江苏省镇江中学2020届高三年级第一学期期中调研试题强化班数学试题(无答案)

江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}220x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A I B ＝ ．2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题5．已知在平面直角坐标系Oy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．若实数，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为 ．8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ． 10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-，4π]时，函数2()23sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．12．已知函数331()0()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩，，，若对任意的∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x -≤()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．14．在平面直角坐标系Oy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(，y )满足(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2OP OC OP⋅u u u r u u u ru u u r 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．（1）求证：PC ∥平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．16．（本题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66⋅=u u u r u u u r．（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝1314，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1CA CD 2S =⋅u u ur u u u r ，求AC 的长度．在平面直角坐标系Oy中，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝247，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(52-，0)，求证：A1，B，G三点共线．18．（本题满分16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道¼MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．（1）试将l表示为α的函数()lα，并写出α的取值范围；（2）求l最小时cosα的值．已知函数2()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数的取值范围；（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数． 20．（本题满分16分）已知N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n n na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．参考答案11．3 12． 13．14．15．16．17．18．19．20．。

镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，(){}2|log 12B x x =−≤，则A B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．设复数21i i z i−−=+，则z 的虚部是A ．1B ．1−C ．iD ．i −3．等比数列{}n a 的各项均为正数，若1237a a a ++=，4322a a a =+，则789a a a ++= A ．588 B ．448C ．896D ．2244．已知向量a = ()1,1b =− ，a b +=，则向量a 在b 上的投影向量为 A ．11,22 −B ．()2,2−C ．()2,2−D ．11,22 −5．已知a ∈R ，函数()()e ,0,ln 1,0x a x f x x a x −≤ = −+−> 在R 上没有零点，则实数a 的取值范围A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[){}1,0+ ∞D ．(){}1,0+ ∞6．已知θ为第一象限角，且tan tan 03++=πθθ，则1cos21cos2+=−θθA ．9B ．3C ．13D ．197．设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ．若10a <，则“n S 有最小值”是“0d ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若22BC BC AB =⋅，则cos A 的最小值为A B ．12C D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()cos sin f x x x =⋅，则 A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 的最大值为12D ．()f x 在0,2π上单调递增10．已知函数()()2(1)44f x x x =−−+的导函数为()f x ′ A ．()f x 只有两个零点B ．()()4f x f x −′=′C ．1x =是()f x 的极小值点D ．当0x ≥时，()0f x ≥恒成立11．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为，其轴截面为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且 2AC CB =，SM SC = λ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则A ．存在()0,1∈λ，使得BC AM ⊥B ．当23=µ时，存在()0,1∈λ，使得//AM 平面ONCC ．当13=λ，23=µ时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57=µ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 点的仰角为45°，再沿正对塔ED 方向前进20米到达山脚点B ，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，则慈寿塔高约为________米． 1.7≈，答案保留整数）13．已知数列{}n a 是单调递增数列，其前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列是等差数列．14．定义在R 上的函数()g x 满足()212y g x =+−是奇函数，则()g x 的对称中心为________；若()*123211111n n a g g g g n n n n n + =+++⋅⋅⋅+∈++++N ，则数列{}n a 的通项公式为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 3cos22A A +=−． （1）求cos A 的值；（2）若23b c =，求sin C 的值．16．（15分）已知函数()21f x x x =+−，()e x g x =．（1）求证：直线1y x =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线； （2）请在以下三个函数：①()()f x g x +；②()()f x g x ⋅；③()()f xg x 中选择一个函数，记为()yh x =，使得该函数有最大值，并求()h x 的最大值．17．（15分）已知*n ∈N ，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21n n S a =−；数列{}n b 满足12b =，112n nb b +=−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列1n b −λ是等差数列？如果存在，求出实数λ的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式2n n nb a ≥成立的n 的最大值．18．（17分）在四棱锥P ABCD −中，90ABC ACD ∠=∠=°，30BCA CDA ∠=∠=°，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PD ，PC 的中点，1AB =．（1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ；（2）若2PA =，求点F 到平面ACE 的距离；（3）若二面角A PD C−−PA．19．（17分）已知函数()lnf x ax x x=−．（1）当1a=时，讨论()f x的单调性；（2）当1x>时，()1f x<−，求a的取值范围；（3）设*n∈N，证明：()111ln11n ni ini>+>+∑．镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】{|15}B x x =<≤，{}2,3,4A B = 共3个元素，选C ． 2．【答案】B 【解析】21(1)2122i i i z i i −−−====−+，虚部为1−，选B ．3．【答案】B 【解析】4322a a a =+，∴22q q =+，∴2q =或1−（舍） ()6678912372448a a a a a a q ++=++=×=，选B ．4．【答案】D 【解析】222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，∴1a b ⋅=a 在b 上的投影向量2111,222||a b b b b ⋅⋅=⋅=−，选D ．5．【答案】D 【解析】0x ≤时，e x a =无解，∴0a ≤或1a >；0x >时，()ln 1x a +=−无解， ∴0a ≥则(){}1,0a ∈+ ∞，选D ．6．【答案】C 【解析】tan tan 03++=πθθ，∴3=πθ，111cos21211cos2312−+==−+θθ，选C ． 7．【答案】A 【解析】“n S 有最小值”⇔“0d >”，∴“n S 有最小值”是“0d ≥”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】22BC BC AB =⋅ ，∴22cos a BC AB B =−⋅，∴222222222a c b a ac a c b ac +−=−⋅=−−+， ∴2222a b c =−22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc +−−+ +− ===≥，选A ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】()f x 为偶函数，A 对．()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=−=−πππ，∴()f x 为奇函数，B 错．()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤，C 对．0,2x∈π，()1sin cos sin22f x x x x ==，()f x 在0,4 π单调递增，,42ππ单调递减，D 错． 10．【答案】ABD 【解析】()()()3130f x x x =−−=′，1x =或3，()f x 在(),1−∞单调递减，()1,3单调递增，()3,+∞单调递减，() ()14f x f ==极大值，() ()30f x f ==极小值，∴()f x 有且仅有两个零点，A 对． ()f x ′关于2x =对称，B 对．1x =是极大值点，C 错．0x ≥时，()00f =，()0f x ≥恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】BC AC ⊥，则BC 与AM 不可能垂直，若BC AM ⊥，则BC ⊥面SAC ，则BC SA ⊥，则BC ⊥面SAB 矛盾，A 错．对于B ，取SN 中点P ，则//AP ON ，过P 作//PM CN 交SC 于点M ，此时M为SC 中点，则面//APM 平面ONC ，∴//AM 平面ONC ，B 对．对于D ，如图建系，()0,A −，()B ，()0,0,6S ，(),66N −µ ()6AN =+− µ，()C ，6)SC =−，，0AN SC ⋅= ∴6636360+−+=µµ，∴57=µ，D 对．23=µ时，23ASN SAB S S =△△，13=λ时，M 到平面SAB 的距离是C 到平面SAB 距离的1311213333M SANSAN SAB V S h S h −=′=⋅⋅△△，其中h ′表示M 到平面SAB 的距离，h 是C 到平面SAB 距离，221211362793932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h −−==⋅==××××=△△，C 对，选BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，45DAC ∠=°，60DBC ∠=°，30EBC ∠=°，20AB =设BC x =，则CE x =，DC =，DC AC =20x =+，∴x =31DE=．13．【答案】（1，0） 【解析】1A =，0B =，n =为等差数列，即(),A B 可以是()1,0． 14．【答案】42na n =+ 【解析】()212y g x =+−关于()0,0对称，则()()2122120g x g x −+−++−=∴()()12124g x g x −++=，则()g x 关于()1,2对称，（第一空） 1221111n n a g g g n n n +=++⋅⋅⋅+ +++，2121111n n n a g g g n n n + =++⋅⋅⋅+ +++ ∴() 212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个，则42n a n =+． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）()2cos 32cos 12A A +−=−，∴26cos cos 10A A +−=，()()2cos 13cos 10A A +−=而ABC △为锐角三角形，cos 0A >，∴1cos 3A =． （2）()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C =⇒+=⇒⋅+=，∴7sin C C =，∴tan C =，sin C =．16．【解析】（1）设1y x =+与()e x g x =切于()00,e x P x ，()e x g x ′=，∴0e x k =∴切线方程为()000e e x x y x x =−+，令00e 10x x =⇒= 此时()e x g x =在0x =处的切线方程为1y x =+，即1y x =+是()g x 的切线 联立211y x y x x=+ =+− ，∴200x x =⇒=，∴()f x 在0x =处的切线为1y x =+ ∴1y x =+也是()f x 的切线．（2）①中x →+∞时，()h x →+∞，()h x 显然无最大值．若选②，()()21e x h x x x =+−，()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =−++−=−−+=−+−′，()h x 在(),2−−∞上单调递减；()2,1−上单调递增，()1,+∞上单调递减，x →−∞时，()0h x <且()0h x →，()1e h =，e 0>，∴max ()e h x =．若选③()21e x x x h x +−=，()()()22212e 1e 3e e x x x xx x x x x h x −=′−+−−= ()h x 在(),0−∞上单调递增；()0,3上单调递减；()3,+∞上单调递增 x →+∞时，()0h x <且()0h x →，()01h =，10>，∴max ()1h x =． 17．