最新-高中数学 课后强化训练(含详解) 314 新人教版必修4 精品

2.4第2课时一、选择题1．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )A.655B.65C.135D.13[答案] A[解析] ∵cosθ＝a·b |a|·|b|＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝22＋32×55＝655.2．(08·海南文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( ) A．－1 B．1C．－2 D．2[答案] A[解析] a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，∴λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)， ∵λa ＋b 与a 垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0， ∴λ＝－1，故选A.3．(2010·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( ) A.12B ．1C.32D. 3[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×12＝1.4．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．150°C ．210°D ．30°或150°[答案] B[解析] 由a ·b <0知，a 、b 夹角是钝角， ∵S △ABC ＝154，∴12×3×5×sin A ＝154，∴sin A ＝12，∵A 为钝角，∴A ＝150°.5．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)[答案] B[解析] 方法1：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ②将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32.方法2：排除法，D 中y ＝0不合题意；C 不是单位向量，舍去；代入A ，不合题意，故选B. 6．(2010·四川理，5)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1[答案] C[解析] ∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴△ABC 是以A 为直角顶点的三角形， 又M 是BC 的中点，则|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.7．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θ B ．θ－π2C.π2＋θD ．θ[答案] A[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，∴a 与b 的夹角为3π2－θ.解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ.8．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b | [答案] C[解析] 由已知(a ＋b )2＝b 2，即2a ·b ＋|a |2＝0.∵|2a ＋b |2－|2a |2＝4a ·b ＋|b |2＝|b |2－2|a |2符号不能确定，∴A 、B 均不对． ∵|a ＋2b |2－|2b |2＝|a |2＋4a ·b ＝|a |2－2|a |2＝－|a |2<0.故选C.9．设A (a,1)、B (2，b )、C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14 [答案] A[解析] 据投影定义知，OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|⇒OA →·OC →－OB →·OC →＝0⇒BA →·OC →＝0， ⇒4(a －2)＋5(1－b )＝0⇒4a －5b ＝3.10．(08·浙江)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22[答案] C[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )·c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.二、填空题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则与2a －b 同方向的单位向量e 为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35 [解析] ∵2a －b ＝2(1,2)－(－2,1)＝(4,3)， ∴同方向的单位向量e ＝(4，3)42＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35. 12．(2010·金华十校)△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OB →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0， ∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.13．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________． [答案] 4[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∵(a －b )⊥c ，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝0. 即|a |2－|b |2＝0，∴|a |＝|b |＝1， ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋b 2＝1＋0＋1＝2. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 三、解答题14．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t .[解析] (1)a ＋t b ＝(2t －3,2＋t )，|a ＋t b |2＝(2t －3)2＋(2＋t )2＝5t 2－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495，当t ＝45时，|a ＋t b |取得最小值755. (2)a －t b ＝(－3－2t,2－t )，因为a －t b 与c 共线，所以3＋2t －6＋3t ＝0，即t ＝35.15．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，若BC →∥DA →，AC →⊥BD →. (1)求x 、y 的值； (2)求四边形ABCD 的面积．[解析] (1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)， ∴DA →＝(－4－x,2－y )，由BC →∥DA →得，x (2－y )＋y (4＋x )＝0① AC →＝AB →＋BC →＝(6＋x ，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，由AC →⊥BD →得，(6＋x )(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0② 由①②解得x ＝2，y ＝－1或x ＝－6，y ＝3. (2)当x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8,0)，BD →＝(0,4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×8×4＝16；当x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×4×8＝16.16．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t －3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k＝f (t )；(3)求函数k ＝f (t )的最小值． [解析] (1)由a ·b ＝32－32＝0，得a ⊥b . (2)由x ⊥y 得，x ·y ＝[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.－k a 2＋t (t －3)b 2＝0. ∴k ＝14t (t －3)．(3)k ＝14t (t －3)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，所以当t ＝32时，k 取最小值－916.17．如图所示，已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 是BC 边上的高，求AD →及点D 的坐标．[解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，∵AD 是BC 边上的高， ∴AD →⊥BC →，CD →与BC →共线．又AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)． CD →＝(x ＋3，y ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，－3(x ＋3)＋6(y ＋1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴D 点坐标为(1,1)，∴AD →＝(－1,2)．18．已知O 为平面直角坐标系的原点，设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB .若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]．则OM →＝(6t,3t )， 即M (6t,3t )．∴MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0， 即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎪⎫225，115.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.4 第4课时一、选择题1．要得到函数y ＝tan x 图象，只需将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移π12个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向右平移π12个单位 [答案] C[解析] 将y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6中的x 换作x －π6可得到y ＝tan x ，故右移π6个单位． 2．如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <π C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π [答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0－tan x ≥0得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≤0， 又x ∈(0,2π)，∴π2<x ≤π，故选C. 3．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．π B.2π|ω| C.π|ω|D ．与a 值有关 [答案] C[解析] 利用图象知，直线y ＝a 与正切曲线y ＝tan ωx 相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为π|ω|，∴应选C. 4．函数f (x )＝tan2x tan x的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎨⎧ x ≠k π2x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，∴x ≠k π4，k ∈Z ，∴选A. 5．(08·江西)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是()[答案] D[解析] ∵π2<x ≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ，π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D.6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是() A ．