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一例用“补形法”探求几何图形的面积奚喜兵 浙江省象山县鹤浦中学（315733）添加辅助线是解决平面几何问题的重要手段之一，也往往是解题的关键所在。
不少几何题如果从原图分析，会显得非常困难，如果将原图添补成一个特殊、完整的、简单的规则图形，问题就会迎刃而解。
现举一例说明用“补形法”探求几何图形的面积。
例题：如图1，两个正方形有一个公共顶点，小正方形的一边在大正方形的边上。
已知大、小正方形的边长分别为1a ，2a ，则ΔABC 的面积为 。
（用1a ，2a 的代数式表示）分析：这里所求的ΔABC 的面积并不能直接利用公式计算，所以转化为规则图形的面积相加、减来计算。
解：=∆ABC S )(21)(21212122122221a a a a a a a a +--++=2121a ； 说明：从解题中我们可以发现ΔABC 的面积与小正方形的边长大小2a 无关。
为了与以下的拓展、延伸两题的解法统一，介绍本题的“补形法”解答过程：将图形的右上角补上一个直角三角形，使整个图形成为矩形，如图2，这时所求的ΔABC 的面积可以用整个矩形的面积减去三个角落的直角三角形的面积，即=∆ABC S )(21)(2121)(21221221211a a a a a a a a a a --+--+=2121a 拓展：如图3，三个正方形连续紧靠着，它们的边长依次记为321,,a a a 。
则图中ΔABC 的面积为 。
（用1a ，2a ，3a 的代数式表示）分析：这里用类似于例题的第二种解法——“补形法”可以求出ΔABC的面积。
解： =∆ABC S )(3211a a a a ++2121a -)(213213a a a a ++-))((213132a a a a -+-21212121a a a += 说明：这里ΔABC 的面积与最小的小正方形的边长大小3a 无关。
图1 图2B为了描述下面的规律，将上面的答案写成21212121a a a +)(21211a a a += 从上述两个答案可以看出：所求的ΔABC 的面积只与前面的正方形边长有关，而与最小的小正方形的边长大小无关，进一步可以把拓展中所求的ΔABC 的面积看做是两条直角边分别为1a 与21a a +的直角三角形的面积。
巧补图形，解决立体几何问题【摘要】在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，有了好的方法，做起事情来也就事半功倍了。
培养学生总结方法，提炼方法的能力，也就是培养学生的学习能力。
【关键词】数学问题；巧补图形在立体几何当中有一类题型，直接在原图形上求解有一定的困难，如果变换思路，通过图形特征把图形补成相应的几何体，则可以使问题得到简化。
下面举例说明此类问题的解法。
例1、正四面体ABCD棱长为，求外接球体积和与四条侧棱都相切的球的体积。
解：ABCD为正四面体，将之补成正方体，如图所示。
可知正方体边长为1。
正四面体外接球即为正方体外接球。
半径为。
体积与正四面体各棱都相切的球为正方体内切球，半径为。
体积反思：这是最常见的一类补体问题，给出正四面体，很容易想到正四面体是正方体切割得到的，很多问题诸如长度，垂直关系等在正四面体中不易发现的量在正方体中都一目了然。
就本题而言，要在正四面体当中确定球的球心位置，求出半径均有很大的计算量，而且容易出错，将问题放到正方体中，一切都迎刃而解，节省了大量的时间和精力。
例2、如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形。
(1) 求证：AD⊥BC；(2) 求二面角B-AC-D的余弦值；(3) 在AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成300角？若存在，确定E 点位置。
解：依照题意，可将图形补成如图所示的正方体，相应顶点如图，（1）BC⊥QD，由三垂线定理逆定理得，AD⊥BC。
（2）作BO⊥MD，则BO⊥面ACD，做BF⊥AC，由三垂线定理∠BFO 即为二面角B-AC-D的平面角。
又BO=，OF=1tan∠BFO=（3）存在。
做EG⊥QC于G，连接DG，设EC=x，有EG=EG2+GD2=ED2ED=2EG，在三角形EGD中，由勾股定理得，x=1所以存在E点，EC=1反思：本题对学习者要求较高，补体有一定的技巧。
