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2-1.什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力-应变有什么联系？ 答：材料的本构关系是反映材料的力学性质的数学表达式，表现形式一般为应力-应变-强度-时间的关系，也成为本构定律，本构方程。
土的强度是土受力变形发展的一个阶段，即在微小的应力增量作用下，土单元会发生无限大或不可控制的应变增量，它实际上是土的本构关系的一个组成部分。
2-7什么是加工硬化？什么是加工软化？请绘出他们的典型的应力应变关系曲线。
答：加工硬化也称应变硬化，是指材料的应力随应变增加而增加，弹增加速率越来越慢，最后趋于稳定。
加工软化也称应变软化，指材料的应力在开始时随着应变增加而增加，达到一个峰值后，应力随应变增加而下降，最后也趋于稳定。
加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线如右图。
2-8什么的是土的压硬性？什么是土的剪胀性？答：土的变形模量随着围压提高而提高的现象，称为土的压硬性。
土的剪胀性指土体在剪切时产生体积膨胀或收缩的特性。
2-9简述土的应力应变关系的特性及其影响因素。
答：土是岩石风化形成的碎散矿物颗粒的集合体，通常是固、液、气三相体。
其应力应变关系十分复杂，主要特性有非线性，弹塑性，剪胀性及各向异性。
主要的影响因素是应力水平，应力路径和应力历史。
2-10定性画出在高围压（MPa 303<σ）和低围压（KPa 1003=σ）下密砂三轴试验的v εεσσ--)(131-应力应变关系曲线。
答：如右图。
横坐标为1ε，竖坐标正半轴为)(31σσ-，竖坐标负半轴为v ε。
2-13粘土和砂土的各向异性是由于什么原因？什么是诱发各向异性？答：粘土和砂土的各向异性是由于其在沉积过程中，长宽比大于1的针、片、棒状颗粒在重力作用下倾向于长边沿水平方向排列而处于稳定的状态。
同时在随后的固结过程中，上覆土体重力产生的竖向应力与水平土压力大小不等，这种不等向固结也造成了土的各向异性。
诱发各向异性是指土颗粒受到一定的应力发生应变后，其空间位置将发生变化，从而造成土的空间结构的改变，这种结构的改变将影响土进一步加载的应力应变关系，并且使之不同于初始加载时的应力应变关系。
材料本构关系和疲劳断裂材料本构关系是描述材料在外部作用下如何变形和破坏的数学模型。
而疲劳断裂是指材料在循环载荷下产生的破坏现象。
两者之间存在着密切的关系。
材料本构关系是材料力学性能的数学描述，它反映了材料在力学作用下的应力-应变关系。
材料的本构关系可以通过实验或理论推导得到。
常见的本构关系包括线性弹性、非线性弹性和塑性等模型。
材料的本构关系会影响材料的强度、刚度、塑性等力学性能。
疲劳断裂是指材料在循环载荷下发生的破坏现象。
循环载荷是指材料在重复加载和卸载的过程中所受到的应力变化。
疲劳断裂是材料工程中一种重要的破坏形式，常见于机械零件、桥梁、飞机等结构中。
疲劳断裂的危害性很大，因为它通常发生在材料表面或内部，导致结构的突然失效。
材料本构关系与疲劳断裂之间存在着紧密的联系。
首先，材料的本构关系会直接影响疲劳断裂的发生和扩展。
例如，弹性材料在循环载荷下往往会发生疲劳断裂，而塑性材料则往往能够抵抗疲劳断裂的发生。
其次，疲劳断裂的过程也会影响材料的本构关系。
循环载荷下的应力变化会导致材料微观结构的变化，进而改变材料的力学性能和本构关系。
材料的本构关系对疲劳断裂的研究具有重要意义。
通过研究材料的本构关系，可以预测材料在循环载荷下的疲劳寿命。
对于重要的结构工程，如飞机、汽车等，疲劳寿命的预测是极为关键的，可以避免结构的突然失效，保障人身安全。
因此，研究材料的本构关系和疲劳断裂是材料科学和工程领域的重要研究方向。
材料的本构关系和疲劳断裂是密切相关的。
材料的本构关系直接影响疲劳断裂的发生和扩展，而疲劳断裂的过程也会影响材料的本构关系。
研究材料的本构关系和疲劳断裂对于预测材料的疲劳寿命、保障结构的安全具有重要意义。
因此，深入研究材料的本构关系和疲劳断裂是材料科学和工程领域的重要任务。
材料力学中的本构关系材料力学是研究材料在力学作用下的力学性质和变形规律的学科。
而本构关系则是研究材料在某种载荷作用下的应力与应变的数学关系，它是捕捉材料本质的重要数学模型。
本构关系的重要性在材料力学研究中，本构关系是一种重要的数学工具。
一个成功的材料力学模型必须明确材料的本构关系，也就是应力与应变的关系。
要发展一个有效的模型，我们必须首先理解材料的组成及其物理属性。
许多材料，如塑料和金属，都有一系列复杂的物理特性，这些特性与其结构和化学成分有关。
在许多情况下，物理特性取决于样品所受的应力和应变的类型和大小。