－π6 B.π6C ．－π12 D.π12[答案] A[解析] ∵函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6.7．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，k π＋π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z[答案] C[解析] ∵k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－3π4<x <k π＋π4(k ∈Z )．8．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.9．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5[答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π7<tan 3π7；tan 3π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan 2π5，tan ⎝⎛⎭⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎫－15π8＝tan π8，∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π7>tan ⎝⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫－12π5<tan ⎝⎛⎭⎫－13π4，故选D.10．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象()A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位 [答案] C二、填空题11．函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12， ∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .12．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________． [答案] cos 65π<sin 25π<tan 75π [解析] cos 65π<0，sin 25π>0，tan 75π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋25π＝tan 25π>0，由25π的正切线与正弦线可知：tan 25π>sin 25π，∴cos 65π<sin 25π<tan 75π. 13．函数y ＝log 12tan x 的定义域是________________． [答案] {x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z } [解析] 要使函数有意义，必须log 12tan x ≥0， ∴0<tan x ≤1，∴k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z ， ∴该函数的定义域是{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }． 14．ω是正实数，如果函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么ω的取值范围是________．[答案] 0<ω≤32[解析] 解法一：2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，由题意：－π2ω≤－π3①，π2ω≥π4②，由①得ω≤32，由②得ω≥2，∴0＜ω≤32. 解法二：∵ω>0，∴据正弦函数的性质f (x )在[－π3，π4]上是增函数，则f (x )在[－π3，π3]上是增函数，又f (x )周期T ＝2πω， 由T 2≥2π3得0<ω≤32. 15．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.[答案] 2 π2[解析] ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0＜θ＜π，∴θ＝π2，y ＝2cos ωx ，y ∈[－2,2] ∴y ＝2与y ＝2cos ωx 交点为最高点，由题设条件知，最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 三、解答题16．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1； (3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得 k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 17．求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间． [解析] y ＝1(tan x －1)2＋1，∵(tan x －1)2＋1≥1， ∴值域是(0,1]，递增区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4k ∈Z ； 递减区间是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2k ∈Z . 18．求下列函数的定义域．(1)y ＝2＋log 12x ＋tan x ； (2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ；(3)f (x )＝1＋2cos x tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. [解析] (1)x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋log 12x ≥0tan x ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )， ∴0<x <π2或π≤x ≤4， ∴所求定义域为(0，π2)∪[π，4]． (2)x 应满足⎩⎨⎧ 2sin x －2>01－2cos x ≥0，∴⎩⎨⎧ sin x >22cos x ≤12， 利用单位圆中的三角函数线，可得∴π3＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )， ∴所求定义域为[2k π＋π3，2k π＋3π4](k ∈Z )．(3)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋2cos x ≥0tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3x ≠k π＋π4x ≠k π－π4(k ∈Z )．∴x ∈⎣⎡⎭⎫2k π－2π3，2k π－π4∪⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋π4∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋2π3. [点评] 对于(1)要注意根据0<x ≤4去适当选择整数k 的取值．对于(2)运用三角函数图象也可以，但出现多种三角函数时，还是用单位圆中的三角函数线为宜．(3)不仅要考虑偶次方根下非负，分母不等于0，还要使tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4有意义．。

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A[解析] ∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.2．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，tan600°＝a－4， ∴a ＝－4tan600°＝－4tan60°＝－4 3. 3．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 [答案] D[解析] ∵y ＝(sin x －cos x )2－1＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin2x ， ∴函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为π，且是奇函数． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] x ＝0时，y <0，排除B 、D ， x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A. 5．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π2＋π3)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，由y ＝sin2x 的图象得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π第3页[答案] C[解析] 画出函数y ＝|sin x |的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，所以当k ＝1时，得到y ＝|sin x |的一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫π，3π2，故选C. 7．(08·四川)设0≤α≤2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，3π2[答案] C[解析] ∵sin α>3cos α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos α>0tan α>3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0tan α<3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0sin α＝1，∴π3<α<4π3. [点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sin π2>3cos π2＝0，排除A ；α＝π时，0＝sinπ>3cosπ＝－3，排除B ；α＝4π3时，sin 4π3＝－32，3cos 4π3＝－32，∴sin 4π3＝3cos 4π3，排除D ，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3. 8．方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y 1＝sinπx ，y 2＝14x 的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．9．已知△ABC 是锐角三角形，P ＝sin A ＋sin B ，Q ＝cos A ＋cos B ，则( ) A ．P <QB ．P >QC ．P ＝QD ．P 与Q 的大小不能确定[答案] B[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，A ＋B >π2，∴A >π2－B ，B >π2－A ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >cos B ，sin B >cos A ， ∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，∴P >Q .10．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0D ．－3或3[答案] D[解析] f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值． 11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6)第5页[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式． 由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝0，故选D.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的最小值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5[答案] C[解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若1＋sin 2θ＝3sin θcos θ则tan θ＝________. [答案] 1或12[解析] 由1＋sin 2θ＝3sin θcos θ变形得2sin 2θ＋cos 2θ－3sin θcos θ＝0⇒(2sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ)＝0， ∴tan θ＝12或1.14．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________． [答案] [－4，－π]∪[0，π][解析] 要使函数有意义，则⎩⎨⎧16－x 2≥0sin x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤42k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，∴－4≤x ≤－π或0≤x ≤π.15．已知集合A ＝{α|30°＋k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }，集合B ＝{β|－45°＋k ·360°<β<45°＋k ·360°，k ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z } [解析] 如图可知，A ∩B ＝{α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }．16．若a ＝sin(sin2009°)，b ＝sin(cos2009°)，c ＝cos(sin2009°)，d ＝cos(cos2009°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．[答案] b <a <d <c[解析] ∵2009°＝5×360°＋180°＋29°， ∴a ＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)<0， b ＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)<0， c ＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)>0， d ＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)>0， 又0<sin29°<cos29°<1<π2，∴b <a <d <c .[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a，若θ为第二象限角，求实数a 的值． [解析] ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0. ∴1－a 1＋a >0，3a －11＋a<0，解之得，－1<a <13.第7页又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －11＋a 2＝1，解之，得a ＝19或a ＝1(舍去)．故实数a 的值为19.18．(本题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . [解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M 、N . 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ，∴sin y －cos 2x ＝12－cos x －cos 2x＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12－cos x ≤1，解得－12≤cos x ≤1，所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34，当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32.[点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ； (2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎨⎧ymax ＝a ＋b ＝32ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1，∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x . ∴此函数的周期T ＝2π3，当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；第9页当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ， ∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )， ∴y ＝－2sin3x 为奇函数．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示．试依图推出：(1)f (x )的最小正周期； (2)f (x )的单调递增区间；(3)使f (x )取最小值的x 的取值集合． [解析] (1)由图象可知，T 2＝74π－π4＝32π，∴T ＝3π.(2)由(1)可知当x ＝74π－3π＝－54π时，函数f (x )取最小值，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－54π＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )． (3)由图知x ＝74π时，f (x )取最小值，又∵T ＝3π，∴当x ＝74π＋3k π时，f (x )取最小值，所以f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝74π＋3k π，k ∈Z .22．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ；③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1.因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <－2)－a22－2a －1 (－2≤a ≤2)1－4a (a >2).(2)∵g (a )＝12.∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾；②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)． ∴g (a )＝12时，a ＝－1.此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为5.。

第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425C.2425 D ．±2425[答案] C[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35，当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝35×45－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时，sin β＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×35＝0.又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425. [点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D.(2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β.2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B.5π4＜θ＜7π4C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4 [答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位得到B ．向右平移π8个单位得到C ．向左平移π4个单位得到D ．向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＝2sin2(x ＋π8)y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π8)其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π8∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215° [答案] B[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A.cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62B.54 C.32 D.23 [答案] B[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( ) A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．8 [答案] D[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x12sin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.7．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12C ．2，－1D ．2，－2 [答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴f (x )最小值为－1，最大值为2.8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( ) A ．4 B ．－6 C ．－3 D ．－4 [答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6 [答案] C[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0<C <π，∴C ＋π6＝5π6，故C ＝2π3.10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32B. 3C.158D.157[答案] D[解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tan θ＝115， tan A ＝tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2151－115＝157，故选D. 11．(09·江西理)若函数 f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)．又∵0≤x <π2，∴当x ＝π3时，y 取最大值为2.12．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. [答案]3[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. 14.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12sin20°＝4cos70°sin20°＝4.15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45.∵β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－5665.16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得，k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值． [解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得，sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，则cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝210. 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值．[解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b＝－2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5，当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1.20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．