ＋βb ＋γc ，即e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3， 所以α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案： 52，－1，－1215．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|. |AF 22|＝|AF 21|＋|F 1F 22|－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 21|－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72. 答案： 7216.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为________．解析： 如右图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫－32，0，0，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量， 由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)，∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.答案： 233三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交．” q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．”若p 或q 为真，¬p 为真，求m 的取值范围．解析： ∵p 或q 为真，¬p 为真，∴p 假q 真． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0(x －1)2＋y 2＝1，得2x 2－2(1＋m )x ＋m 2＝0 若p 假，则Δ＝4(1＋m )2－4×2×m 2≤0. ∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2.若q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m －4m＜0∴0＜m ＜4.∴p 假q 真时，1＋2≤m ＜4.∴m 的取值范围是[1＋2，4) 18．(12分)(2011·盐城高二检测)已知拋物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点即双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的一个焦点F ，若拋物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝⎛⎭⎫23，263.(1)求拋物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及其离心率e .解析： (1)设y 2＝2px (p ＞0)，图像过M ⎝⎛⎭⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎫2632＝2p ×23，p ＝2，拋物线C 1的方程y 2＝4x ，焦点F (1,0)．(2)由C 2过点M ⎝⎛⎭⎫23，263以及焦点F (1,0)可得：49a 2－249b 2＝1. a 2＋b 2＝1.得a ＝13，b ＝223，C 2方程为9x 2－98y 2＝1，e ＝3.19．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解析： (1)由于e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴b 2a 2＝23.又b ＝21＋1＝2，∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2. (2)由(1)知F 1、F 2分别为(－1,0)，(1,0)． 由题意可设P (1，t )(t ≠0)，那么线段PF 1的中点为N ⎝⎛⎭⎫0，t 2. 设M (x ，y )是所求轨迹上的任意一点，由于 M N →＝⎝⎛⎭⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )， 则⎩⎪⎨⎪⎧M N →·PF 1→＝2x ＋t (y －t 2)＝0y ＝t， 消去参数t 得y 2＝－4x (x ≠0)．因此，所求点M 的轨迹方程为y 2＝－4x (x ≠0)， 其轨迹为抛物线． 20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．解析： 方法一：(1)证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)， 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴P C →＝(2,22，－2)，B F →＝(－1，2，1)，E F →＝(1,0,1)， ∴P C →·B F →＝－2＋4－2＝0，P C →·E F →＝2＋0－2＝0， ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝P C →＝(2,22，－2)， 平面BAP 的法向量n 2＝A D →＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8.设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22，∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.方法二：(1)证明：连接PE ，EC ，在Rt △P AE 和Rt △CDE 中． P A ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ， ∴PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，又BP ＝AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点， ∴BF ⊥PC .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . (2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面BAP ，BC ⊥PB ， 又由(1)知PC ⊥平面BEF ，∴直线PC 与BC 的夹角即为平面BEF 与平面P AB 的夹角， 在△PBC 中，PB ＝BC ，∠PBC ＝90°， ∴∠PCB ＝45°.所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.21．(12分)已知m >1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点．(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．解析： (1)因为直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，所以m 2－1＝m22，得m 2＝2，又因为m ＞1，所以m ＝ 2.故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋m 22，x 2m 2＋y 2＝1，消去x 得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，则由Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m 24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2＜8， 且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12.由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 故O 为F 1F 2的中点，由AG →＝2GO →，BH →＝2HO →，可知G ⎝⎛⎭⎫x 13，y 13，H ⎝⎛⎭⎫x 23，y 23.|GH |2＝(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29.设M 是GH 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 26，y 1＋y 26，由题意可知，2|MO |＜|GH |，即4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 262＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 262＜(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)29，即x 1x 2＋y 1y 2＜0，而x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋m 22⎝⎛⎭⎫my 2＋m 22＋y 1y 2＝(m 2＋1)⎝⎛⎭⎫m 28－12，所以m 28－12＜0，即m 2＜4.又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2. 所以m 的取值范围是(1,2)． 22．(12分)如右图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点．(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离； (2)求二面角B －A 1D －A 的余弦值；(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ，若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．