最新人教版高中数学必修4第三章《二倍角的正弦、余弦、正切公式》自我小测

第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．已知sinα–cosα=43，则sin2α=A．–79B．–29C．29D．79【答案】A【解析】将sinα–cosα=43的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=169，即sin2α=–79．2．（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=A．12B2C．32D．1【答案】C【解析】因为sin75°=sin（90°–15°）=cos15°，cos75°=cos（90°–15°）=sin15°，所以（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=（cos15°–sin15°）（cos15°+sin15°）=cos215°–sin215°=cos30°3C．3．cos2π182的值为A．1 B．1 2C．22D．24【答案】D【解析】2π1cos 82-=π1cos1422+-=1πcos 24⋅D ．4．已知2θ是第四象限角，且cos 2θsin θ的值为A ．BC ．D【答案】D 【解析】∵2θ是第四象限角，且cos 2θsin 2θ=因此，sin θ=2sin2θcos 2θ=2×（×（）， ∵x ≤–1，∴sin θ．故选D ． 5．已知cos （π4θ+）•cos （π4θ-）θ∈（3π4，π），则sin θ+cos θ的值是 A．2 B ．–2C．2D．2【答案】C 【解析】ππcos cos 44θθ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππsin cos 44θθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1πsin 222θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos22θ=，∴cos22θ=．∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3π22π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，∴1sin22θ=-． ∴211(sin cos )1sin2122θθθ+=+=-=，∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴sin θ+cos θ<0．∴sin cos 2θθ+=-．故选C ．6．已知θA ．sin 4θB ．cos4θ C ．–sin 4θD ．cos 4θ-【答案】A【解析】根据θ为第三象限角，得到θ∈（2k π+π，2k π+3π2）， 则2θ∈（k π+π2，k π+3π4），4θ∈（π2k +π4，π2k +3π8），所以cos 2θ<0，sin 4θ>0， 则原式4θ|=sin 4θ．故选A ． 7．已知α∈（π2，π），sin α=5tan2α等于A ．–43 B ．–47 C ．–34D ．–35【答案】A 【解析】∵α∈（π2，π），sin αcos α==，∴tan α=–12，∴tan2α=22tan 1tan αα-=212211()2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–43．故选A ．8．函数y =8sin x cos x cos2x 的周期为T ，最大值为A ，则 A ．T =π，A =4 B ．π42T A ==，C ．T =π，A =2D ．π22T A ==，【答案】D【解析】由于函数y =8sin x cos x cos2x =4sin2x •cos2x =2sin4x 的周期为T ，∴T =2π4=π2，且函数的最大值为A =2，故选D ．9．函数f （x ）=2cos x +cos2x （x ∈R ）的最小值是A ．–3B ．–32 C ．–1 D ．12【答案】B【解析】∵函数f （x ）=2cos x +cos2x =2cos x +2cos 2x –1=221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭–32，故当cos x =–12时，函数f （x ）有最小值等于–32，故选B ． 10．2tan151tan 165︒-︒的值是A BC ．6D 【答案】C【解析】∵15°+165°=180°，∴2tan151tan 165︒-︒=2tan151tan 15︒-︒=12⋅tan30°．故选C ． 11．已知tan a =3，则cos （2α+π2）= A ．–35 B ．35 C ．–35D ．35【答案】C【解析】由tan a =3，得cos （2α+π2）=–sin2α=–222sin cos sin cos αααα+=22tan 1tan αα-+=63195-=-+．故选C ．12．已知cos （π–α）α∈（0，π），则sin2α=A ．–1B ．2-C ．2D ．1【答案】A【解析】由cos（π–α）=2，得–cos2α=，则cos2α=-，∴α∈（0，π），∴sinα2 =，则sin2α=2sinαcosα=2⎛⎝⎭=–1．故选A．13．已知sin（π12+α）sin（π3–2α）=A．4B．34CD．–34【答案】B【解析】sin（π12+α），则sin（π3–2α）=cos（2α+π6）=1–2sin2（π12+α）=1–2×2=34．故选B．14．若5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则tan2α的值为A．120119B．120119-C．119120D．119120-【答案】B【解析】∵5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴cosα=–1213，∴tanα=sincosαα=–512，则tan2α=22tan1tanαα-=2521251()12⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–120119，故选B．15．已知α为第四象限角，sinα+cosα=3，则cos2α=A ．B ．C D 【答案】D【解析】∵α为第四象限角，sin α+cos α1+2sin αcos α=13，即2sin αcos α=–23，∴sin α–cos α==∴cos2α=cos 2α–sin 2α=–（sin α+cos α）×（sin α–cos α）=–3×（–3）=3，故选D ． 二、填空题16．若sin （π8α-）=3，则cos （π24α-）=_____________． 【答案】59【解析】cos （π24α-）=cos[2（π8α-）]=1–22πsin 8α⎛⎫- ⎪⎝⎭=1–2×259=．故答案为：59． 17．若ππ3sin 225αα-<<=，，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________．【解析】∵ππ3sin 225αα-<<=，，∴cos α=45， ∴sin2α=2sin αcos α=2×45×324525=，cos2α=1–2sin 2α=1–2×972525=，∴πsin 26α⎛⎫+⎪⎝⎭=sin2αcos π6+cos2αsin π24625=725×12=．18．设cos2θsin 4θ+cos 4θ的值是_____________．【答案】7 8【解析】由于cos2θ=2，则cos4θ+sin4θ=（sin2θ+cos2θ）2–2sin2θcos2θ=1–12sin22θ=1–12（1–cos22θ）=1–12（1–34）=78，故答案为：78．19．函数y=1–2cos2x的最小正周期是_____________．【答案】π【解析】∵y=1–2cos2x=1–（1+cos2x）=–cos2x．∴T=2π2=π．故答案为：π．20．若cosα–sinα=14，则sin2α=_____________．【答案】15 16【解析】∵cosα–sinα=14，∴（cosα–sinα）2=116，可得1–sin2α=116，∴sin2α=1516．故答案为：1516．21．函数y=sinαcosα–cos2α的最小正周期为_____________．【答案】π【解析】∵y=sinαcosα–cos2α=111sin2cos2222αα--=π12242α⎛⎫--⎪⎝⎭，∴三角函数的最小正周期是T=2π2=π，故答案为：π．三、解答题22．在△ABC中，cos（π4+A）=513，求cos2A的值．【解析】在△ABC中，cos（π4+A）=513，∴sin（A+π4）=1213．∴cos2A=sin（π2+2A）=2sin（A+π4）cos（A+π4）=2×513×1213=120169．23．求值：cos 2π7+cos4π7+cos6π7．【解析】原式=π2π4π6πsin cos cos cos7777πsin7⎛⎫++⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin cos sin cos sin cos 777777πsin7++=13ππ15π3π17π5πsin sin sin sin sin sin 277277277πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=–12． 24．已知a 为第二象限角，cos a =–45，求sin2a ． 【解析】∵a 为第二象限角，cos a =–45，∴sin a=35，则sin2a =2sin a cos a =2×35×（–45）=–2425．25．求函数y =2cos 2x 的单调增区间．【解析】函数y =2cos 2x =cos2x +1， 令2k π–π≤2x ≤2k π，解得k π–π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 故函数的增区间为[k π–π2，k π]，k ∈Z ． 26．已知111cos sin αα-=，求sin2α的值． 【解析】∵111cos sin αα-==sin cos cos sin αααα-， ∴sin α–cos α=sin αcos α，两边平方可得1–2sin αcos α=（sin αcos α）2． 即1–sin2α=21sin 24α，2sin 24sin 240αα+-=，解得sin2α–2，或sin2α=––2（舍去）．。

自我小测1．若12sin 13α=，π(,π)2α∈，则tan 2α的值为( )． A. 60119 B. 120119 C ．60119- D ．120119- 2．(2011辽宁高考，理7)设π1sin()43θ+=，则sin 2θ＝( )． A ．79- B ．19- C ．19 D ．793．若π12x =，则cos 4x －sin 4x 等于( )．A ．14B ．12C ．2 D4．设a ＝2 (sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ，则( )． A ．c ＜a ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c5．若cos x ＝13，则cos 2x －sin 2x ＝__________.6．(2011大纲全国高考，理14)已知π(,π)2α∈，sin α=，则tan 2α＝______. 7．求证：sin 2(1tan tan )tan 2cos 2x x x x x += 8．已知向量33(cos,sin )22x x =a ，11(cos ,sin )22x x =-b ，且x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b －|a ＋b |的最小值及此时的x 值．9已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R ，(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？参考答案1答案：B解析：∵12sin 13α=，π(,π)2α∈，∴5cos 13α=-，∴12tan 5α=-. 再由倍角公式得120tan 2119α=，故选B. 2答案：A解析：由π1sin()43θ+=，得1223θθ+=，即sin cos 3θθ+=，两边平方，得21sin 29θ+=， 所以7sin 29θ=-. 3答案：D 解析：cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＝πcos6＝2，故选D. 4答案：A解析：a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，所以b ＞a ＞c ，故选A.5答案：53-解析：cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －1－1＋cos 2x ＝3cos 2x －2＝53-. 6答案：43-解析：∵π(,π)2α∈，sin α=，∴cos 5α==-.∴1tan 2α=-，∴2212()2tan 42tan 211tan 31()2ααα⨯-===---- 7证明：左边＝sin sincos cos sin sin 2sin cos 222(1)sin 2cos cos cos cos cos 22x x x x x x x x x x x x x x ++=⋅ cos sin 2sin tan cos cos cos 2x x x x x x x =⋅==＝右边．∴原等式成立． 8解：(1) 31313cos cos sin sin cos()cos2222222x x x x x x x ⋅=-=+=a b ， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋2×cos 2x ＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴|a ＋b |＝2cos x . (2) 2213()cos22cos 2cos 2cos 12(cos )22f x x x x x x =-=--=--， ∴当1cos 2x =，即π3x =时，f (x )取最小值32-. 9解：(1)1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++13π32cos 2sin(2)22262x x x =++=++， ∴f (x )的最小正周期2ππ2T ==， 由题意得πππ222π262kx x k -≤+≤+，k ∈Z . 即ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)先把y ＝sin 2x 图象上所有点向左平移π12个单位长度，得到πsin(2)6y x =+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到π3sin(2)62y x =++的图象．。