【解析】（1）21n n S a =−①，1121n n S a ++=−②，②-①1122n n n a a a ++⇒=−，∴12n n a a +=，而1121a a =−，∴110a =≠∴{}n a 成首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a −=． （2）假设存在，∴()1111111212nn n n n n nb b b b b b b −−=−=−−−−−−−−−λλλλλλ()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b −−−+−+= −−−−−− λλλλλλ为常数，∴()121221==−−+λλλλ 解得1=λ， ∴存在1=λ使11n b−成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知()11111n n n b =+−⋅=−，∴11n b n =+ ∴122112121212n n n n n n n −−−++≥⇒+≥⇒≥令212n n n c −+=，1121210222n n n n n n n n c c +−−−++−−=−=< ∴{}n c 在*n ∈N 上单调递减，注意到4514c =>，5618c =<， ∴5n ≥时，51n c c ≤<，∴max 4n =．18．【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又∵90ACD ∠=°，∴CD AC ⊥ PA AC A = ，∴CD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别为PD ，PC 的中点 ∴//EF CD ，∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面APC （2）如图建系∵1AB =，30BCA CDA ∠=∠=°，90ABC ACD ∠=∠=°，∴2AC =，BC =，4AD=，CD =∴()0,2,0A ，()0,0,0C ，()D ，()0,2,2P ，∴)E，()0,1,1F ，()0,2,0CA =，)CE =，设平面ACE 的一个法向量(,,)n x y z =，∴(201,0,0y n y z = ⇒=++= ，()0,1,1CF =∴F 到平面ACE的距离CF n dn⋅==． （3）仿（2）建系，设PA m =，∴(0,2,)P m ，(0,0,)AP m =，()2,PD m =−−，()CD =，设平面APD 和平面PDC 的一个法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =∴()11111020mz n y mz = ⇒ −−=，()22222200,,20z mz n m −−= ⇒=−=显然二面角A PD C −−平面角为锐角，∴1212cos n n n n ⋅==θ，∴2m=，即2PA =．19．【解析】（1）1a =时，()ln f x x x x =−，()ln f x x ′=，令()01f x x =′⇒= 当01x <<时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ′>，()f x 单调递增． （2）()1f x <−对1x ∀>恒成立1ln 1ln x ax x x a x x−⇒−<−⇒<对1x ∀>恒成立而10ln x x x −>，1x >，当x →+∞时，10ln x x x−→，∴0a ≤． （3）先证右边，⇔证()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+−+−−+⋅⋅⋅+−+∑只需证：()11ln 1ln ln1n n n n n+<+−=+，由（1）知当1a =时，()ln 1f x x x x =−≥−（当且仅当1x =时取“=”） ∴1ln 1x x ≥−，令11n x n+=>，∴11ln111n n n n n +>−=++ 此时()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<−+−+⋅⋅⋅++−=++∑右边得证再证左边：易知1x >时，11ln 2x x x<−，∴1122<=∴1ln n n +<()ln 1ln n n >+−，∴()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>−+−+⋅⋅⋅++−=+，左边得证！ 综上：不等式得证！。

2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题一、填空题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,1,2B =-，则A B =I ______. 【答案】{}1,2【解析】先求出集合A ，然后根据交集的计算，即可求出A B I .【详解】∵集合{}220A x x x =-≤∴集合{}02A x x =≤≤∵集合{}1,1,2B =-∴{}1,2A B =I故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题．2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______.【解析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果．【详解】 ∵21iz =+∴2112i i i z i =+=-⋅∴z ==【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.【答案】25【解析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出013579S =+++++的值，从而得解．【详解】模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=．故答案为：25．【点睛】本题考查了伪代码的应用问题，解答本题的关键是应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是______. 【答案】216y x =【解析】求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为2,0y mx m =>，由抛物线的焦点坐标，可得m ，即可得到所求方程．【详解】 由题意得，双曲线221124x y -=的右焦点为()4,0. 抛物线方程设为2,0y mx m =>. ∵抛物线的顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点 ∴44m =，即16m = ∴抛物线方程为216y x =故答案为：216y x =.【点睛】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=，若直线12l l //，则m =______.【答案】2-【解析】根据题意，由直线平行的条件可得()220m m -+=，可得m 的值，验证直线是否重合即可得答案．【详解】根据题意，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=.若直线12l l //，必有()220m m -+=，解得：1m =或2-. 当1m =时，直线1l ：10x y --=，2l ：10x y --=，两直线重合，不符合题意； 当2m =-时，直线1l ：240x y +-=，2l ：2410x y ---=，两直线平行，符合题意；∴2m =-.故答案为：2-.【点睛】已知直线1l ，2l 的方程分别是：1l ：1110A x B y C ++=（1A ，1B 不同时为0），2l ：2220A x B y C ++=（2A ，2B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221//0l l A B A B ⇔-=，12210AC A C -≠.6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______. 【答案】25【解析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率．【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为2510n C ==. ∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p == 故答案为：25. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为______.【答案】13【解析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【详解】实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =时，目标函数经过()3,2A 时，目标函数取得最大值，即3213z x y =+=.∴32z x y =+的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则4g π⎛⎫=⎪⎝⎭______.【答案】 【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再根据()g x 的解析式，求得4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，可得cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()2cos 23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象.∴2cos 22sin 4433g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______. 【答案】16【解析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B ECF -的体积．【详解】根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点. ∴11111111132326B ECF F BCE V V BC AB B B --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：16. 【点睛】本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q =______.【答案】2或12【解析】由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比q 的值．【详解】∵等比数列{}n a 的前三项和342S =，1a ，23a +，3a 成等差数列∴()211121114223a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2q =或12 故答案为：2或12. 【点睛】 本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______.【答案】3【解析】利用倍角公式、和差公式化简()f θ，利用三角函数的单调性可得B ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论．【详解】根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. ∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ∴()[]0,3f θ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆∴03a b ≤⎧⎨≥⎩ ∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=.故答案为：3.【点睛】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得1x x m -≥+，即有即()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数且在[)0,+∞单调递减∵()()1f x f x m -≤+在[],1x m m ∈+恒成立 ∴1x x m -≥+在[],1x m m ∈+恒成立，则222212x x x mx m -+≥++在[],1x m m ∈+恒成立∴()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立 ∴()()()22221022110m m m m m m ⎧++-≤⎪⎨+++-≤⎪⎩，解得113m -≤≤-. 故答案为：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -=______.【答案】2【解析】设(),P x y ，根据圆C 及切点A ，结合PA PB =，可推出221PO PB -=，再根据两点之间距离公式化简可得220000012x x y y x y y ++=-+，结合点P 在2y x =-上，可列出方程组，即可解出0y ，进而可得答案.【详解】设(),P x y∵PA PB =∴22PA PB =∴221PO PB -=∴()()2222001x y x x y y +-=-+-，即220000012x x y y x y y ++=-+∵P 在2y x =-上任取 ∴00220001122x y x y y ⎧-=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得022y -±= ∵001x y -= ∴00x y =-∴00022x y y -=-=故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆的关系，涉及了两点之间的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中已知三个点()2,1A ，()1,2B -，()3,1C -，点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2OP OC OP ⋅u u u r u u u r u u u r 的最大值为______.【答案】4【解析】依题意可得()()221x y x y +-=-，通过换元令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，将所求式子化简，再利用基本不等式得解．【详解】 ∵点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()()221x y x y +-=-令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得2525m n x m ny +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1mn =-∴2222222344442525OP OC x y m n m mn nm mn n x y OP ⋅-+==++-+++u u u r u u u r u u u r ()()()()()222255522m n m n m n m n m n mn m n +++===++-++ 要求出2OP OC OP ⋅u u u r u u u r u u u r 的最大值，不妨设0m n +>，则2552222OP OC OP m n m n ⋅=≤=+++u u u r u u u r u u u r 2m n m n+=+，即2m n +=，即2626m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或2626m n ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，取“=”.故答案为：524. 【点睛】本题考查平面向量与基本不等式的综合运用，考查换元思想及化简运算能力，属于中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB BD ⊥，PB PD ⊥，平面PBD ⊥底面ABCD .（1）求证：//PC 平面BDE ；（2）求证：PD ⊥平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结EO ，则点O 为AC 中点，由点E 为AP 的中点，得//EO PC ，由此能证明//PC 平面BDE ；（2）根据题设条件推导出PB ⊥平面ABCD ，PB AB ⊥，AB BD ⊥，从而AB ⊥平面PBD ，进而可得AB PD ⊥，结合PD PB ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB . 【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，并连接EO∵平行四边形ABCD ，且AC 交BD 于点O ∴点O 为AC 中点在PAC ∆中，点E 为AP 的中点 ∴//EO PC∵EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ∴//PC 平面BDE（2）∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD I 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD∴PB ⊥平面ABCD ∵AB Ì平面ABCD ∴PB AB ⊥又∵AB BD ⊥，BD PB B =I ，PB ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ∴AB ⊥平面PBD ∵PD ⊂平面PBD ∴AB PD ⊥又∵PD PB ⊥，PB AB B ⋂=，PB ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ∴PD ⊥平面PAB . 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=u u u r u u u r.（1）若C B >，且()13cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =⋅u uu r u u u r ，求AC 的长度.【答案】（1）3C π=；（2）56AC =【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan 1C =，可得4C π=，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值．【详解】（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=u u u r u u u r∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯=u u u r u u u r∴11cos 14B =∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠= ∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴221153sin 1cos 114B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=， ∴()0,C B π-∈ ∵()13cos 14C B -=且()0,C B π-∈ ∴()()2sin 1cos C B C B -=--21333114⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B=---13113353114142=⨯=在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3C π=.（2）∵ACD ∆的面积12S CA CD=⋅u uu r u u u r∴11sin cos 22CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos CC C==，则4C π=在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABB C=又∵53sin B =，14AB =，2sin sin 42C π==∴532142=，则56AC =.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点.①若247AB =，求直线1l 的方程； ②过A 作左准线l 的垂线，垂足为1A ，点5,02G ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：1A ，B ，G 三点共线. 【答案】（1）2214x y y+=（2）①1y x =+或1y x =--，②证明见解析 【解析】（1）根据长轴的值和准线的方程，可求得a ，c 的值，结合222b a c =-，从而可求出椭圆的标准方程；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，作11AA l ⊥，根据椭圆的第二定义可得11AF e AA =，结合211a AA x c=+，可推出11AF a ex =+，从而推出12BF a ex =+，根据247AB =，可得1287x x +=-，分别对直线1l 的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线1l 的方程；②当直线1l 的斜率不存在时，分别求出1A G k ，1A B k ，即可得证；当直线1l 的斜率存在时，分别求出1A G k ，BG k ，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题，24a =，24a c =，∴2a =，1c =∴2223b a c =-=，椭圆方程2214x y y+=. （2）①设()11,A x y ，()22,B x y作11AA l ⊥，由第二定义，11AF e AA =，而211a AA x c=+ ∴21101c a AF eAA x a ex a c ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，同理12BF a ex =+∴()11122427AB AF BF a e x x =+=++=，即1287x x +=-，②证明见解析 设AB 的斜率为k1°若k 不存在，即122x x +=-（舍）2°若k 存在，AB ：()1y k x =+联立()3234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，()22223484120kxk x k +++-=（），>0∆恒成立∴212288347k x x k +=-=-+，即1k =±，∴AB ：1y x =+或1y x =-- ②证明1°若AB 的斜率不存在，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，134,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11A G k =-，11A B k =-，11A G A B k k =-∴1A ，B ，G 三点共线.2°若AB 的斜率存在，()114,A y -，1132A G y k =-，2252BG y k x =+要证1A ，B ，G 共线.即证1A G BG k k =，即1225322y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()122253y x y +=- 即()()()121212531k x x k x ++=-+，即()12122580kx x k x x k +++=由（）2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+ 代入上式：2222412825803434k k k k k k k -⋅-⋅+=++，即3332824402432034k k k k k k --++=+显然成立。

江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}220x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A I B ＝ ． 2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ． 6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为 ．8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ． 10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-，4π]时，函数2()23sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．12．已知函数331()0()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩，，，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x -≤()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x，y)满足(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则2OP OCOP⋅u u u r u u u ru u u r的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD, PB⊥PD，平面PBD ⊥底面ABCD．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求证：PD⊥平面PAB．16．（本题满分14分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，BA BD66⋅=u u u r u u u r．（1）若C＞B，且cos(C﹣B)＝1314，求角C；（2）若△ACD的面积为S，且1CA CD2S=⋅u u u r u u u r，求AC的长度．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点．①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(52-，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．18．（本题满分16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N 在线段PT 上（不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N ），轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道¼MA到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处（设计要求M ，O ，G 三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R ．记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．（1）试将l 表示为α的函数()l α，并写出α的取值范围； （2）求l 最小时cos α的值．19．（本题满分16分）已知函数2()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数．20．（本题满分16分）已知N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n n na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．参考答案11．3 12． 13．14．15．16．17．18．19．20．。

2020届江苏省镇江市高三上学期期中数学试题一、填空题1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U C A =__________. 【答案】{}1,2【解析】利用补集定义直接求解即可． 【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{1}2U C A ==，， 故答案为{}1,2． 【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用． 2．命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________. 【答案】2210x R x x ∀∈-+<，【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题：2210x R x x ∀∈-+<，， 故答案为：2210x R x x ∀∈-+<，． 【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．函数()lg(3)f x x =-______________． 【答案】[)2,3-【解析】根据对数的真数大于零，偶次根下大于等于零，即可得答案。

【详解】解：由题意得3020x x ->⎧⎨+≥⎩解得：23x -≤< ，故答案为：[)2,3- 【点睛】本题考查定义域，属于基础题。

4．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=，故答案为6π． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题． 5．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π【解析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果. 【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.6．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．【考点】函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．7．已知,B ,C ()222A kx kx kx k Z πππ≠+≠+≠+∈, 则“A B C π++=”是tan tan tan tan tan tanC A B C A B ++="的___________________条件 (请在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) ． 【答案】充分不必要【解析】由A B C π++=，得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；反之， 由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得,A B C n n Z π++=∈．然后结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：若A B C π++=， 则A B C π+=-，又,,,2A B C k k Z ππ≠+∈ ,tan()tan()A B C π∴+=- ，tan tan tan 1tan tan A BC A B+∴=-- ，tan tan tan +tan tan tan A B C A B C ∴+=-， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∴++=；若tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∴++=，则()()tan tan tan +tan tan tan 1tan tan tan A B C A B C A B C ∴+=-=--，依题意，()1tan tan 0A B -≠,tan tan tan 1tan tan A BC A B+∴=--,tan()tan()A B C ∴+=-,,A B n C n Z π+=-∈∴ ,A B C n n Z π++=∈∴∴“A B C π++=”是tan tan tan tan tan tanC A B C A B ++="的充分不必要条件．故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，着重考查充分必要条件的判定，考查转化思想与推理证明能力，属于中档题．8．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____． 【答案】【解析】【详解】 设00(,)P x y .对y ＝e x求导得y ′＝e x，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 【考点】导数的几何意义． 9．函数21()|1|ln 2f x x x =-++的零点个数为________________． 【答案】3【解析】令2()|1|(2)g x x x =->-，()ln(2)(2)h x x x =+>-，画出草图，并判断(0)g 和(0)h 的大小即可得出答案。

镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1B．2C．3D．42．设复数，则的虚部是A．1B．C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588B．448C．896D．2244．已知向量，，则向量在上的投影向量为A．B．C．D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A．B．C．D．6．已知为第一象限角，且，则A．9B．3C．D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为AB．CD．{}1,2,3,4A=(){}2|log12B x x=-≤A B21i izi--=+z1-i-{}na1237a a a++=4322a a a=+789a a a++= a=()1,1b=-a b+=ab11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-()2,2-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭a∈R()()e,0,ln1,0x a xf xx a x⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩R a()0,+∞()1,+∞[){}1,0+∞(){}1,0+∞θtan tan03⎛⎫++=⎪⎝⎭πθθ1cos21cos2+=-θθ1319{}na d nnS1a<nS0d≥ABC△A B C a b c22BC BC AB=⋅cos A1213二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的最大值为D ．在上单调递增10．已知函数的导函数为A ．只有两个零点B ．C ．是的极小值点D ．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A ．存在，使得B ．当时，存在，使得平面C ．当，时，四面体D ．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．，答案保留整数）()cos sin f x x x =⋅()f x ()f x π()f x 12()f x 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()()2(1)44f x x x =--+()f x '()f x ()()4f x f x -'='1x =()f x 0x ≥()0f x ≥SO SAB △C AB 2AC CB =SM SC = λ(01,01)SN SB =<<<<μλμ()0,1∈λBC AM ⊥23=μ()0,1∈λ//AM ONC 13=λ23=μSAMN AN SC ⊥57=μED A D 45︒ED B D 60︒E 30︒ 1.7≈13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．{}n a n 2n S An Bn =+A B (),A B =R ()g x ()212y g x =+-()g x ()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a ABC △A B C a b c cos 3cos22A A +=-cos A 23b c =sin C ()21f x x x =+-()e x g x =1y x =+()y f x =()y g x =()()f x g x +()()f x g x ⋅()()f xg x ()yh x =()h x *n ∈N {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 12b =112n nb b +=-{}n a λ1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λλ2n n nb a ≥n P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD E F PD PC 1AB =（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．PAC ⊥AEF 2PA =F ACE A PD C --PA ()ln f x ax x x =-1a =()f x 1x >()1f x <-a *n ∈N ()111ln 11nni i n i ==>+>+∑镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C ．2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B ．3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍），选B ．4．【答案】D 【解析】，∴在上的投影向量，选D ．5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D ．6．【答案】C 【解析】，∴，，选C ．7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】，∴，∴，∴ ，选A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A 对．，∴为奇函数，B 错．，C 对．，，在单调递增，单调递减，D 错．10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递{|15}B x x =<≤{}2,3,4A B = 21(1)2122i i i z ii ---====-+1-4322a a a =+22q q =+2q =1-()6678912372448a a a a a a q ++=++=⨯=222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= 1a b ⋅=a b 2111,222||a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭0x ≤e x a =0a ≤1a >0x >()ln 1x a +=-0a ≥(){}1,0a ∈+ ∞tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ3=πθ111cos21211cos2312-+==-+θθn S ⇔0d >n S 0d ≥22BC BC AB =⋅ 22cos a BC AB B =-⋅222222222a c b a ac a c b ac +-=-⋅=--+2222a b c =-22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc ⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭===≥=()f x ()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=-=-πππ()f x ()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()1sin cos sin22f x x x x ==()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()()()3130f x x x =--='1x =()f x (),1-∞()1,3增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A 对．关于对称，B 对．是极大值点，C 错．时，，恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A 错．对于B ，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D ，如图建系，，，， ，，，，∴，∴，D 对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C 对，选BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，，，，设，则，，，，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，为等差数列，即可以是．()3,+∞()()14f x f ==极大值()()30f x f ==极小值()f x ()f x '2x =1x =0x ≥()00f =()0f x ≥BC AC ⊥BC AM BC AM ⊥BC ⊥SAC BC SA ⊥BC ⊥SAB SN P //AP ON P //PM CN SC M M SC //APM ONC //AM ONC B ()0,A -()B ()0,0,6S (),66N -μ()6AN =+-μ()C 6)SC =- 0AN SC ⋅=6636360+-+=μμ57=μ23=μ23ASN SAB S S =△△13=λM SAB C SAB 1311213333M SAN SAN SAB V S h S h -='=⋅⋅△△h 'M SAB h C SAB 22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h --==⋅==⨯⨯⨯⨯=△△45DAC ∠=︒60DBC ∠=︒30EBC ∠=︒20AB =BC x =CE x =DC DC AC =20x =+x =31DE ==1A =0B =n =(),A B ()1,014．【答案】 【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴42n a n =+()212y g x =+-()0,0()()2122120g x g x -+-++-=()()12124g x g x -++=()g x ()1,21221111n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121111n n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个42n a n =+()2cos 32cos 12A A +-=-26cos cos 10A A +-=()()2cos 13cos 10A A +-=ABC △cos 0A >1cos 3A =()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C ⎫=⇒+=⇒⋅+=⎪⎪⎭7sin C C =tan C =sin C =1y x =+()e x g x =()00,e x P x ()e x g x '=0e x k =()000e e x x y x x =-+00e 10x x =⇒=()e x g x =0x =1y x =+1y x =+()g x 211y x y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩200x x =⇒=()f x 0x =1y x =+1y x =+()f x x →+∞()h x →+∞()h x ()()21e x h x x x =+-()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =-++-=--+=-+-'()h x (),2--∞()2,1-()1,+∞x →-∞()0h x <()0h x →()1e h =e 0>max ()e h x =()21e xx x h x +-=()()()22212e 1e 3e e x x x x x x x x x h x -='-+--=()h x (),0-∞()0,3()3,+∞x →+∞()0h x <()0h x →()01h =10>max ()1h x =21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n a a a ++⇒=-12n n a a +=1121a a =-110a =≠{}n a 12n n a -=()1111111212n n n n n n nb b b b b b b --=-=---------λλλλλλ为常数，∴ 解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴ ∴令， ∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面角为锐角，∴∴，即．()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b ---+-+==⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦λλλλλλ()121221==--+λλλλ1=λ1=λ11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()11111n n n b =+-⋅=-11n b n =+122112121212n n n n n n n ---+⎛⎫+≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭212n n n c -+=1121210222n n n n n n n n c c +---++--=-=<{}n c *n ∈N 4514c =>5618c =<5n ≥51n c c ≤<max 4n =PA ⊥ABCD PA CD ⊥90ACD ∠=︒CD AC ⊥PA AC A = CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD EF ⊥PAC EF ⊂AEF AEF ⊥APC 1AB =30BCA CDA ∠=∠=︒90ABC ACD ∠=∠=︒2AC =BC =4AD =CD =()0,2,0A ()0,0,0C ()D ()0,2,2P )E()0,1,1F ()0,2,0CA =)CE =ACE (,,)n x y z = (201,0,0y n y z =⎧⇒=++= ()0,1,1CF = F ACE CF n d n⋅==PA m =(0,2,)P m (0,0,)AP m =()2,PD m =-- ()CD = APD PDC ()1111,,n x y z =()2222,,n x y z = ()11111020mz n y mz =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩ ()22222200,,20z mz n m ⎧--=⎪⇒=-⎨=⎪⎩A PD C --1212cos n n n n ⋅=== θ2m =2PA =19．【解析】（1）时，，，令当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．（3）先证右边，证只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）∴，令，∴此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，∴，左边得证！综上：不等式得证！1a =()ln f x x x x =-()lnf x x '=()01f x x ='⇒=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()1f x <-1x ∀>1ln 1ln x ax x x a x x -⇒-<-⇒<1x ∀>10ln x x x->1x >x →+∞10ln x x x-→0a ≤⇔()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+-+--+⋅⋅⋅+-+∑()11ln 1ln ln1n n n n n +<+-=+1a =()ln 1f x x x x =-≥-1x =1ln 1x x ≥-11n x n +=>11ln 111n n n n n +>-=++()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<-+-+⋅⋅⋅++-=++∑1x >11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1122<=1ln n n +<()ln 1ln n n >+-()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>-+-+⋅⋅⋅++-=+。