解析： (1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，CC 1⊥BC ，因为AC ⊥CB ，所以BC ⊥平面A 1C 1CA ，BC 的长即为点到平面A 1C 1CA 的距离，因为BC ＝2，所以点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2；(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如下图所示的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(2,0,2)，A 1(0,2,2)，D (0,0,1)，E (1,0,2)，所以BD →＝(－2,0,1)，BA 1→＝(－2,2,2)，设平面A 1BD 的法向量为n ＝(1，λ，μ)，有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋μ＝0，－2＋2λ＋2μ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以n ＝(1，－1,2)，同理平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(1,0,0)，cos 〈m ，n 〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66；(3)设在线段AC 上存在一点F (0，y,0)，使得EF ⊥平面A 1BD ，欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE →，因为FE →＝(1，－y,2)，所以y ＝1，故存在惟一一点F (0,1,0)满足条件，F 为AC 的中点．。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a ∥b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a ∥b ，则a ，b 与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA →，BM →，BN →共面，则A 、B 、M 、N 共面；④中，a 与m ，b 不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】 D2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝α a ＋β b ＋γ c ，则α、β、γ分别为( )A.52，－1，－12 B ．52，1，12 C ．－52，1，－12D ．52，1，－12【解析】 d ＝α a ＋β b ＋γ c＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3.由向量基底表示唯一性得⎩⎨⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.【答案】 A3．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C.14D ．－14【解析】 a·i ＝|a ||i |cos 〈a ，i 〉， ∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i|i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 【答案】 A4．如图2-3-9，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D →＝()图2-3-9A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c【解析】 A 1D →＝A 1C 1→＋C 1D →＝AC →＋12(C 1C →＋C 1B 1→) ＝c ＋12(－AA 1→＋CA →＋AB →) ＝c －12a ＋12(－c )＋12b ＝－12a ＋12b ＋12c . 【答案】 D5．(2016·兰州高二检测)已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为{8,6,4}，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,10,12)D ．(4,2,3)【解析】 ∵点A 在基底{a ，b ，c }下坐标为(8,6,4)， ∴OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝12i ＋14j ＋10k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 【答案】 A 二、填空题6．e 1，e 2，e 3是空间一组基底，a ＝e 1－2e 2＋e 3，b ＝－2e 1＋4e 2－2e 3，则a 与b 的关系为________．【导学号：32550030】【解析】 ∵b ＝－2a ，∴a ∥b . 【答案】 a ∥b7．(2016·金华高二检测)已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 【答案】 (8,3,12)8．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′B ′C ′D ′和面CC ′D ′D 的中心，且AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→，则2x －4y ＋6z ＝________.【解析】 ∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝12AB →＋12BC →＋CC ′→， 又AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1. ∴2x －4y ＋6z ＝5. 【答案】 5 三、解答题9．已知在正四棱锥P -ABCD 中，O 为底面中心，底面边长和高都是2，E ，F 分别是侧棱P A ，PB 的中点，如图2-3-10，以O 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，OP 的指向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C ，D ，P ，E ，F 的坐标．图2-3-10【解】 设i ，j ，k 分别是x 轴，y 轴，z 轴的正方向方向相同的单位向量． (1)因为点B 在坐标平面xOy 内，且底面正方形的中心为O ，边长为2，所以OB →＝i ＋j ，所以向量OB →的坐标为(1,1,0)，即点B 的坐标为(1,1,0)． 同理可得A (1，－1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)． 又点P 在z 轴上，所以OP →＝2k .所以向量OP →的坐标为(0,0,2)，即点P 的坐标为(0,0,2)．因为F 为侧棱PB 的中点，所以OF →＝12(OB →＋OP →)＝12(i ＋j ＋2k )＝12i ＋12j ＋k ，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.同理点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.故所求各点的坐标分别为A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1，1,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.10．如图2-3-11，在空间四边形OABC 中，|OA |＝8，|AB |＝6，|AC |＝4，|BC |＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA →在BC →上的投影．【导学号：32550031】图2-3-11【解】 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴OA →在BC →上的投影为|OA →|·cos 〈OA →，BC →〉＝24－1625.[能力提升]1．设O -ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23【解析】 因为OG ＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＝34OA →＋14⎣⎡⎦⎤(OB →－OA →)＋(OC →－OA →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝14，y ＝14，z ＝14. 【答案】 A2．(2016·泰安高二检测)已知向量{a ，b ，c }是空间的一基底，向量{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，3【解析】 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则a ＋2b ＋3c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c∴⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝2z ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12z ＝3.【答案】 B3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋12OC →，则x ＝________.【解析】 由于M ∈平面ABC ，所以x ＋13＋12＝1，解得x ＝16.【答案】 164．如图2-3-12所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：图2-3-12(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 【解】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .。