2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版

2014年全国高考试题独家解析(新课标卷Ⅰ)理科数学第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=( )A ．[-2，-1]B ．[-1，1]C ．[-1，2)D ．[1，2)2．〖2014新课标卷Ⅰ〗32(1)(1)i i +-=( )A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --3．〖2014新课标卷Ⅰ〗设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数4．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m5．〖2014新课标卷Ⅰ〗4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．18B ．38C ．58D ．786．〖2014新课标卷Ⅰ〗如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为( )7．〖2014新课标卷Ⅰ〗执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1588．〖2014新课标卷Ⅰ〗设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=9．〖2014新课标卷Ⅰ〗不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+-≥，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥，3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+-≤．其中真命题是( ) A ．2p ，3p B ．1p ，4p C ．1p ，2p D ．1p ，3p10．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =( ) A ．72B ．52C ．3D ．211．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，+∞) B ．(1，+∞) C ．(-∞，-2) D ．(-∞，-1)12．〖2014新课标卷Ⅰ〗如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( )A ．62B ．6C ．42D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作答．第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分． 13．〖2014新课标卷Ⅰ〗8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为____．(用数字填写答案)14．〖2014新课标卷Ⅰ〗甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为____．15．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为____．16．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为____．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分) 已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；(Ⅱ)是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．18．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分) 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组数据用该区间的中点值作代表)； (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ． (i )利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z<<；(ii )某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i )的结果，求EX ． 附：150≈12.2． 若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．19．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．(Ⅰ)证明：1AC AB =；(Ⅱ)若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．20．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．21．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ； (Ⅱ)证明：()1f x >．请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB =CE(Ⅰ)证明：∠D =∠E ；(Ⅱ)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB =MC ，证明：△ADE 为等边三角形．23．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ)求33ab +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． Word 转Ppu QQ ：475529093。

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(新课标I 理科)第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) B ．[－1，1] D ．[1，2)2． （1＋i ）3（1－i ）2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m5． 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.786．、如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )图1-1 A BC D 7．执行如图1-2所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )图1-2 A.203 B. .72 C 165 D.1588．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π29．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 310． 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2 11．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 12．如图1-3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )图1-3A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13． (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A － sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 18．(本小题满分12分) 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图1-4所示的频率分布直方图：图1-4(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.(i)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则p (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6， p (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. 19．(本小题满分12分)如图1-5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .图1-5(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1 ­C 1的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 21．(本小题满分12分) 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图1-6，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图1-6(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.。

2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+【答案】A 【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=9.2A -.0B C.3 D. 152【答案】C 【解析】.∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是。

A ．12s >B.1224abc ≤≤ 35s >C. 710s >D.45s > 【答案】C【解析】.∴10787981091C S 选=•••=6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B.35C.49D.3【答案】B 【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3 【答案】B【解析】解析完成时间2014-6-12qq373780592..120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 222212122333222212122333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：先排歌舞有=+10.