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河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（全国卷）数学（文）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1..已知复数23z i =-，若z 是复数z 的共轭复数，则(1)z z ⋅+=A ．153i -B ．153i +C ．153i -+D ．153i --2.已知集合{}2(,)4A x y x y ==，{}(,)B x y y x ==则A B 的真子集个数为A ．1B ．3C ．5D ．73.已知变量x ，y 之间满足线性相关关系^1.31y x =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m =A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.64.下列说法中，错误．．的是 A.若平面//α平面β，平面α平面l γ=，平面β平面m γ=，则//l m B.若平面α⊥平面β，平面α平面l β=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥C.若直线l α⊥，平面α⊥平面β，则//l βD.若直线//l 平面α，平面α平面m β=，l ⊂平面β，则//l m 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点(2,)M m 满足6MF =，则抛物线C 的方程为A ．22y x =B ．24y x = C.28y x = D ．216y x =6.运行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A ．4B ．1113 C. 1273 D ．25837.已知函数log ,3()8,3a x x f x mx x >⎧=⎨+≤⎩若(2)4f =，且函数()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为A ．B ．(1,2] C.⎛⎝⎦D ．)+∞8.4cos 3αα-=，则5cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．43 C.43- D ．239.如图，网格纸上正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.27B. 36C.48D.5410.现有A ，B ，C ，D ，E ，F 六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，A ，B 各踢了3场，C ，D 各踢了4场，E 踢了2场，且A 队与C 队未踢过，B 队与D 队也未踢过，则在第一周的比赛中，F 队踢的比赛的场数是A ．1B ．2 C.3 D ．411.已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率为A ．3 B．．212.已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围为A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(2,)+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足(3,)a λ=，(1,2)b λ=-，若//a b ，则λ= ．14.已知实数x ，y 满足20,,43,x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则13y x ++的取值范围为 ．15.如图所示，长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，图中5个圆分别为AEH ∆，BEF ∆，DHG ∆，FCG ∆以及四边形EFGH 的内切圆，若往长方形ABCD 中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为 ．16.已知函数4cos()()x x f x e ωϕ-+=(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，则ωϕ= ．三、解答题 :共70分。
2019-2020学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试数学（文科）试题一、选择题1．复数的虚部为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】由复数的概念可知虚部为，应选答案C。
2．大前提：若函数是奇函数，则小前提：是奇函数，结论：，则该推理过程（）A. 正确B. 因大前提错误导致结论出错C. 因小前提导致结论出错D. 因推理形式错误导致结论出错【答案】B【解析】该推理过程大前提是错的，应该是当奇函数在处有定义时，因为大前提错，所以导致结论错误，故选B.3．《数学选修1-2》的知识结构图如图所示，则“直接证明与间接证明”的“上位”要素是（）A. 推理与证明B. 统计案例C. 数系的扩充与复数的引入D. 框图【答案】A【解析】由题设中提供的知识结构图可知是推理证明，应选答案A。
4．某木材加工流程图如图所示，则木材在封底漆之前需要经过的工序有（）A. 9道B. 8道C. 7道D. 6道【答案】D【解析】由题设中提供的工序流程图可以看出需经过六道工序，应选答案D。
5．复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，故选D.6．若回归直线的斜率，则相关系数的取值范围为（）A. B. C. 0 D. 无法确定【答案】A【解析】由相关系数与回归直线的斜率之间的关系可知相关系数的取值范围是，应选答案A。
7．执行如图所示的路程图，则输出的的值等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出，所以，应选答案D。
8．设复数的共轭复数为，，则在复平面内复数对应的点位于（）A. 第三象限B. 第二或第四象限C. 第四象限D. 第三或第四象限【答案】B【解析】设复数，则，代入，可化为，解得或，所以或，复平面内复数对应的点位于第二或第四象限，故选B.9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内可以填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出中的步长是2，所以当时运算程序结束，输出，应选答案D。
2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
天一大联考2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学专生注意1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴答题卡上的指定位置，2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5,4,3,2,1,1-=A ，{}0)5)(1(<--∈=x x N x B ，则B C A =A ．{3}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{-1，1，5} 2．已知复数i iz +-=215，则z 的共轭复数为 A ．1 +3i B ．1-3i C ． -1 +3i D ． -1 -3i 3．在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是)9,,2,1(Λ=d d 的概率为)11lg(d+，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为A ．10%B ．11%C ． 20%D ．30%4．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语能响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.A ．1B ．2C ．3 B ．45．已知2tan =α．则)43sin()45cos(παπα+-= A ．3 B ． 1 C ．1- D ．3- 6．已知函数⎩⎨⎧≤+>-=,0,1,0,12)(x a x x x f x若3)1(=-f ，则不等式5)(≤x f 的解集为A ．[-2．1]B ．[ -3，3]C ．[-2．2]D ．[ -2，3]7．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥+-0120120223y x y x y x ，则y x z -=的取值范围是A ．]43,3[--B ．]0,43[-C ．[-3，0]D ．[0，3] 8．执行如图所示的程序框图．若输出的值30=S ，则p 的取值范围为A ．（18，30]B ．[18，30]C ．（0，30]D ．[18，30）9．已知函数)2sin()(x x f +=π与)0)(2sin()(πϕϕ<≤+=x x g ，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数g （x ）的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A ．12π-=x B ．127π=x C ．125π=x D ．1211π=x10．已知函数)(),(x g x f 的定义域为)1(+x f R ，是奇函数，g （x+1）是偶函数，若)()(x g x f y ⋅=的图象与x 轴有5个交点，则)()(x g x f y ⋅=的零点之和为A ．5-B ．5C ．10-D ．1011．已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的侧棱长为8．底面矩形的面积为16．一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC 上一点M ，若⊥AM 平面BD A 1．则小虫爬行的最短路程为 A ．8 B ．16 C ．652 D ．17412．已知从圆C:)0(222>=+r r y x 上一点Q （0，r ）作两条互相垂直的直线与椭圆1412:22=+y x τ相切，同时圆C 与直线013:=--+m y mx l 交于A ，B 两点则AB 的最小值为 A ．32 B ．4 C ．34 D ．8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等边三角形ABC 中，AB =2．E 、F 分别为AB 、BC 的中点.则⋅= ．14．双曲线)20(1sin 2222πθθ≤<=-y x C ：的离心率的最大值是 ． 15．已知球O 的内接正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，过点P 垂直于1BD 的平面截球O 所得的截面圆的面积为π32．则线段PB 的长为 ． 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，B ，c ，角B 为钝角，设△ABC 的面积为S ．若)(4222a c b a bS -+=，则C A sin sin +的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 满足12211-=++n n n n a a ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且75644b b b b =，111==b a 。
2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学专生注意1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴答题卡上的指定位置，2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5,4,3,2,1,1-=A ，{}0)5)(1(<--∈=x x N x B ，则B C A =A ．{3}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{-1，1，5}2．已知复数i iz +-=215，则z 的共轭复数为 A ．1 +3i B ．1-3i C ． -1 +3i D ． -1 -3i 3．在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是)9,,2,1(Λ=d d 的概率为)11lg(d +，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为A ．10%B ．11%C ． 20%D ．30%4．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语能响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.A ．1B ．2C ．3 B ．45．已知2tan =α．则)43sin()45cos(παπα+-= A ．3 B ． 1 C ．1- D ．3-6．已知函数⎩⎨⎧≤+>-=,0,1,0,12)(x a x x x f x 若3)1(=-f ，则不等式5)(≤x f 的解集为A ．[-2．1]B ．[ -3，3]C ．[-2．2]D ．[ -2，3]7．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥+-0120120223y x y x y x ，则y x z -=的取值范围是A ．]43,3[-- B ．]0,43[- C ．[-3，0] D ．[0，3] 8．执行如图所示的程序框图．若输出的值30=S ，则p 的取值范围为A ．（18，30]B ．[18，30]C ．（0，30]D ．[18，30）9．已知函数)2sin()(x x f +=π与)0)(2sin()(πϕϕ<≤+=x x g ，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数g （x ）的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A ．12π-=x B ．127π=x C ．125π=x D ．1211π=x10．已知函数)(),(x g x f 的定义域为)1(+x f R ，是奇函数，g （x+1）是偶函数，若)()(x g x f y ⋅=的图象与x 轴有5个交点，则)()(x g x f y ⋅=的零点之和为A ．5-B ．5C ．10-D ．1011．已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的侧棱长为8．底面矩形的面积为16．一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC 上一点M ，若⊥AM 平面BD A 1．则小虫爬行的最短路程为A ．8B ．16C ．652D ．17412．已知从圆C:)0(222>=+r r y x 上一点Q （0，r ）作两条互相垂直的直线与椭圆1412:22=+y x τ相切，同时圆C 与直线013:=--+m y mx l 交于A ，B 两点则AB 的最小值为A ．32B ．4C ．34D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等边三角形ABC 中，AB =2．E 、F 分别为AB 、BC 的中点.则⋅= ．14．双曲线)20(1sin 2222πθθ≤<=-y x C ：的离心率的最大值是 ． 15．已知球O 的内接正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，过点P 垂直于1BD 的平面截球O 所得的截面圆的面积为π32．则线段PB 的长为 ． 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，B ，c ，角B 为钝角，设△ABC 的面积为S ．若)(4222a c b a bS -+=，则C A sin sin +的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 满足12211-=++n n n n a a ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且75644b b b b =，111==b a（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；。