双基达标(限时20分钟)1．化简(cos47°30′－sin47°30′)(sin 23°cos 8°－sin 67°sin 8°)＝()．A.14B．－14C．1 D．－1解析原式＝(cos27°30′＋sin27°30′)(cos27°30′－sin27°30′)(sin 23°cos 8°－cos23°sin 8°)＝cos 15°sin 15°＝12sin 30°＝14，故选A.答案 A2．若cos 2α＝23，则sin4α＋cos4α＝()．A．1 B.79 C.1118 D.1318解析sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12sin22α＝1－12(1－cos22α)＝1－12⎝⎛⎭⎪⎫1－29＝1118，故选C.答案 C3．(2012·珠海高一检测)如果|cos θ|＝15，52π<θ<3π，则sinθ2＝()．A．－105 B.105C．－155 D.155解析∵52π<θ<3π，∴θ是第二象限角．∵|cos θ|＝15，∴cos θ＝－15.∵54π<θ2<3π2，∴θ2是第三象限角．由cos θ＝1－2sin2θ2，得－15＝1－2sin2θ2，∴sin θ2＝－155，故选C.答案 C4．已知tan θ＝12，则sin 2θ＋sin2θ＝________.解析原式＝2sin θcos θ＋sin2θsin2θ＋cos2θ＝2tan θ＋tan2θtan2θ＋1.又∵tan θ＝12，∴原式＝2×12＋⎝⎛⎭⎪⎫122⎝⎛⎭⎪⎫122＋1＝1.答案 15．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．解析f(x)＝sin2x－sin x cos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＋12.故函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案π6．已知cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求2sin 2θ－cos θsin θ的值．解∵cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos2θ＝7 3.法一∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝22×73×⎝⎛⎭⎪⎫－23－－2373＝－914＋214＝－714＝－142.法二∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－2cos2θ2sin θcos θ＝2(1－cos2θ)2sin θcos θ＝2×sin2θ2sin θcos θ＝tan θ＝－142.综合提高(限时25分钟)7．(2011·辽宁高考)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )． A ．－79 B ．－19 C.19 D.79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案 A8．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( )． A.34 B.38 C.18 D.14解析 原式＝12sin 15°cos 15° ＝14×2sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18.答案 C9．已知tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________. 解析 原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋cos 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α＋tan 2α－1tan 2α＋2＝2×2＋4－14＋2＝76. 答案 7610．(2012·赣州高一检测)已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos 2θ＝________.解析 由sin θ2＋cos θ2＝12，两边平方整理，得1＋sin θ＝14，即sin θ＝－34，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案 －1811．(2012·东营高一检测)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝725. 12．(创新拓展)已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α、tanβ，且α、β均在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，求tan α＋β2的值． 解 ∵tan α、tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝3a ＋1>0，可见tan α<0，tan β<0.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴α，β∈(－π2，0)．得到－π<α＋β<0，即－π2<α＋β2<0，∴tan α＋β2<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－4a 1－(3a ＋1)＝43. ∴2tan α＋β21－tan 2 α＋β2＝43， ∴tan α＋β2＝12(舍去)或tan α＋β2＝－2.故所求tan α＋β2的值为－2.。

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。

人教a 版高一必修4_3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式_作业_word 版含解析[A.基础达标]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.2．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选D.sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.3．已知cos(α＋π4)＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78C.34 D ．－34解析：选A.∵cos(α＋π4)＝14，∴sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝－cos[2(α＋π4)]＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－116×2＝78.4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425 B ．－45C.2425D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2xcos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22B.33 C. 2 D. 3 解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3.6．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________． 解析：因为cos(π3－α) ＝sin[π2－(π3－α)] ＝sin(π6＋α)＝13， 所以cos(2π3－2α) ＝2cos 2(π3－α)－1 ＝2×(13)2－1＝－79. 答案：－797．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________. 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24259．已知sin(π4－α)＝513，0＜α＜π4，求cos 2αcos (π4＋α)的值． 