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =( ）(A ）∅ （B ）{2} （C){5} (D){2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +="的（ ）(A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 (C ）充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时,22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=,则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图(单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ） （A ）902cm （B)1292cm （C ）1322cm （D)1382cm【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为:1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像,可以将函数2cos3y x =的图像（ )（A ）向右平移4π个单位 (B ）向左平移4π个单位 (C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+,即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=( ） （A ）45 （B ）60 （C)120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用,考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6,5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ) （A ）3c ≤ (B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩,所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（ )（A ） （B ） (C ） （D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >,不符合;答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<,符合,故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8,5分】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量,则（ ）（A)min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ,由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+, （或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+),故选D ．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a ，b ,a b +，a b -放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点,有时“排除法"，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9)【2014年浙江，理9,5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）（A)1212,()()p p E E ξξ><(B)1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一:11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-, ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∵1(1)n P m n ξ==+,1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++,又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-,11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-,222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++- 21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ．解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法,不妨令3m n ==,也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-,31()|sin 2|3f x x π=,99i i a =，0,1,2i =，,99，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C)132I I I << (D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==,由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故选B ． 解法二：估算法:k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增,此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ,同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）【2014年浙江,理11，5分】若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==;第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==;第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）【2014年浙江，理12,5分】随机变量ξ的取值为0,1，2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=,则()D ξ= ．【答案】25 【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ,解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．(13)【2014年浙江，理13,5分】当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是__．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图,由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩,得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法，是中档题．（14)【2014年浙江，理14，5分】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券,共有223436C A =, 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =,因此不同的获奖情况共有362460+=种． 解法二:ξ 0 1 2 P 15p 115p -- ξ 0 1 2P 15 35 15将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法,其中三张奖券都分给一个人的有4种分法, 因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15，5分】设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．(16)【2014年浙江，理16，5分】设直线30x y m -+=（0m ≠） 与双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是 ．【答案】52【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a =-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++,设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 与已知直线垂直，∴1PQ lk k =-,即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以52c e a ==．解法二:不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ,由韦达定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =,所以22215144c a b =+=+=,所以52c =，得52c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． (17)【2014年浙江，理17,5分】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =,30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．【答案】539【解析】解法一：∵15cm AB =，25cm AC =,90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，1︒当P 在线段BC 上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-，（020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-． 在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+，令220225xy x -=+,则函数在[]0,20x ∈单调递减,∴0x =时,tan θ取得最大值为232002034334592250-==+ 2︒当P 在线段CB 的延长线上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=, 则20CP x '=+，(0x >)由30BCM ∠=︒,得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+，在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+，∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+， 令220225x y x +=+，则2222520'(225x )225xy x -=++，∴当225450204x <<=时'0y >;当454x >时'0y <， 所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+，此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=， 综合1︒,2︒可知tan θ取得最大值为539． 解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒,∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤),'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ，所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x x θ--===++， 设2320(x)tan 3225x f x θ-==+（20x ≤),22322520'(x)3(225)225xf x x +=-++，所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <,所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+,所以tan θ取得最大值为539． 解法三： 分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ， 过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成 的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠,在Rt ABC ∆中,由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===，203tan303DB BC =︒=， 所以max 203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18,14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1)求角C 的大小;（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积． 