绝密★启用前河南天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试文科数学试题数学(文科)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的1.已知集合{}{}23,760A x x B x x x =≥=-+<，则()R C A B ＝A, {}13x x << B. {}16x x <≤ C. {}13x x ≤≤ D. {}16x x ≤≤ 2已知1510z i =-，234z i =+，且复数:满足: 1211z z z =+，则z 的虚部为 A. 225 B. 225- C. 225i D. 225i - 3.某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7:10.为了了解职工的身体状况，現采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为A. 14 B,20 C.21 D.704.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2a 3＝2a 7，S 5＝40，则a 7＝A.13B.15C.20D.225.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，已知a ＝1223e e +，则a =A.B.C.4D.6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米，跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A. 60B.120C.180D.2407.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.143π B. 113π C. 83π D. 73π附:台体的体积V ＝'1()3S S h +，其中S ，'S 分别为台体上、下底面的面积，为台体的高8.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，现向该三角形内随机撒一粒黄豆，则豆子落在其内切圆内的概率为 A. 4π B. 6π C. 3π D. 5π 9.已知双曲线E: 2213x y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点(2，0)，△POF 的周长为PQ 的长为A.2C.4D. 10.已知函数()()x x f x x e e -=-，若f (2x -1)＜f (x +2)，则x 的取值范围是 A.1(,3)3- B. 1(,)3-∞- C. (3,)+∞ D. 1(,)(3,)3-∞-+∞11.已知点P 在曲线22ln y x x =-上，点Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值为A. 13B. 1C. 10D. 14 12.已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分別为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为A. 14B. 12C.D. 4二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数2sin22cosy x x=+的最小正周期为___________.14.设变量x，y满足约束条件70102x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数32z x y=+的最大值为_____.15.已知四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的高为_______.16.已知平面四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝6，且内角B与D互补，则cosA＝______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.(12分)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，随机抽取了120名考生的成绩(单位:分)，并按[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145]分成5组，制成频率分布直方图，如图所示(I)若规定成绩在120分以上的为优秀，估计样本中成鎖优秀的考生人数;(Ⅱ)求该中学这次知识竞赛成绩的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)18.(12分)已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 都是递增数列，且满足a 3＝b 3＝5，a 1a 5＝9，b 1+b 5＝2a 7(I)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21n n c b -=，求数列n c 的前n 项和S n19.(12分)如图所示，在三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的等边三角形，PA ＝PB ，点O ，M 分别是AB ，BC的中点 (I)证明:AC ∥平面POM;(Ⅱ)求点B 到平面POM 的距离，20.(12分)已知动圆M 过点P(2，0)且与直线x +2＝0相切(I)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)斜率为k (0k ≠)的直线l 经过点P(2，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求AB NP的值21.(12分)已知函数21()cos (0)2f x ax x a =-≠在[0,]4π上的最大值対2816- (I)求a 的值(II)求f (x )在区间(0,)2π上的零点个数(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x o y 中，直线的参数方程为12(1x m m y m=+⎧⎨=-+⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立概坐标系、曲线C 的极坐标方程为23632cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)求MN23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设函数()12f x x x =++-(I)求不等式f (x )≥4的解集;(II)设a ，b ，c R *∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c ++=，求证: 2343a b c ++≥。