几何中的补形法南秀全有许多几何题，如果采用原来的图形去求解，有时显得十分繁难，但根据问题的已知条件及证题的需要，合理地将原来的图形填补成一个特殊的、简单的、完整的几何图形，使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，探求出问题的答案，这种方法称为补形法．补形法不仅能缩短从已知到未知的探求过程，起到化难为易、驭繁就简的作用，而且能培养学生丰富的想象能力. 因而，这种解题技巧在近几年来各地初中数学竞赛中广泛使用．为了使学生掌握这种技巧，下面作一些介绍，供参考．一、添补成特殊的三角形这种添补法就是将题目中的图形添补成正三角形、直角三角形等．例1 在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠C=90°，CD=2，CB=11，求AC的长．解：由于∠BAD=60°，故可将四边形ABCD 添补成一个正三角形AEF，且EF过点C，见图1则此例若将四边形ABCD添补成直角三角形，解法更简便．∵∠A=60°，∠B=90°，∴四边形ABCD可以看作是直角三角形的局部图形，于是延长AD与BC交于E，则可得Rt△ABE 且∠ABC=30°，∵EC=2DC=4，∴EB=15，（见图2）梯形可以看作是三角形的一部分，因此，有关梯形的问题经常是延长它的两腰补成三角形，以便运用三角形的有关知识去解决．例2 （1989年第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）如图3梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＞CD，K、M分别是腰AD、CB上的点，已知∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKB．此次竞赛是在1989年11月举行的，当时参赛学生并未学四点共圆的知识，因此利用补形法来证明比较多．证明：延长AD、BC相交于点P，则由∠PAM=∠PBK知△AMP又∵∠P公用，∴△PKC∽△PMD，∴∠PCK=∠PDM，又∵∠CBK=∠DAM，∴∠DMA=∠CKB．二、添补成特殊的四边形例3 在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2cm，CD=3cm，求△ABC的面积．这是一道常见的习题，但对于初中学生来说是有一定难度的，下面用补形法给出其巧妙的解法．作△ABD、△ACD关于AB、AC对称的△ABE、△ACH，延长EB、HC 交于F，易知四边形AEFH是正方形，且边长恰好是△ABC的高AD，设正方形的边长为x，则BF=x-2，CF=x-3，由勾股定理得（x-2）2＋（x-3）2=25，解之得x=6．例4 （1990年西安市初中数学竞赛题）在等腰△ABC的两腰AB、AC 上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2，求证：EF≥1．证明：将等腰△ABC以补成以BC为一边的矩形BCPQ，且使PQ经过点A，作AD⊥BC，D为垂足，AD交EF于M，双向延长EF，分别交BQ、CP于G、H，易知PC∥AD∥QB，且HM=MG，∴HF=ME，∴FM=HM-HF=MG-ME=EG，∴GH=2EF，又GH≥BC=2，∴2EF≥2，即EF≥1．例5 四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，求证∠AFB+∠ACB=45°．证明：如图6，在图的上方补画三个正方形，连结FM和AM，显见△AFH ≌△FMN，∠MAD=∠CAD．∴AF=FM，∠AFH=∠FMN，∴∠AFM=∠AFH+∠MFN=∠FMN＋∠MFN=90°，∴△AFM为等腰直角三形．∴∠AFB+∠ACB=∠FAD＋∠CAD=∠FAD+∠MAD=∠FAM=45°．三、添补成圆例6 一条长度一定的弦沿着半个圆周滑动，弦的两端在半圆直径上的射影及此弦的中点形成一个三角形的三个顶点，证明：这个三角形是等腰三角形并且其形状不会改变．分析：如图7，AB为半圆直径，XY表示长度一定的弦，M为中点，C、D 分别为X 、Y 在AB 上的射影，显然M 点在AB 上的射影必为CD 的中点，故△CMD 是等腰三角形，将原图补成一个整圆，延长XC 交圆于P ，连PY ，∵XY 为定弦，∴ ∠XPY 为定角，又XP ⊥AB ，C 为XP 的中点，∴ MC ∥PY ，∠XCM=∠XPY 为定角，故等腰△MCD 的底角不变，即形状不变．例7 （1984年天津市初中数学竞赛题）已知：如图8，AB=BC=CA=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，求证：△ABC 的面积＝BD AP 43。
补形法，正四面体的最佳解法甘志国(该文已发表 数学金刊(高考)，2011(3)：39)在求解正四面体的问题时，若把它放在正方体中，常常便于求解.下面以普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-1》)中的三道题来介绍这一技巧.例1 (《选修2-1》第111页练习第1题)如图1，空间四边形ABCD 的每条边和BD AC ,的长都等于a ，点N M ,分别是CD AB ,的中点，求证：CD MN AB MN ⊥⊥,.证明 易得正四面体ABCD ，把它放在正方体中(如图2)，则欲证结论显然成立(因为MN 垂直于图2中正方体的上下表面).