解：因为π4＋α＝π2－(π4－α)， 所以cos(π4＋α)＝cos[π2－(π4－α)] ＝sin(π4－α)＝513. 又因为0＜α＜π4，0＜π4－α＜π4， 所以cos(π4－α)＝1213， 所以cos 2α＝sin(π2－2α) ＝2sin(π4－α)cos(π4－α) ＝120169， 所以cos 2αcos (π4＋α)＝120169513＝2413. 10．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．[B.能力提升]1．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( ) A ．1 B. 2C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.2．已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4－62－m ≤0对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3 解析：选A.32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4－62 ＝322sin x 2＋62cos x 2＝6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，所以x 2＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6∈[－3，3]，由题意可知m ≥ 3. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，将a ，b ，c 用“＜”号连接起来为________． 解析：a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°·sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°1－tan 213°＝tan 26°， c ＝1－cos 50°2＝sin 2 25°＝sin 25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26°， cos 26°＜1，∴tan 26°＞sin 26°.又∵y ＝sin x 在(0°，90°)上为增函数，所以a ＜c ＜b . 答案：a ＜c ＜b4．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 5．已知向量p ＝(cos α－5，－sin α)，q ＝(sin α－5，cos α)，p ∥q ，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin 2(α2＋π6)－sin(α＋π6)． 解：(1)由p ∥q ，可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)·(－sin α)＝0，整理得sin α＋cos α＝15. 两边平方得1＋2sin α·cos α＝125， 所以sin α·cos α＝－1225.因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)， 所以sin α－cos α ＝1－2sin α·cos α＝75， 解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2(α2＋π6)－sin(α＋π6) ＝1－cos(α＋π3)－sin(α＋π6) ＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85. 6．(选做题)(2015·南昌高一检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。

第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切课时目标掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变形解题．识记强化 1sin2α＝2sin αcos αcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α2．变形形式sin α＝2sin α2cos α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2tan α＝2tan α21－tan 2α21＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2课时作业一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin2x ＝( ) A ．－154 B ．±158C ．－158 D.158答案：C解析：因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 2．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( )A ．30°或270°B ．45°C ．60°D ．30°答案：D解析：因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.3．已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．－34 B ．－32C.34D.32答案：B解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45，tan α＝－34，2tan α＝－32，故选B. 4．化简1＋sin8等于( )A ．sin4＋cos4B ．－sin4－cos4C ．sin4D ．cos4答案：B 解析：1＋sin8＝sin 24＋cos 24＋2sin4cos4＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4| ∵4∈(π，3π2)，则sin4＋cos4<0 故1＋sin8＝－sin4－cos4.5．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan2α的值为( ) A ．－43 B.43C ．－34D ．－2 答案：A解析：由题意可得，sin α＝－1－cos 2α＝－255，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.6．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为( )A ．1＋ 2 B.2－1C. 2 D ．2答案：A解析：y ＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝1－cos2x ＋sin2x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π4)＋1， ∴y 的最大值为2＋1.二、填空题7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.答案：－32解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos150°＝－sin60°＝－32. 8．若θ∈(0，π)，且sin2θ＝－2425，则cos θ－sin θ＝________. 答案：－75解析：∵sin2θ＝－2425，θ∈(0，π)， ∴sin θ＞0，cos θ＜0，cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝4925，∴cos θ－sin θ＝－75. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 答案：－247解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210⇒sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 三、解答题10．已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值． 解：tan2β＝2tan β1－tan 2β＝34， tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan αtan2β＝1. 因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1， 所以α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4， 所以α＋2β＝π4. 11．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋43sin x 2cos x 2cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的值域． 解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋43sin x 2cos x 2cos x ＝2cos 2x ＋23sin x cos x＝cos2x ＋1＋3sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以f (x )的值域为[0,3]．能力提升12．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0， ∴tan x 2＝2，∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24. 13．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1＝－2sin2x cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x ＝2(sin2x －cos2x )＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数， 在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数，又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫38π＝2 2，f (π2)＝2. 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2.。

第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α．思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？ 解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tanα≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos α21－cos α＝2sinα21±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425. 又由cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得 2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250.8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cosα的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79B ．－79C.35 D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π.因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.43 B ．－43C.34D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12.答案：1213．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4.又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.14．(选做题)已知sin x 2－2cos x2 ＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x2＝2，所以tan x ＝2tanx21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式练习1．若sin α＝1213，α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为( ) A ．60119 B ．120119 C ．60119- D ．120119- 2．若x ＝12π，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )A ．14B ．12C ．2D 3．已知sin θ＝45，sin θcos θ＜0，则sin 2θ的值为( ) A ．2425- B ．1225- C ．45- D ．24254．已知向量a ＝1cos ,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 2θ等于( )A 32-B ．14-C ．12-D ．125．已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为( ) A ．725 B ．1625 C ．1425 D ．19256．已知P (1，－3)是角2α终边上一点，则cos α＝__________. 7．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝__________. 8．(能力拔高题)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于__________．9．已知0＜α＜2π，sin α＝45.求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值．1 2，α，β均为锐角，求α＋2β的值．10．已知tan α＝7，tan β＝参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：B5. 答案：A6. 答案：45-7. 答案：89- 8. 答案：725 9. 解：由0＜α＜2π，sin α＝45，得cos α＝35， ∴2222sin sin 2sin 2sin cos cos cos 23cos 1αααααααα++=+- ＝1634225552093125+⨯⨯=⨯-. 10. 分析：利用tan β求出tan 2β的值，从而求得tan(α＋2β)的值．解：∵tan β＝12，∴tan 2β＝2122tan 4211tan 314ββ⨯==--. ∴tan(α＋2β)＝47tan tan 23141tan tan 2173αβαβ++==---⨯. 又0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α＋2β＜32π.∴α＋2β＝34π.。