八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形整合与提升作业课件(新版)沪科版

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3、在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。
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4、一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。
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5、从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。
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6、这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗。
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7、一个最困苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。
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13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。
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14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。
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15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。
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16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。
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17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。
底边。简称“三线合一”。
由上图可知：△ ABC 中，AB＝AC。
① 若BAD＝CAD，则BD＝CD，ADBC； ② 若BD＝CD，则BAD＝CAD，ADBC； ③ 若ADBC，则BAD＝CAD，BD＝CD。
试一下 如图是某屋顶框架的示意图，其中，
AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120º，BC＝
中，∠BAC＝120º，点 D ，E 是底
边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE。
求∠DAE 的度数。
解：∵ BAC＝120º（已知）
A
BAC＋B＋C＝180º
（三角形内角和定理） B＋C＝180º－120º＝B60º D
E
C
∵ BD＝AD，CE＝AE（已知）
BAD＝B，CAE＝C
C
OAB＝OAC
（全等三角形的对应边相等）

5.等腰三角形的特征和识别
例5 已知：如图，△ABC中，∠ACB为锐角且平分线 交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平 分线于点G.试判断△EFC的形状，并说明你的理由.
【解】△EFC为等腰三角形， 证明：∵CE平分∠ACB, ∴∠BCE=∠ACE, ∵EF∥BC, ∴∠FEC=∠BCE, ∠FEC=∠ACE(等量代换)， ∴△EFC为等腰三角形
本章复习
知识框图，整体把握
做轴对称图形的对称轴
轴对称 做轴对称图形
用坐标表示轴对称
等腰三角形 等边三角形
性质和判定
1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
例1 (1)下列几何图形中，①线段②角③直角三角形
④半圆，其中一定是轴对称图形的有（ C ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
典例精讲
(2)图中，轴对称图形的个数是（ A ）
6.等边三角形的特征和识别
例6：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上 的 点 ， FE ⊥ BC,DF ⊥ AC,ED ⊥ AB, 垂 足 分 别 为 点 E,F,D,求证：△DEF为等边三角形.
【解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∵DF⊥AC, ∴∠DFA=90°, ∴∠ADF=30°, ∵ED⊥AB, ∴∠BDE=90°, ∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°. 同理可得：∠DFE=60°,∠DEF=60°, ∴△DEF为等边三角形.
4.线段垂直平分线的性质
例4如图，在△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC的 平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.
【解】∵在△ABC中，BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∵DE⊥BC,且E是BC的中点，∴BE=CE, ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠C, ∴∠ABD=∠CBD=∠C, ∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°, ∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.

解：∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11， ∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋BC＝8＋11＝19.
5．【芜湖镜湖区统考】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， F是BC边上任意一点，过点F作FD⊥AB于D，作 FE⊥AC于E，若S△ABC＝10，则FE＋FD＝( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
9．【2021·蚌埠期末】如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC， 点E，F在直线BC上，且BE＝CF.
(1)求证：AF＝DE； 证明：∵BE＝CF，∴BE＋BC＝CF＋BC，即CE＝BF. 在Rt△ABF与Rt△DCE中， BF＝CE AB＝DC， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴AF＝DE.
2．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？ 如果是，请画出其对称轴．
【点拨】判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、 应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿 一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条 直线成轴对称，否则不成轴对称．
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④ 中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对 称的两个图形的对称轴如图所示．
(1)求∠BAD的度数；
解：∵∠BAC＝62°，∠B＝78°， ∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－62°－78°＝40°， ∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝62°－40°＝22°.
(2)若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
(1)△ABC是等腰三角形吗？请说明理由；
解：△ABC是等腰三角形． 理由：∵ED⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE＝90°， ∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CFD中， BD＝CF BE＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．

当堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B )
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另 外两个角为_7_5_°_ , 30_°_； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外 两个角为_7_2_°__,7_2_°__或__3_6_°__,_1_0_8_°_； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外 两个角为_30_°__，30_°_.
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出
其中重合的线段和角.
等腰三角形是轴对称图形.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
∠BAD 与∠CAD
AD与AD
∠ADB 与∠ADC
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
√
典例精析
例4 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证： AF⊥BC.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

(2)沿对 称轴对 折
(3)将纸翻 （4)沿着轮 转，可见原 廓线描出图 半个图的轮 形的另一半 廓
（5)将纸展开， 可以看到一片 具有对称性的 枫叶
知1－练
1 指出下列图形各有几条对称轴，画出每个图的对称轴.
图形代
⑥
⑦
知1－练
天津)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形， 2 (中考· 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
第15章
轴对称图形与等腰三角形
15.1
轴对称图形
第1课时
轴对称
1
课堂讲解
轴对称图形
轴对称 线段的垂直平分线与轴对称及轴对
2
课时流程
逐点 导讲练
称图形的性质
课堂 小结
作业 提升
现实世界中，许多物体具有对称性，如气势恢宏的天 安门的正面图，显示出和谐、庄重的对称美.
知1－导
知识点
1 轴对称图形
知1－讲
例2
如图1所示，判断下列图形是否为轴对称图形．如果是， 指出它的对称轴．
图1
导引：按照轴对称图形的定义，只要能够找到一条直线，使图形 沿这条直线折叠之后直线两旁的部分重合在一起，这个图 形就是轴对称图形．同时，该直线即为它的对称轴．注意 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也许有两条或 多条．
3 如图，其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为(
)
A．13
B．11
C．10
D． 8
知1－练
4 （山东泰安）如图，下列四个图形，其中是轴对称 图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
知2－导
知识点
观察

八年级 数学 上册 沪科版
(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
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八年级 数学 上册 沪科版
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
第 21 页
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考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m， 为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
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证明：连接 AP， 在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP， 又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
第 15 页
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
第 18 页
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14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.

∴∠B=∠C=600.
∴AB=AC=BC.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=600. 求证：AB=AC=BC. 证明：在△ABC中, ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.（等边对等角） ∵∠B=600, ∴∠C=600, ∴∠A=600. ∴AB=AC=BC.
A
B
C
底角等于60°
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么 它所对的直角边等于斜边的一半.
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C,(已知)
∴ AC=AB.
(等角对等边)
B
你能证明 这一结论 吗？ A
C
已知：在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
A
证明：作∠BAC的平分线AD.
12
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD，
B
D
C
∴△BAD≌△CAD.（AAS）
基础练习： 3.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. A
求证：AB=AD.
B
证明：∵AD∥BC ,（已知）
∴∠ADB=∠DBC.（两直线平行，内错角相等）
又∵BD平分∠ABC.（已知）
∴ ∠ABD=∠DBC.（角平分线定理）
∴∠ABD=∠ADB.（等量代换）
∴AB=AD.（等角对等边）
D C
可以找出∠B与∠C的关系.
B
C
基础练习： 2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
E
证明：∵AD∥BC，
A1
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
2
D
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）.