江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}220x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A I B ＝ ．2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题5．已知在平面直角坐标系Oy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．若实数，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为 ．8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ． 10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-，4π]时，函数2()23sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．12．已知函数331()0()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩，，，若对任意的∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x -≤()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．14．在平面直角坐标系Oy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(，y )满足(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2OP OC OP⋅u u u r u u u ru u u r 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．（1）求证：PC ∥平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．16．（本题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66⋅=u u u r u u u r．（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝1314，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1CA CD 2S =⋅u u ur u u u r ，求AC 的长度．在平面直角坐标系Oy中，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝247，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(52-，0)，求证：A1，B，G三点共线．18．（本题满分16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道¼MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．（1）试将l表示为α的函数()lα，并写出α的取值范围；（2）求l最小时cosα的值．已知函数2()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数的取值范围；（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数． 20．（本题满分16分）已知N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n n na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．参考答案11．3 12． 13．14．15．16．17．18．19．20．。

2020届江苏省镇江中学高三（强化班）上学期期中数学试题一、填空题1．已知集合(){}{}|30,1,0,1,2,3A x x x B =-<=-，则A B =I _______________. 【答案】{}1,2【解析】化简集合A ,再根据交集运算定义计算可得. 【详解】由(3)0x x -<得03x <<,所以{|03}A x x =<<, 所以{1,2}A B =I , 故答案为: {}1,2 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题. 2．i 是虚数单位，复数151ii-=-________. 【答案】32i -【解析】根据复数的化简：“分母实数化”即可求解 【详解】2215(15)(1)14564321(1)(1)12i i i i i ii i i i i --+---====---+- 【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题． 3．函数y =________.【答案】(1,2]【解析】根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案. 【详解】11221log (1)log 1112110x x x x x -⎧-≤⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩… 故答案为：(1,2] 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.4．已知α是第二象限角，其终边上一点(),5P x ，且2cos 3α=-，则x 的值为______. 【答案】2-【解析】直接根据三角函数定义得到24x =，根据α是第二象限角得到答案. 【详解】由α终边上一点(),5P x ，得22cos 35x α==-+，解得24x =，α是第二象限角，所以x 的值为2-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查根据三角函数定义求参数，意在考查学生的计算能力. 5．下图是一个算法流程图，则输出的i 的值为____．【答案】3【解析】第一次循环后S=400,i=1; 第二次循环后S=800,i=2; 第三次循环后S=1200,i=3;第四次循环后S=1600>1200,输出i=3.点睛:本题考查的是算法与流程图.对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6．若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的慨率是______. 【答案】16【解析】计算基本事件总数为36，满足条件的事件数为6，相除得到概率. 【详解】同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，向上的点数之差的绝对值为3的事件数有()()()()()()1,4,2,5,3,6,4,1,5,2,6,36种， 故61366P ==. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的计算能力.7．若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为___． 【答案】8【解析】由题意可得：侧面三角形的面积：1=2S h h ⨯=侧侧侧， 棱锥的高3h == ，该四棱锥的体积：(21383V =⨯⨯= .8．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．【答案】21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩∴21n a n =- 9．在ABC V 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =______________．【答案】. 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD=，求出AC=，AB =．再利用余弦定理求出cos A . 【详解】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===⋅．故答案为 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．已知0x >，0y >，且1x y +=，则21x y xy++的最小值为______.【答案】5【解析】变换得到21325x y y xxy x y++=++，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()21232323255x y x y x y y xx y xy xy x y x y x y⎛⎫+++++==+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y =+=⎪⎩，即32x y =-=时等号成立.故答案为：5. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，灵活应用1x y +=是解题的关键.11．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______.【答案】14a e≤≤ 【解析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e=单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立， 当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤； 当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立， 参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.12．在ABC ∆中，已知()4AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r，则sin A 最大值等于______.【答案】35【解析】根据()4AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r，得到2245cos 0c bc A b -+=，根据余弦定理得到44cos 555b c A c b =+≥，得到答案. 【详解】∵()4AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r ，∴()40AB AC CB -⋅=u u u r u u u r u u u r∵CB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，代入上式，并化简得：22450AB AB AC AC -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2245cos 0c bc A b -+=，得2244cos 0555b c b cA bc c b+==+>，由同角三角函数关系式，可知sin A 最大时，cos A 最小， 由44cos 555b c A c b =+≥，当且仅当2b c =时等号成立，此时sin A 最大值等于35.故答案为：35. 【点睛】本题考查了向量运算，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.13．已知实数1a ，2a ，3a ，4a 满足1230a a a ++=，2142420a a a a a +-=，且123a a a >>，则4a 的取值范围是_______．【答案】⎝⎭【解析】由实数1a ，2a ，3a ，4a 满足1230a a a ++=，且123a a a >>，得出12a a >，从而得出21a a 的范围，用21a a 表示4a ，构建函数，求解取值范围. 【详解】解：实数1a ，2a ，3a ，4a 满足1230a a a ++=，且123a a a >>， 所以130,0a a ><， 若20,a ≥则12a a >，若20,a <则123232a a a a a a =--=->， 所以，12a a >，因为关于4a 的方程为2142420a a a a a +-=，所以解得：24111•2a a a ==- 设21a t a =，由12a a >得，(1,1)t ∈-，则412a t =- 因为240t t +≥要成立， 故[0,1)t ∈，设函数1()2f t t =-[0,1)t ∈ 因为1()02f t ='--<在[0,1)t ∈上恒成立，故函数()f t 单调递减，所以min 1()(1)2f t f ->=，max ()(0)0f t f ==，所以此时()f t 在[0,1)t ∈的值域为1(2-，即当412a t =-时，4a ∈；设函数1()2g t t =-+[0,1)t ∈因为1()2g t =-+='0=>在[0,1)t ∈上恒成立，故函数()g t 单调递增，所以max ()(1)g t g <=，min()(0)0g t g ==，所以此时()g t 在[0,1)t ∈的值域为，即当412a t =-+41[0,2a -+∈，综上：411(,22a --+∈. 【点睛】本题本质上考查了函数的最值问题，解题的关键是要能构建出关于4a 的函数，通过函数思想求解取值范围，还考查了学生整体换元的思想.14．已知()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个不同零点，则a 的取值范围为______.【答案】2211,2e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭【解析】变形得到()()2ln ln 110x x a a x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭，设ln x t x =，()()2110t a t a +---=，讨论得到方程有唯一根或无解时不成立，有两解时，直线1y t =，2y t =与ln xy x=的交点恰有三个，计算得到答案. 【详解】令()0f x =，变形得：()()2ln ln 110x x a a x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭， 令ln x t x =，得()()2110t a t a +---=，ln x t x =，故21ln x t x¢-=， 当0x e <<，0t '>，ln xt x=在()0,e 上单调递增； 当x e >，0t '<，ln xt x=在(),e +∞上单调递减， 且ln 0x t x=>，故ln xt x =在x e =时有最大值1e .当()()2110t a t a +---=有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；当()()2110t a t a +---=有两根时，1t t =或2tt =，规定12t t <，要使原方程有三个解，则直线1y t =，2y t =与ln xy x=的交点恰有三个， 即转化为()()2110t a t a +---=的两根10t ≤，210t e<<， 则()()()()()2214101011110a a a a a ee ⎧⎪-+->⎪--≤⎨⎪⎪+--->⎩，解得2211e e a e e -+<<-. 故答案为：2211,2e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC AB ∥，90BAD ∠=︒，且222AB AD DC PD ===，E 为PA 的中点.（1）证明：DE P 平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）由线面平行的判定定理即可证明． （2）由线面垂直的判断定理即可证明． 【详解】证明：（1）取PB 中点F ，连接CF ，EF ∵在PAB ∆中，点E ，F 分别是PA ，PB 中点 ∴EF AB ∥，且12EF AB =∵DC AB ∥，2AB DC = ∴EF CD ∥且EF CD = ∴四边形EDCF 为平行四边形 ∴FC DE P∵FC ⊂平面PBC ，DE ⊂/平面PBC ∴DE P 平面PBC .（2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB Ì平面ABCD ∴PD AB ⊥∵90BAD ∠=︒，∴AD AB ⊥又∴AD PD D =I ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD∴AB ⊥平面PAD ∵DE ⊂平面PAD ∴AB DE ⊥∵在PAD ∆中，PD AD =，E 为PA 的中点 ∴DE AP ⊥∵AB AP A =I ，AB Ì平面PAB ，AP ⊂平面PAB∴DE ⊥平面PAB . 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、线面垂直的证明； （1）要证线面平行，需先证线线平行．（2）要证线面垂直，先证线线垂直，同时注意是平面两条相交直线． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()()sin sin sin a b A b c C B -=+-.（1）求角C 的值； （2）若1cos 63B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin A .【答案】（1）3C π=（2 【解析】(1)根据正弦定理将已知条件角化边,变形后再用余弦定理可得; (2)利用sin sin[()]sin()sin()366A B C B B ππππ=-+=+=++,再用两角和的正弦公式可计算得. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得:()()()a b a b c c b -=+-, 即222a b c ab +-=,在ABC ∆中，由余弦定理得:222cos 122a b c C ab +-==，因为0C π<<∴3C π=；（2）在ABC ∆中，∵3C π=，∴203B π<<，∴5666B πππ<+<，因为1cos 63B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 因为A B C π++=,∴()sin sin sin sin 366A B C B B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666B B ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132=⨯16=. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,两角和的正弦公式,属于中档题. 17．已知a ，b 为实数，函数()21f x x a x b =---.（1）已知0a ≠，讨论()y f x =的奇偶性；（2）若1b =，①若2a =，求()f x 在[]0,3x ∈上的值域； ②若2a >，解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）①[]3,4-②{1x x a ≥-或1x a ≤--或}1x = 【解析】（1）讨论0b =，0b ≠两种情况，分别讨论函数的奇偶性得到答案.（2）①()2221,1323,01x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩，()f x 在[]1,3上单调递增，在[)0,1上单调递增，得到函数值域.②()()()2211,111,1x a x x f x x a x x ⎧---≥⎪=⎨+--<⎪⎩，当1x ≥时，()()110x x a -+-≥，故1x =，或1x a ≥-，当1x <时，()()110x x a -++≥，解得1x a ≤--，得到答案.【详解】（1）若0b =，则()21f x x a x =--，则定义域为R ，且()()f x f x -=，故()f x 为偶函数；若0b ≠，则()21f x x a x b =---，()11f a b =--，()11f a b -=-+，由于0a ≠，则()()11f f -≠-，且()()11f f -≠，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）因为1b =，则()211f x x a x =---，①若2a =，则()22221,13,21123,01,x x x f x x x x x x ⎧-+≤≤=---=⎨+-≤<⎩当13x ≤≤时，()f x 在[]1,3上单调递增，故()f x 的取值范围为[]0,4； 当01x ≤<时，()f x 在[)0,1上单调递增，故()f x 的取值范围为[]3,0-； 所以()f x 在[]0,3上的取值范围为[]3,4-.②因为1b =，则()()()22211,11111,1x a x x f x x a x x a x x ⎧---≥⎪=---=⎨+--<⎪⎩，当1x ≥时，不等式可化为()()110x x a -+-≥，又因为2a ≥，则此时不等式的解为1x =，或1x a ≥-；当1x <时，不等式可化为()()110x x a -++≥，又因为2a ≥，则此时不等式的解为1x a ≤--；故关于x 的不等式()0f x ≥的解为{1x x a ≥-或1x a ≤--或}1x =. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，值域，解不等式，意在考查学生的分类讨论的能力和综合应用能力.18．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽27AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ︒≤≤︒）.（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值.【答案】（1）18sin 2θ（米）（2）()18sin 260S θ=+︒；S 的最小值为()9米.【解析】（1）计算60BAC θ∠=︒-，根据正弦定理得到AC θ=，cos sin120AC AB θ=︒，得到答案.（2）根据正弦定理得到29sin 2BC θθ=-，()18sin 260S θ=+︒，根据120260150θ︒≤+︒≤︒计算得到答案.【详解】（1）因为120ABC =︒，ACB θ∠=，所以60BAC θ∠=︒-， 又因为灯柱AB 与地面垂直，即90BAD ∠=︒，所以30CAD θ∠=︒+， 因为60ACD ∠=︒，所以90ADC θ∠=︒-，在ACD ∆中，因为sin sin AD AC ACD ADC =∠∠，所以27cos sin 60AC θθ==︒， 在ABC ∆中，因为sin sin AB AC ACB B =∠，所以cos 18sin 2sin120AC AB θθ==︒. （2）在ABC ∆中，因为sin sin BC ACBAC B=∠，所以()()sin 6036cos sin 6029sin 2sin120AC BC θθθθθ︒-==︒-=-︒，则()9sin 218sin 260S AB BC θθθ=+=+=+︒， 因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当45θ=︒时，min 9S =. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．对于给定的正整数k ，若正项数列{}n a 满足()21111kn k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-+--+++++=L L ，对任意的正整数n （n k >）总成立，则称数列{}n a 是“()G k 数列”.（1）证明：若{}n a 是正项等比数列，则{}n a 是“()2G 数列”； （2）已知正项数列{}n a 既是“()2G 数列”，又是“()3G 数列”， ①证明：{}n a 是等比数列；②若21a qa =，q *∈N ，且存在t *∈N ，使得2134i i a a ++-为数列{}n a 中的项，求q 的值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②2q =【解析】（1）{}n a 是各项均为正数的等比数列，设公比为q ，则42112n n n n n a a a a a --++=，得到答案.（2）①2n ∀>，42112n n n n n a a a a a --++=，3n ∀>，6321123n n n n n n n a a a a a a a ---+++=，变换得到211n n n a a a -+=，得到证明.②11n n a a q -=，根据题意存在p *∈N ，使得2134t t p a a a -+-=，即134p t q q ---=，讨论1q =和2q ≥，两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）{}n a 是“()2G 数列”，理由如下：因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为q .当2n >时，有()432114211211111n n n n n n n n n na a a a a q a q a q a q a q a ------++=⋅⋅⋅==. 所以{}n a 是“()2Q 数列”.（2）①因为{}n a 既是“()2Q 数列”，又是“()3Q 数列”，所以2n ∀>，42112n n n n n a a a a a --++=，①，3n ∀>，6321123n n n n n n n a a a a a a a ---+++=.② 出①得，1n ∀>，41231n n n n n a a a a a -+++=，③，3n ∀>，43211n n n n n a a a a a ----=.④③⨯④÷②得，3n ∀>，442116n n nna aa a -+⋅=.因为数列{}n a 各项均为正数，所以3n ∀>，211n n n a a a -+=.所以数列{}n a 从第3项起成等比数列，不妨设公比为q '.①中，令4n =得，423564a a a a a =，所以32a a q='. ①中，令3n =得，412453a a a a a =，所以21a a q ='. 所以数列{}n a 是公比为q '的等比数列.②由①知，{}n a 是等比数列，又因为21a qa =，则公比为q ，故11n n a a q -=，所以存在t *∈N ，使得2134t t a a ++-为数列{}n a 中的项， 即存在p *∈N ，使得2134t t p a a a -+-=， 即1134t t p qq q +--=，也即134p t q q ---=（），因为q *∈N ，若1q =，（）式不成立；则2q ≥，故342q -≥，因为p *∈N ，t *∈N ，故1p t --∈N ，若10p t --=，（）式不成立； 若11p t --=，则2q =符合题意；若12p t --≥，则1234340p t q q q q ---+≥-+>，（）式不成立；所以2q =. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，等比数列的证明，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20．已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）. （1）若0b =，且()f x 在()0,∞+内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由； （3）若1a =，0b <，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【答案】（1）1334⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）存在；a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+，讨论0a ≥和0a <两种情况，分别计算函数的单调性，再根据零点个数得到参数. （2）()322113f x x ax a x =+-+，根据题意()()()()13f x x m d x m x m d =----+，计算得到m a -=，335a =-，计算得到答案.（3）()32113f x x x bx =+++，()()200001114147122122f x f x x x b ⎛⎫⎛⎫-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故必须2004147120x x b +++=在110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有解，解方程得到答案. 【详解】（1）若0b =，则()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+， 若0a ≥，则在()0,∞+，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()010f =>，故()f x 在()0,∞+上无零点，舍；若0a <，令()220f x x ax '=+=，得()0f x '=，10x =，22x a =-，在()0,2a -上，()0f x '<，()f x 在上单调递减， 在()0,2a -上，()0f x '>，()f x 在上单调递增， 故()()33384241133f x f a a a a =-=-++=+极小值， 若34103a +>，则()20f a ->，()f x 在()0,∞+上无零点，舍； 若34103a +>，则()20f a -=，()f x 在()0,∞+上恰有一零点，此时1334a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；若34103a +<，则()20f a -<，()010f =>，()()()23310f a a a a -=--++>，则()f x 在()0,2a -和()2,3a a --上有各有一个零点，舍；故a 的值为1334⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）因为20a b +=，则()322113f x x ax a x =+-+，若()f x 有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()()()322232113333f x x m d x m x m d x mx m d x m md =----+=-+--+，故m a -=，则()0f a -=，故3331103a a a -+++=，3513a =-，335a =-.此时，335m =，d =，故存在三个不同的零点. 故符合题意的a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）若1a =，0b <，()32113f x x x bx =+++， ()3232000011111111233222f x f x x bx b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()323220000001111114147123222122x x b x x x x b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴若存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，必须2004147120x x b +++=在110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有解. 0b <Q ，()()21416712421480b b ∴∆=-+=->=0x >Q ，0x ∴依题意01<<，即711<，492148121b ∴<-<即2571212b-<<-，12=，得54b=-，故欲使满足题意的x存在，则54b≠-，∴当25557,,124412b⎛⎫⎛⎫∈----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U时，存在唯一的110,,122x⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U满足()01 2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当2575,,012124b⎛⎤⎡⎫⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎩⎭U U时，不存在110,,122x⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U使()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2019-2020学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，则∁U A=______ ．2.命题“∃x∈R，x2−4x+4<0”的否定是 _____________．3.函数f(x)=2√x+2+lg(1−2x)的定义域是______ ．4.已知扇形的周长是10，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数为：5.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(0)=______．6.若函数是偶函数，则实数a的值为________．7.已知：A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，则(1+tanA)(1+tanB)=______ ．8.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.9.函数的零点个数为____________．10.已知ab>0 , a+b=5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．11.定义在(0,π2)的函数的最大值为__________12.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(π4−α)=__________．13.已知函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．14.函数f(x)=|2x+a|+x−a，x∈R的最小值为3，则a的值为______ ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数(1)求f(x)的最小正周期．(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值及以及取得最小值时x的集合．16.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a+2b=2ccosA．