解:（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-, sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ,得22B 66A πππ-+-=, 即23A B π+=，所以3C π=．（2)3c =,4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =,由a c < 得A C <，从而3cos 5A =， 故sin sin()B AC =+=433sinAcosC cosAsinC 10++=,所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19)【2014年浙江，理19，14分】已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 与n b ;（2）设11(*)n n n c n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ;（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∵123(2)(*)n b n a a a a n N =∈ ①，当2n ≥，*n N ∈时,11231(2)n b n a a a a --=②，由①÷②知：当2n ≥时,1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=，∵326b b =+，∴38a =．∵{}n a 为等比数列，且12a =，∴{}n a 的公比为q ,则2324aq a ==，由题意知0n a >，∴0q >，∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=,即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）． （2）（ⅰ）∵1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++=2111111111()()()21222321n n n --+--++--+ =21111(1)2221n n +++--+ =111121n n --++=1112n n -+． (ⅱ)因为10c =,20c >,30c >,40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+，而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<， 所以，当5n ≥时，0n c <,综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20，15分】如图,在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ； (2）求二面角B AD E --的大小．解:（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==,2CD =，得2BD BC ==,由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ,从而AC ⊥平面BCDE ， 所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥,从而DE ⊥平面ACD ． （2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ,与AB 交于点G ，连接BG ， 由(1)知DE AD ⊥,则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角， 在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ， 得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中,由2DC =，2AC =，得6AD =；在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =，得233BF =，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中,2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==，所以,6BFG π∠=,即二面角B AD E --的大小为6π． 解法二:以D 的原点,分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图 所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ． 设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =, 可算得：(0,2,2)AD =--，(1,2,2)AE =--，(1,1,0)DB =，由0m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，可取(0,1,2)m =-，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,1,2)n =-，于是||33|cos ,|2||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识,同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）【2014年浙江,理21，15分】如图，设椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -． 解:(1)解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=,由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=,即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a k b a k-++． 解法二:''1P l k =-,得222,b b a k （2几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．(22)【2014年浙江,理22，14分】已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -; (2）设若()24f x b +≤⎡⎤对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（（2。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={|2﹣2﹣3≥0}，B={|﹣2≤＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C 的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为的函数f（），则y=f（）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α=，则（ ）A ．3α﹣β=B ．3α+β=C ．2α﹣β=D ．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（，y ）∈D ，+2y ≥﹣2 p 2：∃（，y ）∈D ，+2y ≥2 p 3：∀（，y ）∈D ，+2y ≤3 p 4：∃（，y ）∈D ，+2y ≤﹣1 其中真命题是（ ）A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 310．（5分）已知抛物线C ：y 2=8的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）A ．B ．3C ．D ．2 11．（5分）已知函数f （）=a 3﹣32+1，若f （）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．6B ．6C ．4D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（﹣y ）（+y ）8的展开式中2y 7的系数为 ．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为 ．16．（5分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2．（i ）利用该正态分布，求P （187.8＜＜212.2）；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求E ． 附：≈12.2．若～N （μ，σ2）则P （μ﹣σ＜＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（）=aeln+，曲线y=f（）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC 的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE 为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={|2﹣2﹣3≥0}，B={|﹣2≤＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（﹣3）（+1）≥0，解得：≥3或≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（）是奇函数，g（）是偶函数，∴f（﹣）=﹣f（），g（﹣）=g（），f（﹣）•g（﹣）=﹣f（）•g（），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣）|•g（﹣）=|f（）|•g（）为偶函数，故B错误，f（﹣）•|g（﹣）|=﹣f（）•|g（）|是奇函数，故C正确．|f（﹣）•g（﹣）|=|f（）•g（）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C 的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为的函数f（），则y=f（）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=，则OM=|cos|，∴点M到直线OP的距离表示为的函数f（）=OM|sin|=|cos|•|sin|=|sin2|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀（，y ）∈D ，+2y ≥﹣2 p 2：∃（，y ）∈D ，+2y ≥2 p 3：∀（，y ）∈D ，+2y ≤3 p 4：∃（，y ）∈D ，+2y ≤﹣1 其中真命题是（ ）A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3 【分析】作出不等式组的表示的区域D ，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D 为直线+y=1与﹣2y=4相交的上部角型区域，p 1：区域D 在+2y ≥﹣2 区域的上方，故：∀（，y ）∈D ，+2y ≥﹣2成立； p 2：在直线+2y=2的右上方和区域D 重叠的区域内，∃（，y ）∈D ，+2y ≥2，故p 2：∃（，y ）∈D ，+2y ≥2正确；p 3：由图知，区域D 有部分在直线+2y=3的上方，因此p 3：∀（，y ）∈D ，+2y ≤3错误；p 4：+2y ≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D 下方，故p 4：∃（，y ）∈D ，+2y ≤﹣1错误； 综上所述，p 1、p 2正确； 故选：C ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C ：y 2=8的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）A ．B ．3C ．D ．