图1 图2例2 (《选修2-1》第112页习题第5(1)题)如图3，空间四边形OABC 的各边以及BO AC ,的长都是1，点E D ,分别是边BC OA ,的中点，连结DE .(1)计算DE 的长；(2)求点O 到平面ABC 的距离.图3 图4解 易得正四面体OABC ，把它放在正方体中(如图4).(1)DE 的长即图4中正方体的棱长22. (2)我们在图4中求正四面体OABC 的体积V ：122222221314224423=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=--OAGB OAB G V V V V V 正方体正方体设点O 到平面ABC 的距离为h ，得︒⋅⋅⋅⋅===∆60sin 11213131122h S V ABC 36=h例3 (《选修2-1》第107-108页例3)如图5，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力F 1, F 2, F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是︒60，且|F 1|=|F 2|=|F 3|=200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小都为多少时，才能提起这块钢板？图5 图6 图 7《选修2-1》是按图6建立空间直角坐标系来求解的，确实运算量很大，思维量也不小，而下面的解法却很简洁.解 易知图5中的三个力F 1, F 2, F 3必交于一点(设为点F )，且有正四面体FABC ，可不妨设该正四面体的棱长为)0(2>a a .我们把正四面体FABC 放在图 7中的棱长为a 的正方体中，并按图7建立空间直角坐标系，得),0,0(),,,(),0,,0(),0,0,(a C a a a B a A a F),0,(),,,0(),0,,(a a a a a a -=--=-=a 2===及图5中的F 1, F 2, F 3满足|F 1|=|F 2|=|F 3|=200，得F 1),0(2200a a a -=，, F 2),0(2200a a a --=，, F 3),0(2200a a a -=， F 1+ F 2+F 3)1,1,1(2200)2a ,22(2200--=--=a a a ，|F 1+ F 2+F 3|6200= 因为5006200<，所以这块钢板在这些力的作用下将会静止不动.设|F 1|=|F 2|=|F 3|=x ，则可得F 1+ F 2+F 3)1,1,1(2)2,22(2--=--=x a a a a x，|F 1+ F 2+F 3|6x = 当且仅当5006>x 即63250>x 时，才能提起这块钢板.(请注意：原问题“这三个力最小都为多少时，才能提起这块钢板”是无法回答的，建议把此问改为“这三个大小相等的力满足怎样的条件才能提起这块钢板”.)例4 (2013年高考课标全国卷II 卷理科第7题也即文科第9题)一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解 A.由图8可求解(先把这个正四面体放置在正方体中)：图8本文介绍的技巧“把正四面体放在正方体中”实际上就是一种补形法，在立体几何中还有很多用补形法简洁解题的例子，比如把直角四面体(该四面体从一点出发的三条棱两两垂直)补成长方体，请读者留意.。
辅助线（补形法）一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。
证：3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。
分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
解：图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。
证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。
证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H 不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。
班级________ 姓名__________ 分数_______一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。
3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。
分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，使AE ＝BD ， 连结CE 、ED 。
证明：EC ＝ED分析：要证明EC ＝ED ，通常要证∠ECD ＝∠EDC ，但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD 到F ，使BF ＝BE ，连结EF 。