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)已知△ABC的面积为√3，b=4，求边c的长．17.已知函数g(x)=f(x)+x(x∈R)为奇函数．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若x>0时，f(x)=log2x，求当x<0时，函数g(x)的解析式．18.已知函数f(x)是定义在[−e,0]∪(0，e]上的奇函数，当x∈[−e,0)时，有f(x)=ax−ln(−x)(其中e为自然对数的底，a∈R)．(1)求函数f(x)的解析式．(2)试问是否存在实数a，使得当x∈(0,e]时，f(x)的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．19.如图，在半径为40cm的半圆(O为圆心)形铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上．(1)设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示为x的函数，并写出定义域(2)应怎样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数f(x)=x2−ax−aln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥−x33+5x22−4x+116．-------- 答案与解析 --------1.答案：{4,6，7，9，10}解析：解：∵全集U ={n ∈N|1≤n ≤10}，A ={1,2，3，5，8}， ∴∁U A ={4,6，7，9，10}． 故答案为：{4,6，7，9，10}． 利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.答案：∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0解析： 【分析】此题考查特称命题的否定，考查全称命题与特称命题的否定关系，考查计算能力． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：命题“∃x ∈R ，x 2−4x +4<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0”. 故答案为∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0．3.答案：(−2,12)解析： 【分析】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题． 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则{x +2>01−2x >0，即{x >−2x <12，即−2<x<12，∴函数的定义域为(−2,12)，故答案为：(−2,12).4.答案：解析：【分析】本题是基础题，考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查计算能力，是高考中常见的题型．【解答】解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l=10，所以l=2，r=4，所以扇形的圆心角的弧度数是，故答案为．5.答案：32解析：解：根据函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2，再根据五点法作图可得2⋅7π12+φ=2π，求得φ=5π6，∴f(x)=3sin(2x+5π6)，∴f(0)=3sin5π6=32，故答案为：32．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(0)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．6.答案：−1解析：本题主要考查函数的奇偶性及对数运算，是基础题．由偶函数定义得出等式求出a的值即可．【解答】解：因为函数f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，即lg(1−x)+lg(1−ax)=lg(1+x)+lg(1+ax)，也即lg(1−x)(1−ax)=lg(1+x)(1+ax)所以1+ax2−(a+1)x=1+ax2+(a+1)x，所以(a+1)=0，故a=−1．故答案为−1．7.答案：2解析：解：∵A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=tan45°=1∴tanA+tanB+tanAtanB=1∴(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=2故答案为：2．根据正切的两角和公式，利用tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=1可求得tanA+tanB+tanAtanB的值，代入(1+tanA)(1+tanB)答案可得．本题主要考查了两角和与差的正切函数．注意对两角和与差公式的变形利用．8.答案：−1解析：【分析】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．属中等题．【解答】解：点(0,0)满足曲线f(x)，对f(x)求导：f′(x)=e x sinx+e x cosx；过(0,0)的切线方程斜率为：f′(0)=1；∴切线方程为：y−0=1×(x−0)⇒y=x；由直线x+my+l=0，则y=−1m x−1m∵切线方程与直线x+my+l=0平行；∴−1m=1解得m=−1．故答案为−1．9.答案：4【分析】本题考查函数的零点与方程的根，由f(x)=0得|lgx|=sinx，分别作出两个函数的图象，根据图象的交点个数进行判断即可.属基础题目．【解答】解：令f(x)=0得|lgx|=sinx，作出y=|lgx|与y=sinx的函数图象，如图所示：由图象可以知道两图象有4个交点，所以f(x)共有4个零点.故答案为4．10.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=17(3+2(b+1)a+1+a+1b+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．11.答案：3√3【分析】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题．利用导函数研究其单调性，求其最大值．【解答】解：函数f(x)=8sinx−tanx，那么：f′(x)=8cosx−1cos2x =8cos3x−1cos2x，令f′(x)=0，得：cosx=12∵x∈(0,π2)，∴x=π3.当x∈(0,π3)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0,π3)上是单调增函数．当x∈(π3,π2)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(π3,π2)上是单调减函数．∴当x=π3时，函数f(x)取得最大值为3√3，故答案为3√3.12.答案：7解析：由题意知tanα=sinαcosα=−34，tan(π4−α)=tanπ4−tanα1+tanπ4tanα=1−(−34)1+1⋅(−34)=7.13.答案：解：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0，即2x=a必有一个根，此时0<a≤1；当x>0时，方程有两个不等的实根，即方程x2−3ax+a=0有两个不等的正实根，于是有，由此解得a>49．因此，满足题意的实数a需满足即．故答案为．解析：本题考查函数的零点与方程根的关系，分段函数性质，考查了分析能力和转化能力，属于中档题．要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0必有一个根，当x>0时，方程有两个不等的实根，根据指数函数的性质和一元二次方程根的分布即可求出a的范14.答案：−2解析：解：∵f(x)=|2x+a|+x−a={−x−2a,x<−a2 3x,x≥−a2故函数f(x)在区间(−∞,−a2]上为减函数，在区间[−a2,+∞)上为增函数，故当x=−a2时，函数f(x)=|2x+a|+x−a取最小值−32a故−32a=3解得a=−2故答案为：−2利用零点分段法，将函数f(x)的解析式化为分段函数，进而根据一次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得a的值．本题考查的知识点绝对值函数，分段函数的单调性和最值，其中分析出原函数的单调性及最值点是解答的关键．15.答案：解：f(x)=cos2x−2sinxcosx−sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，(1)T=π；(2)∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤54π，当2x+π4=π⇒x=38π，∴x=38π时，f(x)有最小值−√2．故x的集合{3π8}．解析：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法，先把函数化简为y= Asin(wx+ρ)或y=Acos(wx+ρ)的形式再解题，为基础题．(1)先根据三角函数的二倍角公式化简为y=√2cos(2x+π4)，再由T=2π2可得答案．(2)先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．16.答案：解：(Ⅰ)由正弦定理有sinA+2sinB=2sinCcosA，有sinA+2sin(A+C)=2sinCcosA，得sinA+2sinAcosC=0．由0<A<π，得sinA>0，有cosC=−12，由0<C <π，得C =2π3．(Ⅱ)△ABC 的面积为12absinC =√3． 又b =4，sinC =√32，∴a =1．由余弦定理得：c 2=1+16−2×1×4×(−12)=21． ∴c =√21．解析：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的三角函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．(Ⅰ)已知等式利用正弦定理和两角和的正弦公式化简、整理并结合已知条件，可确定出C 的度数； (Ⅱ)由题意，根据三角形面积公式，求出边a ，再由余弦定理即可求出边c ．17.答案：解：(1)∵函数g(x)=f(x)+x(x ∈R)为奇函数，∴g(−x)=−g(x)， 即f(−x)−x =−f(x)−x ， 即f(−x)=−f(x) 则函数f(x)是奇函数； (2)∵x <0，∴−x >0， 则f(−x)=log 2(−x)， ∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=log 2(−x)=−f(x)， 即f(x)=−log 2(−x)，x <0，则g(x)=f(x)+x =x −log 2(−x)，x <0故当x <0时，函数g(x)的解析式为g(x)=x −log 2(−x)，x <0．解析：(1)根据函数奇偶性的定义进行判断； (2)根据函数奇偶性的性质即可求g(x)的解析式．本题主要考查函数奇偶性的判断，和函数奇偶性的应用，利用定义法是解决本题的关键．18.答案：解：(1)当x ∈(0,e]时，−x ∈[−e,0)，则f(−x)=a(−x)−lnx ，又f(x)是奇函数，故f(x)=−f(−x)=ax +lnx ， 故f(x)={ax −ln(−x),−e ≤x <0ax +lnx,0<x ≤e ；(2)当x ∈(0,e]时，f(x)=ax +lnx ， f′(x)=a +1x =ax+1x，①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]递增，故函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是f(e)=ae +1=2，故a =1e >0满足题意；②当−1a ≥e ，即−1e ≤a <0时，f′(x)=a +1x ≥−1e +1x ≥−1e +1e =0，故f(x)在(0,e]递增，此时f(x)在区间(0,e]的最大值是f(e)=ae +1=2，则a =1e >0，不满足条件=1e ≤a <0；③当a <−1e 时，可得f(x)在区间(0,−1a ]递增，在区间[−1a ,e]递减，故x =−1a 时，f(x)max =f(−1a )=−1+ln(−1a )，令f(−1a )=2，得a =−1e 3>01e ，不满足条件，综上a =1e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是2．解析：(1)设x ∈(0,−e]，则−x ∈[−e,0)，故f(−x)=−ax −ln(x)，根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式；(2)假设存在实数a 满足条件，通过讨论a 的范围，利用函数的单调性求出函数的最小值，解出a 的值即可．本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．19.答案：解：(1)AB =2OA =2√402−x 2=2√1600−x 2，∴y =f(x)=2x√1600−x 2，x ∈(0,40)．(2)y 2=4x 2(1600−x 2)≤4×(x 2+1600−x 22)2=16002，即y ≤1600，当且仅当x =20√2时取等号．∴截取AD =20√2时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为1600cm 2．解析：(1)AB =2OA =2√1600−x 2，可得y =f(x)的解析式．(2)平方利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2x −a −a x ，由题意可得f′(1)=0，解得a =1．经检验，a =1时f(x)在x =1处取得极值，所以a =1．(2)证明：由(1)知，f(x)=x 2−x −ln x ，令g(x)=f(x)−(−x 33+5x 22−4x +116)=x 33−3x 22+3x −ln x −116，由g′(x)=x2−3x+3−1x =x3−1x−3(x−1)=(x−1)3x(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)=0，所以f(x)≥−x33+5x22−4x+116成立．解析：本题考查了函数的极值，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．(1)求出函数的导数，求出a的值，检验即可；(2)令g(x)=f(x)−(−x33+5x22−4x+116)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．。