2【分析】求得直线PF 的方程，与y 2=8联立可得=1，利用|QF|=d 可求． 【解答】解：设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ，∵=4，∴|PQ|=3d ，∴不妨设直线PF 的斜率为﹣=﹣2，∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（﹣2），与y 2=8联立可得=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f （）=a 3﹣32+1，若f （）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2） 【分析】由题意可得f ′（）=3a 2﹣6=3（a ﹣2），f （0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f （）=a 3﹣32+1， ∴f ′（）=3a 2﹣6=3（a ﹣2），f （0）=1；①当a=0时，f （）=﹣32+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（）=a3﹣32+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（）=a3﹣32+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（）=a3﹣32+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当=时，f（）=a3﹣32+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6 C．4 D．4【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（﹣y）（+y）8的展开式中2y7的系数为﹣20 ．（用数字填写答案）【分析】由题意依次求出（+y）8中y7，2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（+y）8的展开式中，含y7的系数是：8．含2y6的系数是28，∴（﹣y）（+y）8的展开式中2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A ．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B 中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC 面积，而b 2+c 2﹣a 2=bc ⇒b 2+c 2﹣bc=a 2 ⇒b 2+c 2﹣bc=4 ⇒bc ≤4 所以：，即△ABC 面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n ﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ．可得λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n ）=2d ，．得到λS n =，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n ﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1， ∴a n+1（a n+2﹣a n ）=λa n+1 ∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n =λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n }为等差数列，设公差为d ． 则a n+2﹣a n =0，∴2d=0，解得d=0， ∴a n =a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n }不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ． 则λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n ）=2d ， ∴．∴，， ∴λS n =1+=，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n =2n ﹣1．因此存在λ=4，使得{a n }为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求E．附：≈12.2．若～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜＜μ+2σ）=0.9544．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知～N（200，150），从而求出P（187.8＜＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知～B（100，0.6826），运用E=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知～N（200，150），从而P（187.8＜＜212.2）=P（200﹣12.2＜＜200+12.2）=0.6826；（ii ）由（i ）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826， 依题意知～B （100，0.6826），所以E=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．【分析】（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，可证B 1C ⊥平面ABO ，可得B 1C ⊥AO ，B 10=CO ，进而可得AC=AB 1； （2）以O 为坐标原点，的方向为轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 10=CO ，∴AC=AB 1，（2）∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ，∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O 为坐标原点，的方向为轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ， ∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，，0） ∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（，y ，）是平面AA 1B 1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a 、c 关系，通过A 求出a ，即可求E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=﹣2，设P （1，y 1），Q （2，y 2）将y=﹣2代入，利用△＞0，求出的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ 的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得，所以a=2b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l ⊥轴不合题意，故设直线l ：y=﹣2，设P （1，y 1），Q （2，y 2） 将y=﹣2代入，得（1+42）2﹣16+12=0，当△=16（42﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=﹣2或y=﹣﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f （）=aeln+，曲线y=f （）在点（1，f （1））处得切线方程为y=e （﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）＞1等价于ln＞e﹣﹣，设函数g（）=ln，函数h（）=，只需证明g（）min ＞h（）ma，利用导数可分别求得g（）min，h（）ma；【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），f′（）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）=eln+，∵f（）＞1，∴eln+＞1，∴ln＞﹣，∴f（）＞1等价于ln＞e﹣﹣，设函数g（）=ln，则g′（）=1+ln，∴当∈（0，）时，g′（）＜0；当∈（，+∞）时，g′（）＞0．故g（）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（）=e﹣﹣，则h′（）=e﹣（1﹣）．∴当∈（0，1）时，h′（）＞0；当∈（1，+∞）时，h′（）＜0，故h（）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当＞0时，g（）＞h（），即f（）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC 的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE 为等边三角形．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=﹣2，代入②并整理得：2+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A I （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[2．=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --13．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C【解析】试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．【考点定位】函数的奇偶性．4．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 3 C. m 3 D. m 35．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A ．81B ．83C ．85D ．876．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】C 【解析】7．执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=（ ） A.320 B.27 C.516 D.815【答案】D【解析】试题分析：程序在执行过程中，1,2,3a b k ===，1n =；1331,2,b ,2222M a n =+====； 28382,,b ,33323M a n =+====；3315815,,b ,428838M a n =+====，程序结束，输出158M =． 【考点定位】程序框图．8．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+= （C ）22παβ-= （D ）22παβ+=【答案】C【解析】9.不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题： 1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ）A. 27B. 3C. 25 D. 2 【答案】B【答案】C【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 有两个零点33和33-，不满足题意，舍去；当0a >时，'2()36f x ax x =-，令'()0f x =，得0x =或2x a =．(,0)x ∈-∞时，'()0f x >；2(0,)x a∈时，'()0f x <；2(,)x a∈+∞时，'()0f x >，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a ∈-∞时，'()0f x <；2(,0)x a ∈时，'()0f x >；(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ． 