2019-2020学年高二第一学期（上）段考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣1212．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A ＝．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{y|y≥1}，∴∁R B＝{y|y＜1}，A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则解：命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x≤y+1”，所以A不正确；若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1，所以B正确；若x2﹣2019x＝0则x＝2019或x＝0，所以C不正确；若a＞b，则，反例a＞0，b＜0，满足条件，但是推不出结果，所以D不正确；故选：B．3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵1＝20＜20.1＜2，0.50.5＜1，，∴c＞a＞b．故选：B．4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 解：由题意知，f'（x）＝1+sin x，则切线的斜率k＝f'（）＝2，切点坐标（，）∴切线的方程为y﹣＝2（x﹣），即 4x﹣2y﹣π＝0，故选：D．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升解：根据题意，第一天派出64人，需要分发大米64×3＝192升，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，则第二天派出64+7＝71人，需要分发大米71×3＝213升，第三天派出71+7＝78人，需要分发大米78×3＝234升，则前3天共分发大米192+213+234＝639升；故选：C．6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．7．已知，则＝（）A．B．C．D．解：∵，∴sin（）﹣＝0，∴﹣，∴sin x＝cos x，∴tan x＝，∴＝＝＝．故选：B．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）＝﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣ln（1+x）]＝ln（1+x）．∵函数f（x）＝，∴当x≤0时，f（x）＝x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）＝lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1）．化目标函数z＝2x﹣2y可知x﹣2y取得最大值时，z取得最大值，由图可知，当直线x﹣2y＝u过点B时，直线在y轴上的截距最小，即u最大．∴z max＝24﹣2×（﹣1）＝64．故选：B．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），故只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣12解：建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），C（2，2），E（3，），D（﹣2，2），F（，），则＝（3，）•（﹣，）＝﹣14+2＝﹣12．故选：D．12．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）解：画出f（x）的图象，如图所示，当x＞0，f（x）＝x+≥4，设g（x）＝2m，则f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，即f（x）和g（x）＝2m图象有三个交点，由图可知2m＞4，即m＞2．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．解：∵，∴，∴．故答案为：．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A＝．解：∵a＝5，c＝6，，∴由余弦定理可得b＝＝＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理，可得sin A＝＝＝．故答案为：．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．解：因为8a+2b＝1，a＞0，b＞0，则ab＝×＝．当且仅当8a＝2b即a＝，b＝时取等号，此时ab取最大值．故答案为：．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为8 ．解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．则：，所以数列{a n﹣3}是以a1﹣3＝1为首项，﹣为公比的等比数列．所以，整理得，所以，所以＞0，故对于任意的正偶数n，，恒成立．等价于，对于任意的正偶数n恒成立．由于，所以，所以，只需满足λ≥8．故答案为：8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．解：∵p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，∴＜a＜1，∵q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．∴，解得a＞2，∵“p或q”为真命题，“p且q为假命题，∴p真q假，或p假q真，当p真q假时，，解得＜a＜1，当p假q真时，，解得a＞2．∴实数a的取值范围是（，1）∪（2，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．解：（Ⅰ）∵tan A＝cos B tan A+sin B，∴sin A＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C，∴由正弦定理可得a＝c，又∵a+c＝8，∴a＝c＝4，∵△ABC的面积为6＝ac sin B＝4×4×sin B，∴解得：sin B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得a＝c，又b2＝3a2，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4＝9a2，a3﹣a2＝6．∴q2＝9，a1（q2﹣q）＝6，解得q＝3，a1＝1，∴a n＝3n﹣1．（II）b n＝na n＝n•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n＝1+2×3+3×32+4×33+……+n•3n﹣1．∴3T n＝3+2×32+3×33+……+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n．∴﹣2T n＝1+3+32+33……+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n＝，化为：T n＝．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，因为a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2），所以两边同除以S n S n﹣1，整理得：所以：，所以数列{}是以为首项，﹣为公差的等差数列．所以．则：a n＝S n﹣S n﹣1＝（首项不符合通项），所以．（Ⅱ）由于，所以易知n≥2时，，整理得4n2﹣8n+3≤48，解得2，故最大值为4．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域解：（Ⅰ）f（0）＝1﹣0+3＝4，则f（T）＝cos4T﹣sin2T+3＝2cos22T+cos2T+＝4，即有（cos2T﹣1）（4cos2T+5）＝0，因为﹣1≤cos2T≤1，所以cos2T＝1，则2T＝2kπ，所以T＝kπ（k∈Z），又因为T为正实数，所以T最小值为π；（Ⅱ）f（x）＝2cos22x+cos2x+＝2（cos2x+）2+，因为，所以2x∈（﹣，），则cos2x∈（﹣，1]，则f（x）最小值在cos2x＝﹣处取到，则最小值为，最大值在cos2x＝1处取到，则最大值为4，所以f（x）的值域为[，4]．22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：（I），∵＝，x＞0，当f′（x）＜0可得，x∈（0，2），此时f（x）单调递减，当f′（x）＞0可得，x∈（2，+∞），此时f（x）单调递增，故函数的极小值f（2）＝1+ln2，没有极大值，（II）∵g（x）＝f（x）+＝lnx+在区间[1，2]上为单调函数，∴g′（x）＝≥0或g′（x）＝≤0在区间[1，2]上恒成立，即≥或即≤在区间[1，2]上恒成立，∴≥（）max或≤（）min，令h（x）＝，x∈[1，2]，则h（x）在[1，2]上单调递增，故h（x）max＝h（2）＝，h（x）min＝h（1）＝3，∴或，解可得a＜0或或a≥1．故a的范围为{a|a＜0或或a≥1}．。