2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题一、填空题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,1,2B =-，则AB =______.【答案】{}1,2【解析】先求出集合A ，然后根据交集的计算，即可求出A B .【详解】∵集合{}220A x x x =-≤ ∴集合{}02A x x =≤≤ ∵集合{}1,1,2B =- ∴{}1,2AB =故答案为：{}1,2. 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题． 2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______.【解析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果． 【详解】∵21i z =+∴2112i iiz i =+=-⋅∴z ==【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.【答案】25【解析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出013579S =+++++的值，从而得解． 【详解】模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了伪代码的应用问题，解答本题的关键是应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是______.【答案】216y x =【解析】求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为2,0y mx m =>，由抛物线的焦点坐标，可得m ，即可得到所求方程． 【详解】由题意得，双曲线221124x y -=的右焦点为()4,0.抛物线方程设为2,0y mx m =>.∵抛物线的顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点∴44m=，即16m = ∴抛物线方程为216y x = 故答案为：216y x =. 【点睛】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=，若直线12l l //，则m =______.【答案】2-【解析】根据题意，由直线平行的条件可得()220m m -+=，可得m 的值，验证直线是否重合即可得答案． 【详解】根据题意，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=. 若直线12l l //，必有()220m m -+=，解得：1m =或2-.当1m =时，直线1l ：10x y --=，2l ：10x y --=，两直线重合，不符合题意； 当2m =-时，直线1l ：240x y +-=，2l ：2410x y ---=，两直线平行，符合题意； ∴2m =-. 故答案为：2-. 【点睛】已知直线1l ，2l 的方程分别是：1l ：1110A x B y C ++=（1A ，1B 不同时为0），2l ：2220A x B y C ++=（2A ，2B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①2112210A A l B B l +⇔=⊥； ②121221//0l l A B A B ⇔-=，12210AC A C -≠.6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______. 【答案】25【解析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率． 【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为2510n C ==.∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42 105p==故答案为：25.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y=+的最大值为______.【答案】13【解析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【详解】实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x yx y--=⎧⎨-+=⎩，解得3x=，2y=时，目标函数经过()3,2A时，目标函数取得最大值，即3213z x y=+=.∴32z x y=+的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再根据()g x 的解析式，求得4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，可得cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()2cos 23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象.∴2cos 22sin 4433g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______. 【答案】16【解析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B ECF -的体积． 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点. ∴11111111132326B ECF F BCE V V BC AB B B --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：16. 【点睛】本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q =______.【答案】2或12【解析】由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比q 的值． 【详解】∵等比数列{}n a 的前三项和342S =，1a ，23a +，3a 成等差数列∴()211121114223a a q a q a q a a q⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2q 或12故答案为：2或12. 【点睛】本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______. 【答案】3【解析】利用倍角公式、和差公式化简()fθ，利用三角函数的单调性可得B ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论． 【详解】根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. ∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3fθ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆ ∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得1x x m -≥+，即有即()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围． 【详解】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数且在[)0,+∞单调递减 ∵()()1f x f x m -≤+在[],1x m m ∈+恒成立∴1x x m -≥+在[],1x m m ∈+恒成立，则222212x x x mx m -+≥++在[],1x m m ∈+恒成立∴()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立∴()()()22221022110m m m m m m ⎧++-≤⎪⎨+++-≤⎪⎩，解得113m -≤≤-. 故答案为：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -=______.【答案】2【解析】设(),P x y ，根据圆C 及切点A ，结合PA PB =，可推出221PO PB -=，再根据两点之间距离公式化简可得220000012x x y y x y y ++=-+，结合点P 在2y x =-上，可列出方程组，即可解出0y ，进而可得答案. 【详解】 设(),P x y ∵PA PB = ∴22PA PB = ∴221PO PB -=∴()()2222001x y x x y y +-=-+-，即220000012x x y y x y y ++=-+∵P 在2y x =-上任取∴00220001122x y x y y ⎧-=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得022y -±= ∵01x y -= ∴00x y =-∴00022x y y -=-=故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆的关系，涉及了两点之间的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中已知三个点()2,1A ，()1,2B -，()3,1C -，点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-，则2OP OC OP⋅的最大值为______.【答案】4【解析】依题意可得()()221x y x y +-=-，通过换元令22x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，将所求式子化简，再利用基本不等式得解． 【详解】∵点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=- ∴()()221x y x y +-=-令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得2525m n x m ny +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1mn =-∴2222222344442525OP OCx y m nm mnn m mn n x y OP⋅-+==++-+++()()()()()222255522m n m n m n m n m n mn m n +++===++-++要求出2OP OC OP⋅的最大值，不妨设0m n +>，则2552222OP OC OPm n m n⋅=≤=+++2m n m n+=+，即2m n +=，即2626m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或2626m n ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，取“=”. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量与基本不等式的综合运用，考查换元思想及化简运算能力，属于中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB BD ⊥，PB PD ⊥，平面PBD ⊥底面ABCD .（1）求证：//PC 平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结EO ，则点O 为AC 中点，由点E 为AP 的中点，得//EO PC ，由此能证明//PC 平面BDE ；（2）根据题设条件推导出PB ⊥平面ABCD ，PB AB ⊥，AB BD ⊥，从而AB ⊥平面PBD ，进而可得AB PD ⊥，结合PD PB ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB . 【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，并连接EO∵平行四边形ABCD ，且AC 交BD 于点O ∴点O 为AC 中点在PAC ∆中，点E 为AP 的中点 ∴//EO PC∵EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ∴//PC 平面BDE（2）∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD∴PB ⊥平面ABCD ∵AB平面ABCD∴PB AB ⊥ 又∵AB BD ⊥，BD PB B =，PB ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD∴AB ⊥平面PBD ∵PD ⊂平面PBD ∴AB PD ⊥又∵PD PB ⊥，PB AB B ⋂=，PB ⊂平面PAB ，AB 平面PAB∴PD ⊥平面PAB . 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=.（1）若C B >，且()13cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =⋅，求AC 的长度.【答案】（1）3C π=；（2）56AC =【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan 1C =，可得4C π，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值．【详解】（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅= ∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯= ∴11cos 14B =∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠= ∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴221153sin 1cos 114B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=， ∴()0,C B π-∈ ∵()13cos 14C B -=且()0,C B π-∈ ∴()()2sin 1cos C B C B -=--21333114⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B=---13113353114142=⨯=在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3C π=.（2）∵ACD ∆的面积12S CA CD =⋅ ∴11sin cos 22CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos CC C==，则4C π在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABB C=又∵53sin B =，14AB =，2sin sin 42C π==∴532142=，则56AC =.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点.①若247AB =，求直线1l 的方程； ②过A 作左准线l 的垂线，垂足为1A ，点5,02G ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：1A ，B ，G 三点共线. 【答案】（1）2214x y y+=（2）①1y x =+或1y x =--，②证明见解析 【解析】（1）根据长轴的值和准线的方程，可求得a ，c 的值，结合222b a c =-，从而可求出椭圆的标准方程；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，作11AA l ⊥，根据椭圆的第二定义可得11AF e AA =，结合211a AA x c=+，可推出11AF a ex =+，从而推出12BF a ex =+，根据247AB =，可得1287x x +=-，分别对直线1l 的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线1l 的方程；②当直线1l 的斜率不存在时，分别求出1A G k ，1A B k ，即可得证；当直线1l 的斜率存在时，分别求出1A G k ，BG k ，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题，24a =，24a c =，∴2a =，1c =∴2223b a c =-=，椭圆方程2214x y y+=. （2）①设()11,A x y ，()22,B x y作11AA l ⊥，由第二定义，11AF e AA =，而211a AA x c=+ ∴21101c a AF eAA x a ex a c ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，同理12BF a ex =+∴()11122427AB AF BF a e x x =+=++=，即1287x x +=-，②证明见解析 设AB 的斜率为k1°若k 不存在，即122x x +=-（舍）2°若k 存在，AB ：()1y k x =+联立()3234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，()22223484120kxk x k +++-=（），>0∆恒成立∴212288347k x x k +=-=-+，即1k =±，∴AB ：1y x =+或1y x =-- ②证明1°若AB 的斜率不存在，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，134,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11A G k =-，11A B k =-，11A G A B k k =-∴1A ，B ，G 三点共线.2°若AB 的斜率存在，()114,A y -，1132A G y k =-，2252BG y k x =+要证1A ，B ，G 共线.即证1A G BG k k =，即1225322y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()122253y x y +=- 即()()()121212531k x x k x ++=-+，即()12122580kx x k x x k +++=由（）2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+ 代入上式：2222412825803434k k k k k k k -⋅-⋅+=++，即3332824402432034k k k k k k --++=+显然成立。