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）62 （B ）6 （C ）62 （D ）44CA BD【考点定位】三视图．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20-【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为8k k 18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．【考点定位】二项式定理．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【解析】试题分析：由2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，故(a b)(sinA sinB)(c b)sinC +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 32BAC ∆=≤． 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.所以21n a n =-，12n n a a +-=． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列． （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .附：15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。

2014高考真题•全国新课标卷I (理科数学)1. [2014高考真题 新课标全国卷I ]已知集合A = {x|x 2— 2x — 3> 0} , B ={x|— 2< x<2}，则A A B =()A . [ — 2,— 1]B . [ — 1, 2) B . [ — 1, 1] D . [1 , 2)1. A [解析]集合 A = (— a, — 1] U [3 ,+s )，所以 A A B = [ — 2,— 1].亠 亠、一 、(1 + i ) 32.[2014咼考真题 新课标全国卷I ]( 1 — i )~2 =()A . 1 + iB . 1 — iC . — 1 + iD .— 1 — i(1+ i ) 3(1+ i ) 2 (1 + i ) 2i (1+ i ) .2. D [解析](1 — i ) 2 = ( 1 ― " 2 = —2 — = - 1 —i.3.[2014高考真题 新课标全国卷I ]设函数f(x), g(x)的定义域都为 R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则 下列结论中正确的是( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数3 . C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为 C.4 . [2014高考真题 新课标全国卷I ]已知F 为双曲线C ： x 2— my 2= 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为()A. 3 B . 3 C. . 3m D . 3m4 . A [解析]双曲线的一条渐近线的方程为 x + . my = 0•根据双曲线方程得 a 2 = 3m, b 2 = 3,所以c = 3m + 3, 双曲线的右焦点坐标为(p 3m + 3, 0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为M ；m+ 3=看.\1 + m5 . [2014高考真题 新课标全国卷I ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率为( )1 3 A ・8 B.824= 16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本6.、[2014高考真题 新课标全国卷I ]如图11,圆O 的半径为1 , A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x5 C.8 7 D.878.5 . D [解析]每位同学有2种选法，基本事件的总数为事件有 的函数f(x)，贝U y = f(x)在［0 ,4'7. D ［解析］逐次计算，依次可得：M = 3, a = 2, b = 2, n = 2; M = 3, a = |, b = 8 n = 3; M = 15 15 b =三，n = 4.此时输出M ，故输出的是三.8 8713 a + B= 2n2 a + B = ~2n Bna= —+B 即卩2 a — B=孑•6. C ［解析］根据三角函数的定义，点 1 M(cos x , 0), △ OPM 的面积为qlsin xcos x|,在直角三角形 OPM 中,根据等积关系1 %f(x)= |sin xcos x|= 2|sin 2x|,且当x=q 时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项 C 中的图像.7.［2014新课标全国卷I ］执行如图12所示的程序框图，若输入的a ,b , k 分别为1, 2, 3，则20 16 7代亍B.?15 D.yCSS jb^M| rtwi+1 | ---158，8. ［2014高考真题 新课标全国卷I ］设妖0, n , -€ 0,n LT，且 tan a2，则(cos -718. C ［解析］tanacos -cos 2 + sin--cos 》—si n 》 cos 》+ sin-^2B . 2 B cos 2 —sin 21 + tan2 ------- =tan +B ■1 — tan"27t因为B € 0，专，所以"4 + — € 7ttan a=tan 4 + B ，所以/ A /图12X | y > 19.、［2014高考真题•新课标全国卷I ］不等式组｛ -'的解集记为D ,有下面四个命题:X — 2y W 4p i ： ? (x , y)€ D , x + 2y >— 2, p 2： ? (x , y) € D , x + 2y > 2, P 3： ? (x , y) € D , x + 2y w 3, P 4： ? (x , y) € D , x + 2y w — 1. 其中的真命题是( )A . P 2, p 3B . p i , p 2C . p i , P 4D . p i , P 39. B ［解析］不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 z = x + 2y ,根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2, — 1)处取得最小值，且 Z min = 2 — 2= 0,即x + 2y 的取值范围是［0,+^ )，故命题p i , P 2为真，命题p 3, p 4为假.线PF 与C 的一个交点.若= 4,则QF =()A.7 B . 3 C.| D . 210 . B ［解析］由题知 F(2, 0)，设 P(— 2, t), Q(X 0, y °)，则 FP = (— 4, t), = (X 0— 2, y °),由 FP = 4FQ , 得一 4= 4(X 0— 2)，解得X 0= 1,根据抛物线定义得|QF|= x °+ 2 = 3.11. ［2014高考真题 新课标全国卷I ］已知函数f(x)= ax 3— 3x 2 + 1，若f(x)存在唯一的零点 x °,且x °>0，则a 的取值范围是( ) A . (2 ,+^ ) B . (1 ,+^) C . ( —a, — 2) D . (— a, — 1)11. C ［解析］当a = 0时，f(x)=— 3x 2 + 1，存在两个零点，不符合题意，故 0.2 2 由 f' x) = 3ax 2— 6x = 0，得 x = 0 或 x = ~. a若a>0 ,则f(x)极大值=f(0)= 1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意. 综上可知，实数 a 的取值范围为(一a, — 2).12 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］如图13,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()'X、Q 是直若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0,且f(x)2 厂 x =-，且 f(x)a极小值=此时只需宁>0， 即可解得 a<—2;10 . ［2014高考真题 F ，准线为I , P 是I 上一点,图13A . 6 .2B . 6C . 4 2D . 412 . B ［解析］该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥 E CC i D i (其中E 为BB i 的中点)，其中最长的棱为 D i E=-J ( 4 2) 2+ 22= 6.］(x — y)(x + y)8的展开式中x 2y 7的系数为 __________ .(用数字填写答案) xy 7的系数为C 7= 8, x 2y 6的系数为C 6 = 28，故(x — y)(x + y)8的展开式中14 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 __________14 . A ［解析］由于甲没有去过 B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市， 故三人去过的城市为A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市.115 . ［2014高考真题新课标全国卷I ］已知A , B , C 为圆0上的三点，若=2(+ )，则与的夹角为 _______________16 . ［2014高考真题 新课标全国卷I ］已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A , B , C 的对边，a = 2,且(2+ b) (sin A — sin B)= (c — b)sin 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ）A ．]1,2[--B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[2．=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --13．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数4．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A.3 B. 3 C. m 3 D. m 35．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．81 B ．83 C ．85 D ．876．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=（ ） A.320 B.27 C.516 D.8158．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=9.不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）62 （B ）6 （C ）62 （D ）4第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ １５．已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()+=21，则与AC 的夹角为_______． 16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈ 若()2~,Z Nμσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。