2019年高考数学总复习课时作业(六十九)第69讲不等式的性质及绝对值不等式理

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab 。

(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由。

解析：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立。

故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立。

所以a 3＋b 3的最小值为42。

(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥43。

由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6。

2．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2。

(1)求abc 的最大值； (2)证明：1a ＋1b ＋1c ≥92。

3．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立。

证明：(1)由a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab。

由于a ＋b ＞0，则ab ＝1，即有a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b 取得等号，则a ＋b ≥2。

(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2可能同时成立。

由a 2＋a ＜2及a ＞0，可得0＜a ＜1。

由b 2＋b ＜2及b ＞0，可得0＜b ＜1，这与ab ＝1矛盾， 所以a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立。

4．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)。

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4。

(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎝ ⎛ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪ －1m＋⎭⎪⎫⎪⎪⎪1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，a ＝1时等号成立)。

学习必备欢迎下载不等式的性质与绝对值不等式典题探究例 1 解不等式 2＜｜ 2x－ 5｜≤ 7．例 2 解关于x的不等式：(1) ｜ 2x＋ 3｜－ 1＜a( a∈ R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．例 3 解不等式 | x－ |2 x＋ 1|| ＞1．例 4.求证：a2b2ab a b 1演练方阵A档（巩固专练）1．下列各式中，最小值等于2的是（）x yB．x 25C．tan1x2xA ．2D．2y x tanx42x, y R且满足x3y2，则 3x27 y 1 的最小值是（）．若A．339B．122C．6D．73．不等式 |8 － 3x| ＞0 的解集是 ()A．B． R C． { |≠8 ，∈R} D ．{ 8 } 334．下列不等式中，解集为R的是()A．｜x＋ 2｜＞ 1B．｜ x＋2｜＋1＞1 C． ( x－ 78)2＞－ 1 D ． ( x＋ 78)2－1＞05．在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是()A．｛x｜－ 2＜x＜ 2 }B ．｛x｜ 0＜x≤ 2 }C ．｛x｜－ 2≤x≤ 2｝ D ．｛x｜x≥ 2 或x≤－ 2｝6．不等式｜ 1－ 2x｜＜3的解集是( )A．｛x｜x＜1 } B ．｛x｜－ 1＜x＜ 2 }C．｛ x｜ x＞2｝D．｛ x｜ x＜－1或 x＞2｝7．若a b 0 ，则a1的最小值是 _____________。

b(a b)128．函数 f ( x) 3xx 2 ( x 0) 的最小值为 _____________。

9．不等式｜ x ＋ 4｜＞ 9 的解集是 __________．10．当 a ＞0 时，关于 x 的不等式｜ b －ax ｜＜ a 的解集是 ________．B 档（提升精练）1．不等式｜ x ＋ a ｜＜ 1 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 1＋ a ＜x ＜ 1＋ aB ．｛ x ｜－ 1－ a ＜ x ＜ 1－ a}C ．｛ x ｜－ 1－｜ ｜＜ ＜ 1－｜ a ｜} D ．｛ x ｜ ＜－ 1－｜ a ｜或 x ＞ 1－｜ a ｜｝a xx2．不等式 1≤｜ x －3｜≤ 6 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 3≤ x ≤2 或 4≤ x ≤ 9｝ B．｛ x ｜－ 3≤ x ≤ 9｝ C ．｛ x ｜－ 1≤ x ≤2｝D．｛ x ｜4≤ x ≤9｝3．下列不等式中，解集为｛x ｜ x ＜ 1 或 x ＞ 3｝的不等式是 ( )A ．｜ x －2｜＞ 5B ．｜ 2x － 4｜＞ 3C ． 1－｜ x － 1｜≤1D．1－｜ x －1｜＜122 2 24．已知集合 A ＝ { x || x － 1| ＜2} ， B ＝ { x || x － 1| ＞ 1} ，则 A ∩ B 等于 ( )A ． { x | －1＜ x ＜ 3}B ． { x | x ＜0 或 x ＞ 3}C ． { x | －1＜ x ＜ 0}D． { x | － 1＜ x ＜ 0 或 2＜ x ＜ 3}5． 若 x (,1) ，则函数 yx 2 2x2有（）2x 2A ．最小值 1B ．最大值 1C ．最大值 1D ．最小值16．设 a,b, cR ，且 a b c1，若 M(11)( 1 1)( 11) ，则必有（）ab cA ．0 M1 1M1C ．1M8D ．M88B ．87．已知不等式｜ x －2｜＜ a ( a ＞ 0) 的解集是｛ x ｜－ 1＜ x ＜ b } ，则 a ＋ 2b ＝．8．不等式 | x ＋ 2| ＞ x ＋ 2 的解集是 ______．9．解下列不等式： (1)|2－3x | ≤ 2；(2)|3x － 2| ＞ 2．10．求函数 y3 x 54 6 x 的最大值。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}。

(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值。

解析：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1。

(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤32＋124－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4。

2．设函数f (x )＝|x －3|＋|2x －4|－a 。

(1)当a ＝6时，解不等式f (x )>0；(2)如果关于x 的不等式f (x )<0的解集不是空集，求实数a 的取值范围。

3．设函数f (x )＝|2x ＋2|－|x －2|。

(1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若对于∀x ∈R ，f (x )≥t 2－72t 恒成立，求实数t 的取值范围。

解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x <－1，3x ，－1≤x <2，x ＋4，x ≥2。

当x <－1时，－x －4>2，x <－6，∴x <－6； 当－1≤x <2时，3x >2，x >23，∴23<x <2；当x ≥2时，x ＋4>2，x >－2，∴x ≥2。

综上所述，不等式f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >23或x <－6。

(2)由(1)可知f (x )min ＝f (－1)＝－3， 若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－72t 恒成立，则只需f (x )min ＝－3≥t 2－72t ⇒2t 2－7t ＋6≤0⇒32≤t ≤2，所以实数t 的取值范围为32≤t ≤2。

4．已知函数f (x )＝x |x －a |(a ∈R )。

课时分层训练(六十九) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 得1≤x ≤2，3分 ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.5分 (2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1. 10分2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． [解] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a ＜x ≤－1，3x ＋1－2a ，x ＞－1，3分f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5， 解得a ＝－6；5分当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，3x ＋1－2a ，x ＞a ，7分f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5， 解得a ＝4.9分 综上所述，实数a 的值为－6或4.10分3．(·衡水中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*) 若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅. 若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4. 综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}. 4分(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**) 当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 解得－2－a ≤x ≤2－a .8分 由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0].10分 4．(·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}.5分(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.10分5．(·湖南长郡中学模拟)已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab . (1)求1a ＋1b 的最小值m ；(2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m2成立，说明理由.【导学号：57962489】[解] (1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≥ab (a ＞0，b ＞0)，则ab ≤1. 又1a ＋1b ≥2ab ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b的最小值m ＝2. 5分(2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －(x －t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2. 对于(1)中的m ＝2，m2＝1＜2. ∴满足条件的实数x 不存在.10分6．(·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a ＞0)恒成立，求实数a的取值范围．[解] (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|， 所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－14或x ＜－32. 4分(2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )ma x ＝23＋a ≤4. 解得a ≤103.又a ＞0，因此0＜a ≤103. 10分。

第69讲不等式的性质及绝对值不等式考试说明 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c(3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d(4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥a=b(3)算术几何(4)≥a=b=c(5)≥3. (1)ab≥0(2)(a-b)(b-c)≥0【课堂考点探究】例1[思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明.证明:==x+y+1-y++≤|x+y+1|++≤×=,所以≤.变式题证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|≤[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<×=.例2[思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的图像,数形结合求得满足x∈[a,+∞)时g(x)≥f(x)的a的取值范围.解:(1)f(x)=当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,∴ｘ∈?;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,∴-≤x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,∴1≤x≤6.综上,f(x)≥-2的解集为.(2)函数y=f(x)的图像如图所示.∵ｇ(x)=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a≥2,即a≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,∴ａ≥2+,即a≥4.综上,a≤-2或a≥4.变式题解:(1)当a=-1时,不等式f(x)≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴或或解得x≤-2或x≥0,∴不等式f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,则g(x)=作出函数y=g(x)的图像,如图所示,易知A-,-,B(0,-1),结合图像知,当-1<a<-时,函数y=a与y=g(x)的图像有三个不同的交点,即方程f(x)=2x有三个不同的解,∴ａ的取值范围为.例3[思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得+|x-2m|≥,再根据基本不等式可得+2m≥2=8,即证f(x)≥8恒成立;(2)原问题等价于解+|1-2m|>10,分1-2m≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f(x)=+|x-2m|≥==+2m≥2=8,当且仅当=2m且(x-2m)≤0,即m=2且-4≤x≤4时取等号,所以f(x)≥8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>时,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)>10,得+2m>10,化简得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以<m<1或m>4.当1-2m≥0,即0<m≤时,f(1)=1++(1-2m)=2+-2m,由f(1)>10,得2+-2m>10,此不等式在0<m≤时恒成立.综上,实数m的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.因为a>0,所以-≤x≤,因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以解得a=2.(2)因为=≥=,所以要使<|k|存在实数解,只需|k|>,解得k>或k<-,所以实数k的取值范围是∪.【备选理由】这里选用的三个例题,涉及求绝对值不等式的解、由解集求参数、不等式的证明,以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.1 [配例1使用]已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,所以-7<|x-1|<3,得-2<x<4,故不等式|g(x)|<5的解集为{x|-2<x<4}.(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5.2 [配例2使用] [2017·山西实验中学模拟]已知函数f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)如果f(x)≥|1-5a|恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)≥g(x),即|x-2|+|x+4|≥x2+4x+3.①当x<-4时,原不等式等价于-(x-2)-(x+4)≥x2+4x+3,即x2+6x+5≤0,解得-5≤x≤-1,∴-5≤x<-4;②当-4≤x≤2时,原不等式等价于-(x-2)+(x+4)≥x2+4x+3,即x2+4x-3≤0,解得-2-≤x≤-2+,∴-4≤x≤-2+;③当x>2时,原不等式等价于(x-2)+(x+4)≥x2+4x+3,即x2+2x+1≤0,解得x=-1,∴ｘ∈?.综上可知,不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|-5≤x≤-2+}.(2)∵|x-2|+|x+4|≥|x-2-x-4|=6,且f(x)≥|1-5a|恒成立,∴6≥|1-5a|,即-6≤1-5a≤6,∴-1≤a≤,∴ａ的取值范围是.3 [配例3使用] [2017·深圳二调]已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,a∈R.(1)若f(a)≤2|1-a|,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(a)≤2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|≤2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|≤0.当a=1时,不等式成立;当a≠1时,|1-a|>0,则|a|-1≤0,解得-1≤a<1.综上所述,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1}.(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解,则只需f(x)min≤1,又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,所以(a-1)2≤1,解得0≤a≤2,所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}.。