[解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin B (sin A －cos A )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π4－B )＝0，即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0.由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得 sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2C .因为0<B 、C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2.即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2.由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin B (sin A －cos A )＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A . 由A ∈(0，π)，知A ＝π4.从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求．再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6、⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )递增， ∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3.当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2.莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

模块综合素质检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知sin α＝－22，π2<α<3π2，则角α等于( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π4 [答案] D2．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( ) A ．[－4,6] B ．[－6,4] C ．[－6,2] D ．[－2,6] [答案] C[解析] 由|a ＋b |≤5平方得a 2＋2a ·b ＋b 2≤25， 由题意得8＋2(－10＋2k )＋25＋k 2≤25，即k 2＋4k －12≤0，(k ＋6)(k －2)≤0，求得－6≤k ≤2.故选C. 3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π [答案] C[解析] 由f (x )＝|sin x ＋cos x |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，而y ＝2sin(x ＋π4)的周期为2π，所以函数f (x )的周期为π，故选C.[点评] 本题容易错选D ，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响． 4．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴a ·c ＝0，∴a ·(a ＋b )＝0， 即a ·b ＝－|a |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－|a |2|a |·|b |＝－12，∴θ＝120°.5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z [答案] A[解析] ∵k π－π2<2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π4<2x <k π＋3π4，k ∈Z .∴k π2－π8<x <k π2＋3π8，k ∈Z . 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)[答案] C[解析] 设(－10,10)为A,5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v . 所以(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5所以选C. 7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1 D ．2π， 2 [答案] A[解析] y ＝sin2x cos π6＋cos2x ·sin π6＋cos2x cos π3－sin2x sin π3＝32sin2x ＋12cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝cos2x ，∴函数的最小正周期为π，最大值为1.8．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) [答案] D[解析] 设d ＝(x ，y )，由题意4a ＝(4，－12),4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4，－2)．又表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，即(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，求得向量d ＝(－2，－6)．9．若sin α＋cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则角α所在区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2 [答案] C[解析] tan α＝sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴22<sin(α＋π4)≤1. ∴1<tan α≤2< 3.∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3)．故选C. 10．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 [答案] B[解析] 由条件知a ＝(1，－2)，b ＝(1，m )， ∵a 与b 的夹角为锐角， ∴a ·b ＝1－2m >0，∴m <12.又a 与b 夹角为0°时，m ＝－2，∴m ≠－2.[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论． 11．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos xC ．sin xD ．－cos x [答案] D[解析] 当f (x )＝1时，F (x )＝sin x ＋1；当f (x )＝sin x 时，F (x )＝2sin x .此两种情形下F (x )的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；对B 选项，当f (x )＝cos x 时，F (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；D 选项是正确的． 12．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 [答案] B[解析] ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.∴sin(A －B )＝0.∴A －B ＝k π(k ∈Z )．又A 、B 为三角形的内角，∴A －B ＝0.∴A ＝B .则三角形为等腰三角形．[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝cos2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝________. [答案] π[解析] y ＝cos2x ＋sin x cos x ＝cos2x ＋12sin2x＝52sin(2x ＋φ)， ∴函数f (x )的周期T ＝2π2＝π.14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. [答案] 1[解析] ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， ∵α、β为锐角，∴cos α≠0，cos β≠0， 上式两边同除以cos αcos β得1－tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β＋tan αtan β－1＝0， ∴(1＋tan β)(tan α－1)＝0， ∵β为锐角，∴tan β＞0，∴1＋tan β≠0，∴tan α－1＝0即tan α＝1.15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] 由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC 为等腰三角形，其中角C ＝90°，则两直角边的高的交点为C ，即C 与H 重合．而O 为斜边AB 的中点，所以OA →与OB →为相反向量，所以有OA →＋OB →＝0，于是OH →＝mOC →，而C 与H 重合，所以m ＝1.16．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin 3π2＝－3，①正确； f ⎝⎛⎭⎫2π3＝3sinπ＝0，②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，③正确； 由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x ， 由已知f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，得m ＝1. (2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值1－2， 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1得，2x ＋π4＝2k π－π2， 即x ＝k π－3π8(k ∈Z )所以f (x )取得最小值时，x 值的集合为 x |x ＝k π－3π8，k ∈Z . 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．[解析] (1)由cos x ≠0得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35，故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4cos α＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin2α－22cos2αcos α＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． [解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，且定义域为R ，∴函数g (x )是偶函数． 20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14，0°<α<90°.(1)求α的值；(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．[解析] (1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α) ＝12sin(90°＋2α)＝12cos2α，∴12cos2α＝－14.即cos2α＝－12. ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°， ∴2α＝120°，α＝60°.(2)sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°·cos50°－3sin50°cos50°＝2sin70°cos50°⎝⎛⎭⎫12cos50°－32sin50°＝2sin70°cos110°cos50°＝－2sin70°sin20°cos50°＝－2cos20°sin20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－1.21．(本题满分12分)(2010·江西文，19)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x sin x ·sin 2x －2(22sin x ＋22cos x )(22sin x －22cos x )＝sin 2x ＋cos x sin x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x ∴f (α)＝cos 2α＋sin αcos α1＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝35.(2)由(1)知，f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋sin2x 2＝22sin(2x ＋π4)＋12， ∵π12≤x ≤π2⇒5π12≤2x ＋π4≤5π4⇒－22≤sin(2x ＋π4)≤1⇒0≤f (x )≤2＋12，∴f (x )∈[0，2＋12]． 22．(本题满分14分)设平面上向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b ＝(－12，32)．(1)试证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求角α.[解析] (1)(a ＋b )·(a －b )＝(cos α－12，sin α＋32)·(cos α＋12，sin α－32)＝(cos α－12)(cos α＋12)＋(sin α＋32)(sin α－32)＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)由|a |＝1，|b |＝1，且|3a ＋b |＝|a －3b |，平方得(3a ＋b )2＝(a －3b )2，整理得2a 2－2b 2＋43ab ＝0①.∵|a |＝1，|b |＝1，∴①式化简得a ·b ＝0，a ·b ＝(cos α，sin α)·(－12，32)＝－12cos α＋32sin α＝0，即cos(60°＋α)＝0.∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.[点评] (1)问可由|a |＝1，|b |＝1得，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．。

高中数学 3.1.1课后强化训练（含详解） 新人教A 版必修4一、选择题1．已知锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β＝( )A.3365B ．－3365C.5475 D ．－5475[答案] A[解析] ∵α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.2．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( ) A ．0 B.12 C.32D ．－12[答案] B[解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15° ＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.3．已知cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝( )A.33－410B.33＋410C.33－45D.32[答案] B[解析] ∵cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝cos θ·cos π6＋sin θ·sin π6 ＝35×32＋45×12＝33＋410. 4．α、β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上均不对 [答案] A[解析] ∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π， 又∵cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，∴0<2α＋β<π，又∵cos(2α＋β)＝35，∴0<2α＋β<π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.5．(08·山东理)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45 [答案] C[解析] ∵cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－32sin α－12cos α＝－45.故选C. 6．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×35＋⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， 故选C.7．在△ABC 中，若cos A ＝1213，cos B ＝725，则cos C 的值是( )A.36325 B.204325 C.36325或204325 D ．－36325[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝1213，cos B ＝725，∴sin A ＝513，sin B ＝2425，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos[A －(－B )]＝－cos A cos(－B )－sin A sin(－B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝513×2425－1213×725＝36325，故选A. 8．cos π12＋3sin π12的值为( )A ．－ 2 B. 2 C.12 D. 3 [答案] B[解析] ∵cos π12＋3sin π12＝2⎝⎛⎫12cos π12＋32sin π12 ＝2⎝⎛⎭⎫cos π3cos π12＋sin π3sin π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝ 2. [点评] 创造条件应用公式是三角恒等变换的重要技能技巧．9．已知α、β为锐角，cos α＝45，cos β＝1213，则tan(α－β)的值为( )A.1516 B.1663 C.6365 D.1615 [答案] B[解析] ∵α、β为锐角，∴－π2<α－β<π2，又∵cos α＝45，cos β＝1213，∴sin α＝35，sin β＝513，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝45×1213＋35×513＝6365. ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，sin α＝35>513＝sin β，∴α>β. ∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫63652＝1665.∴tan(α－β)＝sin(α－β)cos(α－β)＝1663.10．若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34D ．1 [答案] A[解析] 将条件式两边分别平方相加得： 2－2sin αsin β－2cos αcos β＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝12.二、填空题11.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝________. [答案]32[解析] ⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12 ＝cos π12cos π12－sin π12sin π12＝cos π12cos ⎝⎛⎭⎫－π12＋sin ⎝⎛⎭⎫π12sin ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝cos π6＝32. 12.12cos15°＋32sin15°＝________. [答案]22[解析] 12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15° ＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22. 13．若α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则cos β的值为________．[答案]2425[解析] ∵cos α＝45，α为锐角，∴sin α＝35.又∵cos(α＋β)＝35，α、β为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝35×45＋35×45＝2425.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案] 3[解析] 2cos10°－sin20°cos20°＝2cos(30°－20°)－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.三、解答题15．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值． [解析] ∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4 ＝－1213·22＋⎝⎛⎭⎫－513·22＝－17226.16．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. [分析] 观察已知角和所求角，可知α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，故可利用两角差的余弦公式求解． [解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋23×459＝7527.17．已知△ABC 中，sin C ＝45，cos B ＝－23，求cos A .[解析] 在△ABC 中，由cos B ＝－23，可得sin B ＝53，且B 为钝角，∴C 为锐角，∴cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ＝－1－sin 2C ＝－35.sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝45，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515. [点评] 本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A ＋B )＝35⎝⎛⎫或±35而致误． 18．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． [解析] ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.又cos(α＋β)＝－1114，0<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437 ＝60－1198＝12.。

模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713 [答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711.2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x[答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧－3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎨⎧－sin x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665 [答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角， ∴B >A ，∴A 为锐角， ∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ>－5 B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5， 当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＝k 1＝3k，∴⎩⎨⎧k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2 [答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 [答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0， ∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1， ∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 [答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 [答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2) ＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2， ∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →， ∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) [答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心； 由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →得 PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，P A ⊥BC ， ∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． [答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________. [答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →① c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________． [答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2， 依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2， 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )． 19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2， 由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值．[解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0， ∴ω的取值范围是0<ω≤1. (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β) ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β， 当sin2β＝－1时，最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴φ＝π4；(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4， g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一． (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4. g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4 ＝sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4， 即2sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立． ∴cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )， 从而，最小正实数m ＝π12.。

高中数学 1.4 第4课时课后强化训练（含详解） 新人教A 版必修4一、选择题1．要得到函数y ＝tan x 图象，只需将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π12个单位[答案] C[解析] 将y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6中的x 换作x －π6可得到y ＝tan x ，故右移π6个单位． 2．如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π [答案] C[解析] 由⎩⎨⎧sin x ≥0－tan x ≥0得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≤0，又x ∈(0,2π)，∴π2<x ≤π，故选C.3．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( ) A ．π B.2π|ω| C.π|ω| D ．与a 值有关[答案] C[解析] 利用图象知，直线y ＝a 与正切曲线y ＝tan ωx 相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为π|ω|，∴应选C.4．函数f (x )＝tan2xtan x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎨⎧x ≠k π2x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，∴x ≠k π4，k ∈Z ，∴选A.5．(08·江西)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是()[答案] D[解析] ∵π2<x ≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ， π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D.6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π12[答案] A[解析] ∵函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6.7．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，k π＋π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [答案] C[解析] ∵k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－3π4<x <k π＋π4(k ∈Z )．8．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.9．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π7>tan ⎝⎛⎭⎫－15π8， tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5. 又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫－12π5<tan ⎝⎛⎭⎫－13π4，故选D. 10．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[答案] C 二、填空题11．函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .12．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________．[答案] cos 65π<sin 25π<tan 75π[解析] cos 65π<0，sin 25π>0，tan 75π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋25π＝tan 25π>0，由25π的正切线与正弦线可知：tan 25π>sin 25π，∴cos 65π<sin 25π<tan 75π.13．函数y ＝log 12tan x 的定义域是________________． [答案] {x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }[解析] 要使函数有意义，必须log 12tan x ≥0，∴0<tan x ≤1，∴k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴该函数的定义域是{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }．14．ω是正实数，如果函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么ω的取值范围是________．[答案] 0<ω≤32[解析] 解法一：2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，由题意：－π2ω≤－π3①，π2ω≥π4②，由①得ω≤32，由②得ω≥2，∴0＜ω≤32.解法二：∵ω>0，∴据正弦函数的性质f (x )在[－π3，π4]上是增函数，则f (x )在[－π3，π3]上是增函数，又f (x )周期T ＝2π，由T 2≥2π3得0<ω≤32. 15．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.[答案] 2 π2[解析] ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0＜θ＜π， ∴θ＝π2，y ＝2cos ωx ，y ∈[－2,2]∴y ＝2与y ＝2cos ωx 交点为最高点， 由题设条件知，最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2. 三、解答题16．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1； (3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．17．求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间．[解析] y ＝1(tan x －1)2＋1，∵(tan x －1)2＋1≥1，∴值域是(0,1]，递增区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4k ∈Z ； 递减区间是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2k ∈Z . 18．求下列函数的定义域． (1)y ＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ； (3)f (x )＝1＋2cos xtan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. [解析] (1)x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0tan x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )， ∴0<x <π2或π≤x ≤4，∴所求定义域为(0，π2)∪[π，4]．(2)x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －2>01－2cos x ≥0，∴⎩⎨⎧sin x >22cos x ≤12，利用单位圆中的三角函数线，可得 ∴π3＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )， ∴所求定义域为[2k π＋π3，2k π＋3π4](k ∈Z )．(3)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋2cos x ≥0tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3x ≠k π＋π4x ≠k π－π4(k ∈Z )．∴x ∈⎣⎡⎭⎫2k π－2π3，2k π－π4∪⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋π4∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋2π3. [点评] 对于(1)要注意根据0<x ≤4去适当选择整数k 的取值．对于(2)运用三角函数图象也可以，但出现多种三角函数时，还是用单位圆中的三角函数线为宜．(3)不仅要考虑偶次方根下非负，分母不等于0，还要使tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4有意义．。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第一、二章综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32[答案] C[解析] 由AC →＝25AB →知，|AC→BC →|＝，且方向相反，∴AC →＝－23BC →，∴λ＝－23.2．要想得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只须将y ＝cos x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移5π6个单位D ．向左平移5π6个单位[答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6， ∴将y ＝cos x 的图象向右移5π6个单位可得到 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 3．设e 1与e 2是不共线向量，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a ∥b 且a ≠b ，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)， ∴k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴λ＝k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ≠1.[点评] e 1与e 2不共线，又a ∥b ，∴可知1k ＝k1，∴k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ＝－1.一般地，若e 1与e 2不共线，a ＝m e 1＋n e 2，b ＝λe 1＋μe 2，若a ∥b ，则有m λ＝nμ.4．若sin θ＝m ，|m |<1，－180°<θ<－90°，则tan θ等于( ) A.m1－m 2B ．－m1－m 2 C ．±m1－m 2D ．－1－m 2m[答案] B[解析] ∵－180°<θ<－90°，∴sin θ＝m <0，tan θ>0， 故可知tan θ＝－m 1－m 2.5．△ABC 中，AB →·BC →<0，BC →·AC →<0，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] C[解析] 由AB →·BC →<0知，∠ABC 为锐角；由BC →·AC →<0知∠ACB 为钝角，故选C. 6．设α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵α为第二象限角，∴α2为第一或三象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴选C. 7．已知点A (2，－1)，B (4,2)，点P 在x 轴上，当P A →·PB →取最小值时，P 点的坐标是( ) A ．(2,0) B ．(4,0) C.⎝⎛⎭⎫103，0 D ．(3,0) [答案] D[解析] 设P (x,0)，则P A →＝(2－x ，－1)，PB →＝(4－x,2)，P A →·PB →＝(2－x )(4－x )－2＝x 2－6x ＋6＝(x －3)2－3，当x ＝3时，取最小值－3，∴P (3,0)．8．O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] ∵|OB →－OC →|＝|OC →＋OB →－2OA →|，∴|CB →|＝|AB →＋AC →|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB 、AC 为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴AB →⊥AC →.9．如图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2 [答案] A[解析] 由图知：T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，又A ＝2，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋(5)＋f (6)＝2sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sin 4π4＋sin 5π4＋sin 6π4＝2sin 3π4＝ 2.[点评] 观察图象可知f (x )的图象关于点(4,0)中心对称，故f (3)＋f (5)＝0，f (2)＋f (6)＝0，又f (4)＝0，故原式＝f (1)＝ 2.10．已知y ＝A sin(ωx ＋φ)在同一周期内，x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 [答案] B[解析] 由条件x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12可知，A ＝12，T 2＝4π9－π9，∴T ＝2π3，∴ω＝3，∴y ＝12sin(3x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π9，12代入得，12＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ， ∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6， 取k ＝0知选B.11．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.13 [答案] B[解析] 如图，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →，∴OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，∴S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.12．已知sin α＋cos α＝713 (0<α<π)，则tan α＝( )A ．－512B ．－125C.512D ．－125或－512[答案] B[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0，且|sin α|>|cos α|， ∴tan α<0且|tan α|>1，故选B.解法二：两边平方得sin αcos α＝－60169，∴tan αtan 2α＋1＝－60169，∴60tan 2α＋169tan α＋60＝0， ∴(12tan α＋5)(5tan α＋12)＝0， ∴tan α＝－125或－512，∵0<α<π，sin α＋cos α＝713>0，∴tan α＝－125.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为________． [答案] 8πcm 2[解析] ∵72°＝π180×72＝2π5，∴l ＝2π5×20＝8π，S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 14．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，m )且a 与b 夹角为锐角，则m 的取值范围是________． [答案] m >－32且m ≠83[解析] a ·b ＝6＋4m >0，∴m >－32，又当a 与b 同向时，23＝m 4，∴m ＝83，故m >－32且m ≠83.15．集合A ＝{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }，B ＝{x |sin x >12}，则A ∩B ＝________.[答案] {x |π6＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z }∪{x |3π4＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }[解析] B ＝{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．如图可求A ∩B .16．已知θ为第三象限角，1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0，则5sin 2θ＋3sin θcos θ＝________. [答案]265[解析] ∵1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0， ∴sin 2θ－sin θcos θ－2cos 2θ＝0， ∴(sin θ－2cos θ)(sin θ＋cos θ)＝0， ∵θ为第三象限角，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴5sin 2θ＋3sin θcos θ＝5tan 2θ＋3tan θtan 2θ＋1＝265.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－12，求 cos(θ＋π)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ[]cos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)·cos(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋5π2的值．[解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－12，∴sin θ＝12， 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝8.18．(本题满分12分)已知A (－1,2)，B (2,8)． (1)若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，求CD →的坐标；(2)设G (0,5)，若AE →⊥BG →，BE →∥BG →，求E 点坐标． [解析] (1)∵AB →＝(3,6)，AC →＝13AB →＝(1,2)，DA →＝－23AB →＝(－2，－4)，∴C (0,4)，D (1,6)，∴CD →＝(1,2)．(2)设E (x ，y )，则AE →＝(x ＋1，y －2)，BE →＝(x －2，y －8)，∵BG →＝(－2，－3)，AE →⊥BG →，BE →∥BG →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2(x ＋1)－3(y －2)＝0－3(x －2)＋2(y －8)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－2213y ＝3213.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－2213，3213. 19．(本题满分12分)在▱ABCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝3MB ，点N 在BD 上，且BN →＝λBD →，C 、M 、N 三点共线，求λ的值．[证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BD →＝e 2－e 1，BN →＝λBD →＝λ(e 2－e 1)，MB →＝14AB →＝14e 1，BC →＝AD →＝e 2，∴MC →＝MB →＋BC →＝14e 1＋e 2， MN →＝MB →＋BN →＝14e 1＋λ(e 2－e 1)＝λe 2＋⎝⎛⎭⎫14－λe 1， ∵M 、N 、C 共线，∴MN →与MC →共线，∵e 1与e 2不共线，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.20．(本题满分12分)是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x －1＋58a 在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上最大值为1？若存在，求出对应的a 值，若不存在，说明理由．[解析] y ＝－cos 2x ＋a cos x ＋5a 8＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋5a8，∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，∵最大值为1，∴(Ⅰ)⎩⎨⎧0≤a 2≤1a 24＋5a8＝1或(Ⅱ)⎩⎨⎧a 2<05a8＝1或(Ⅲ)⎩⎨⎧a 2>1－1＋a ＋5a8＝1，由(Ⅰ)解得a ＝89－54，(Ⅱ)(Ⅲ)无解， ∴a ＝89－54. [点评] 此类问题一般把cos x (或sin x )看成未知数整理为二次函数，然后由x 的范围，得出cos x (或sin x )的取值范围A 后，分为①A 在对称轴左侧(或右侧)，用单调性讨论；②对称轴在A 内，在顶点处取得最值．试一试解答下题：是否存在实数λ，使函数f (x )＝－2sin 2x －4λcos x ＋1⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．答案为λ＝58或12.21．(本题满分12分)(1)角α的终边经过点P (sin150°，cos150°)，求tan α. (2)角α的终边在直线y ＝－3x 上，求sin α、cos α. [解析] (1)∵P ⎝⎛⎭⎫12，－32，∴tan α＝－3212＝－ 3.(2)在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝－3x ，P 点到原点距离r ＝x 2＋y 2＝10|x |，当x >0时，r ＝10x ，∴sin α＝y r ＝－3x 10x ＝－31010，cos α＝x r ＝x 10x ＝1010，当x <0时，r ＝－10x ，∴sin α＝y r ＝31010，cos α＝x r ＝－1010.22．(本题满分14分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解析] (1)由图知A ＝3，34T ＝4π－π4＝15π4，∴T ＝5π，∴ω＝25，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ， ∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫8π5＋φ， ∴8π5＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－21π10， ∵|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由2k π＋π2≤25x －π10≤2k π＋3π2得，5k π＋3π2≤x ≤5k π＋4π (k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤5k π＋3π2，5k π＋4π (k ∈Z )． 函数f (x )的最大值为3，取到最大值时x 的集合为{x |x ＝5k π＋3π2，k ∈Z }． (3)解法一：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x 5－π10＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x 5－π10＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x 5－3π5 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤25⎝⎛⎭⎫x －3π2， 故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数． 解法二：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x 5－π10的图象的对称轴方程为25x －π10＝k π＋π2，∴x ＝5k π2＋3π2，当k ＝0时，x ＝3π2，k ＝－1时，x ＝－π，故至少左移3π2个单位． 解法三：函数f (x )在原点右边第一个最大值点为2x 5－π10＝π2，∴x ＝3π2，把该点左移到y 轴上，需平移3π2个单位．解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把⎝⎛⎭⎫π4，0点变为⎝⎛⎭⎫－5π4，0或把点(4π，－3)变为⎝⎛⎭⎫5π2，－3等，可知应左移3π2个单位．。

3.1.3一、选择题1．在△ABC中，若0<tan B tan C<1，则△ABC是( ) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不能确定[答案] B[解析] ∵0<tan B tan C<1，∴B，C均为锐角，∴sin B sin Ccos B cos C<1，∴cos(B＋C)>0，∴cos A<0，∴A为钝角．[点评] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tan B>0，tan C>0，∴tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B·tan C>0.∴B＋C为锐角，从而A为钝角．2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )A．f(x)＝3xB．f(x)＝sin xC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tan x[答案] B[解析] 对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，故选B.3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( ) A．1B．2C．tan10°D.3tan20° [答案] A[解析] ∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°1－tan20°·tan10°，∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)， ∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°·tan10°) ＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.4．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )A.π3B ．－2π3C.π3或－2π3D ．－π3或2π3[答案] B[解析] 由韦达定理得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.[点评] 由tan α与tan β的和与积，先判断tan α与tan β的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：已知tan α、tan β是方程x 2＋3x －2＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值是( )A ．－π6B ．－2π3C.π6或－5π6D ．－π3或2π3[答案] A[解析] 由韦达定理得，⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－3tan α·tan β＝－2tan α与tan β一正一负，不妨设tan α>0，tan β<0，则0<α<π2，－π2<β<0，∴－π2<α＋β<π2，又tan(α＋β)＝－31－(－2)＝－33.∴α＋β＝－π6.5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( ) A ．tan α·tan β<1 B ．sin α＋sin β< 2 C ．cos α＋cos β>1 D.12tan(α＋β)<tan α＋β2 [答案] D[解析] 取特例，令α＝β＝π6可得，12tan(α＋β)＝32，tan α＋β2＝33， ∴12tan(α＋β)>tan α＋β2，∴D 不正确． 6.sin6°＋cos15°·sin9°cos6°－sin15°·sin9°的值为( )A ．2＋ 3 B.2＋32C ．2－ 3 D.2－32[答案] C[解析] sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°， c os6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3，故选C.7．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B.139 C.1315D.59 [答案] B[解析] ∵α是锐角，cos α＝45，故sin α＝35，tan α＝34∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝139.8．在△ABC 中，若tan B ＝cos(C －B )sin A ＋sin(C －B )，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] B[解析] 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以tan B ＝cos(C －B )sin A ＋sin(C －B )＝cos C cos B ＋sin C sin B sin(B ＋C )＋sin(C －B )＝cos C cos B ＋sin C sin B2cos B sin C ，即sin B cos B ＝cos C ·cos B ＋sin C sin B2cos B sin C，∴cos(B ＋C )＝0， ∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9．已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )A ．－7B ．7C ．－34D.34 [答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45，则tan α＝－34.∴tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.10．若a ＝tan20°，b ＝tan60°，c ＝tan100°，则1ab ＋1bc ＋1ca＝( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 [答案] B[解析] ∵tan(20°＋100°)＝tan20°＋tan100°1－tan20°tan100°，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即 tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°， ∴tan20°＋tan60°＋tan100°tan20°·tan60°·tan100°＝1，∴1ab ＋1bc ＋1ca＝1，选B.二、填空题11．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.[答案] tan42°[解析] 原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°·tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°.13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. [答案] 17[解析] tanα＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. [答案] 1[解析] tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30° ＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30° ＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1. 三、解答题15．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]． [分析] 对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x )＋(12°＋x )＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式．[解析] ∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )] ＝tan(18°－x )＋tan(12°＋x )1－tan(18°－x )·tan (12°＋x )＝tan30°＝33∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x ) ＝33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )] 于是原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3·33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]＝1.16．设tan α，tan β是方程ax 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－34.[解析] 由tan α，tan β是方程的两根得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a ＋1)2－4a (a ＋2)≥0a ≠0⇒a ≤14且a ≠0，又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝2a ＋1a tan α·tan β＝a ＋2a，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2a ＋1a1－a ＋2a＝－12－a ≥－12－14＝－34.∴tan(α＋β)的最小值是－34.17．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－ 3.因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根．解得：x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝30°，β＝45°. 所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.。