证：二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分。
有关几何体外接球的半径问题是各类试题中经常出现的题目.此类问题重点考查同学们的空间想象能力和抽象思维能力，也是很多同学感到头疼的问题.这里介绍两种求几何体外接球半径的方法，以帮助同学们拓展解答该类问题的思路.一、补形法所谓补形法，即把几何体补形成规则的、简单的几何体，利用新几何体的性质和边角关系求得几何体外接球的半径的方法.在求几何体外接球的半径时，常将几何体补形为长方体、正棱柱等，使其顶点与原几何体的若干个顶点重合，这样，两个几何体的外接球半径就会相等，求得新几何体的半径，便可求得原几何体的半径.例1.已知在四面体P -ABC 中，PA =PB =4,PC=2,AC =25，PB ⊥平面PAC ，则四面体P -ABC 外接球的半径为____.解：由PA =4，PC =2,AC =25可得PA 2+PC 2=AC 2,即PA ⊥PC∵PB ⊥平面PAC ，PA 、PC ⊂平面PAC ,∴PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,如图1，以PA 、PB 、PC 为长、宽、高作长方体，则该长方体的外接球就是四面体P -ABC 的外接球，∵该长方体的对角线为42+42+22=6，∴该四面体P -ABC 外接球的半径3.若已知三个平面两两垂直或能根据条件推断出三个平面两两垂直，可运用补形法，将其补形为长方体，利用长方体的对角线求几何体外接球的半径.运用补形法求几何体外接球的半径较为便捷，能有效降低问题的难度、简化计算的过程.二、转化法转化法是将复杂的立体几何外接球的半径问题转化为简单的平面几何问题来求解的方法.在求几何体外接球的半径时，可根据几何体的特点添加适当的辅助线，构造出三角形，利用正、余弦定理、勾股定理等平面几何知识求出几何体外接球的半径.例2.如图2，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =4,AC =6,角A 为π3，AA 1=4，则直三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的半径为____.解：设O 1、O 2分别是△ABC 和△A 1B 1C 1外接圆的圆心，由直三棱柱的性质可知ABC -A 1B 1C 1外接球的球心O 是O 1O 2连线的中点，连接O 1A 、OA ，在△ABC 中，AB =4,AC =6,A =π3，∴BC 2=AC 2+AB 2-2AB ×AC cos A=42+62-2×4×6cos π3=27，∵O 1是△ABC ∴BC sin A =2O 1A ，即O1A π3，在Rt△OO 1A 中，OO 1=12O 1O 2=12AA 1=2,O 1A =，∴OA =OO 12+O 1A 2=,即直三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的半径为.这里首先添加辅助线，构造Rt△OO 1A ，根据直三棱柱的性质将求几何体外接球的半径问题转化为求Rt△OO 1A 中OA 的长，利用正余弦定理以及勾股定理求得直三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的半径.相比较而言，补形法较为简单、直接，但同学们在解题时要注意联想、类比，才能顺利将几何体补形；转化法较为复杂，但是一种常用的方法.同学们只有熟练掌握这两种求几何体外接球半径的方法，才能有效地提升解题的效率.（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学）李甲银图1图246。
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。
掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。
下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。
一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。
例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。
设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。
解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。
＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。
对于正三棱锥，球心通常在高线上。
设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。