课时作业(六十九)一、选择题1．不等式|x －2x |>x －2x的解集是 ( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由|t |>t 知t <0，故x －2x <0，其解集为{x |0<x <2}．故选A.答案：A2．若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 ( )A ．8B ．2C ．－4D ．－8解析：由|ax ＋2|<6，得－6<ax ＋2<6，即－8<ax <4，不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，易检验a ＝－4.答案：C3．设a >0，b >0且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则 ( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2b ＋b 2a －a －b＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝a a 2－b 2－b a 2－b 2ab＝a －b a 2－b 2ab ＝a －b 2a ＋bab >0 ∴P >Q .答案：A4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为( )A ．1 B. 2C. 3 D ．2解析：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3.故应选C.答案：C5．(2012年湖南)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为 ( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1 B ．[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析：对于不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0，分三种情况讨论：①当x <－12时，－2x －1－2(－x ＋1)>0，∴－3>0，故x 不存在；②当－12≤x ≤1时，2x ＋1－2(－x ＋1)>0，∴14<x ≤1；③当x >1时，2x ＋1－2(x －1)>0,3>0，∴x >1.综上可知，x >14. 答案：D6．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的解集为 ( ) A ．(－∞，－2)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－32 D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵|x ＋1||x ＋2|≥1， ∴|x ＋1|≥|x ＋2|(x ≠－2)．∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4.∴2x ＋3≤0，∴x ≤－32且x ≠－2. 故原不等式的解集为{x |x ≤－32且x ≠－2}． 答案：D二、填空题7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，所以|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解， 即|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)8．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|知|a －2|≥1.解之得a ≤1或a ≥3.答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)9．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：∵对∀a ，b ∈R 都有|a －b |≤|a |＋|b |∴|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2×1＋2＝5. 答案：5三、解答题10．已知函数f (x )＝log 2(|2x ＋1|＋|x ＋2|－m )．(1)当m ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－73或x >13.(2)m ≤|2x ＋1|＋|x ＋2|－2及g (x )＝|2x ＋1|＋|x ＋2|－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －5，x ≤－2，－x －1，－2<x <－12，3x ＋1，x ≥－12.可知g (x )≥－12，∴m ≤－12.11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：(1)由|2x －1|<1得，－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .12．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集； 当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．[热点预测]13．不等式|x ＋1|－|x －2|>2的解集为________．解析：①当x ≤－1时，原不等式可化为－3>2，显然不成立；②当－1<x <2时，原不等式可化为2x －1>2，得x >32，故此时32<x <2； ③当x ≥2时，原不等式可化为3>2，显然恒成立，故此时x ≥2. 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 14．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x ∈R 恒成立，则需a 2－3a 大于等于函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值．又y max ＝4，故a 2－3a ≥4，得a ≤－1或a ≥4.答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)15．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )的图象的上方，求m 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，不等式的解集为R ；当a <1时，即|x －2|>1－a ，即x －2<a －1或x －2>1－a ，即x <a ＋1或x >3－a ，解集为(－∞，1＋a )∪(3－a ，＋∞)．(2)函数f (x )的图象恒在函数g (x )的图象的上方，即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立．由于|x－2|＋|x＋3|≥5，所以m的取值范围是(－∞，5)．。

考点69 不等式的性质及绝对值不等式1．选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2),使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)又，所以．故实数的取值范围为．2．（选修4-5：不等式选讲） 已知函数．（1）求的最大值；（2）设，，，且，求证：．【答案】(1)m=3; (2) ∵， ∴．当且仅当，即，，时取等号，即.3．选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c R +∈.（1）求证：；（2）求函数的零点个数.【答案】(1)见解析;(2)见解析.4．设函数．（1）设的解集为，求集合；（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），求证：．【答案】（1）；（2）见解析5．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于实数,x y，有，1233y-≤求证：()23f x≤.【答案】（1）1a≤；（2）见解析.【解析】（1）根据题意可得恒成立，即，化简得，而是恒成立的，所以3322a≥，解得1a≤；（2），所以()23f x ≤. 6．已知定义在R 上的函数*N ，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值； （2）若，求证：4118αβ+≥.【答案】（1）1m =；（2）见解析.7．[选修4-5：不等式选讲] 已知a ， b ， c 为正实数，且．求证：．【答案】详见解析 【解析】因为，所以3abc ≥，所以， 当且仅当时，取“=”．12．选修4-5：不等式选讲 若不等式对于任意都成立．（1）求的值；（2）设，求证：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析13．选修4-5不等式选讲已知是常数，对任意实数，不等式都成立．（1）求的值；（2）设，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.14．已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于15．已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)解：不等式可化为：①当时，①式为，解得；当，①式为，解得；当x > 1时，①式为，无解．16．选修4-5：不等式选讲设，记的解集为．（1）求集合；（2）已知，比较与的大小．【答案】（1）（2）当时，；当时，；当时，．【解析】（1）由，得或或解得，17．已知函数，若的最小值为1．（1）求实数的值；（2）若，且m，n均为正实数，且满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法。

2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式。

3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值。

一、比较法证明不等式 (1)求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法．二、综合法与分析法 1．综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．3．平均值不等式定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．4．一般形式的算术—几何平均值不等式如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．高频考点一 用分析法证明不等式【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab≥ 3(a ＋b ＋c ).(2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥ a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .【方法规律】当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、均值不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【变式探究】已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).高频考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【方法规律】(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和均值不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【变式探究】设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2， 所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c＝2.高频考点三 柯西不等式的应用 【例3】 已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.【变式探究】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.【变式探究】 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32. 证明 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝ 6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立.1. （2018年全国I 卷理数）[选修4–5：不等式选讲] 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲] 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。