根据不同的载荷类型，我们可以将本构关系分为静态本构和动态本构。
静态本构是指材料在恒定应力下的应变性质；而动态本构是指在变形下材料的响应性能，包括位移速度和波的传播速度等。
不同的本构关系类型它有多种类型的本构关系，包括线性弹性、非线性弹性、弹塑性和粘弹性等。
这些模型的选择取决于不同的载荷类型、材料类型和实验数据的可用性。
在接下来的几个小节中，将讨论其中的一些本构关系。
1. 线性弹性本构关系线性弹性本构关系是一种最常见的本构关系。
在这种情况下，应力和应变之间存在线性关系。
这种关系使得当应力和应变从负向正变化时，材料的应力和应变表现出可逆性。
当材料受到小的形变时，只存在弹性响应，而不会引起材料的破坏或变形。
这种响应成为胡克定律。
2. 非线性本构关系另外一类本构关系称为非线性本构关系。
这种模型是线性模型的推广。
在非线性模型中，应力和应变不再呈线性关系。
应力-应变关系的非线性性质可以由多种因素引起，包括组织的变化和材料的损伤。
3. 弹塑性本构关系弹塑性本构关系可以用于描述强塑性金属和一些聚合物的材料行为。
在这种材料中，弹性行为用胡克定律描述，而塑性加载则由塑性本构关系描述。
这些模型通常包括一个塑性应变区域，其中材料将始终保持塑性形变中。
4. 粘弹性本构关系最后一种本构关系是粘弹性本构关系。
这种模型适用于材料在较长时间尺度下的响应行为。
材料本构关系材料本构关系是材料力学学科中的一个重要概念，它是指材料的力学性质与内部结构、组成成分之间的关系。
在工程实践中，科学理解材料本构关系是保证制造出高品质产品的关键。
本文将分步骤讨论材料本构关系的概念、特征以及其在工程应用中的重要性。
一、材料本构关系概念材料的力学性质与其内部结构、组成有着密切的关系。
材料本构关系是描述这种关系的方式，它揭示了材料的强度、刚度、形变行为、破坏形式以及耐久性等力学性质与温度、时间、载荷等物理或机械刺激之间的关系。
二、材料本构关系特征材料本构关系的特征有以下几点：1.材料本构关系是用数学公式和方程描述的。
这些方程通常是由实验和理论模型得出的统计关系式，由试验数据以及其它参数估计得出。
2.材料本构关系通常是非线性的。
在强行施加一定的约束条件下，材料本构关系通常会表现出非线性的特点。
这种情况下，即使在小应变范围内，材料也会表现出剪切硬度、屈服强度等的变形行为。
而通常情况下，弹性模量只是应力和应变之间的线性关系。
3.材料本构关系具有依赖性。
材料的本构关系通常依赖于很多因素，如材料成分、化学结构、加工工艺、温度和时间等。
因此，要精确描述材料的本构关系，需要综合考虑这些因素。
三、材料本构关系在工程应用中的重要性材料本构关系在工程应用中有着重要的作用，如下所述：1.材料本构关系可以提供预测材料力学行为所需的数据。
工程师可以根据材料本构关系的公式，预测材料在不同温度、载荷和时间条件下的性能表现。
在实际工程应用中，这些数据可以帮助工程师选择最合适的材料和加工方法，设计出最优化的产品。
2.材料本构关系可以帮助工程师设计新材料。
在材料制造业中，设计新材料的过程中，需要确定该材料的本构关系，以便进一步优化材料成分和加工工艺。
有了材料本构关系，工程师可以通过计算和模拟，预测新材料的性能，并且在实际生产中对其进行验证，确保新材料符合设计要求。
3.材料本构关系可以帮助工程师优化现有材料。
在工程实践中，工程师在求解材料本构关系时，可以确定材料的弱点和优点，进而引导设计出合理的加工工艺和产品结构，以提高其性能。
材料本构关系和疲劳断裂引言：材料本构关系和疲劳断裂是材料力学中的两个重要概念。
材料本构关系描述了材料受力时的应力-应变关系，而疲劳断裂则是指材料在受到循环载荷作用下逐渐发生破裂的过程。
本文将探讨材料本构关系和疲劳断裂的原理以及二者之间的关系。
一、材料本构关系材料本构关系是指材料在受力时的应力-应变关系。
不同的材料具有不同的本构关系，包括弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系等。
1. 弹性本构关系弹性本构关系是最简单的一种材料本构关系，它描述了材料在小应变范围内的应力-应变关系。
根据胡克定律，弹性材料的应力与应变成正比，且比例系数为弹性模量。
2. 塑性本构关系塑性本构关系适用于塑性变形较大的材料。
塑性变形是指材料在超过弹性极限后，会保持一定的塑性应变。
塑性本构关系可以用屈服强度、流动应力等来描述材料的塑性行为。
3. 粘弹性本构关系粘弹性本构关系适用于某些特殊的材料，如胶体、液晶等。
这种材料在受力时既具有弹性的恢复性，又具有粘性的滞后效应。
粘弹性本构关系可以用弹性模量、黏度等参数来描述。
二、疲劳断裂疲劳断裂是指材料在受到循环载荷作用下逐渐发生破裂的过程。
疲劳断裂是一种特殊的断裂形式，其破裂与材料的应力历史和循环载荷的幅值有关。
1. 疲劳寿命疲劳寿命是指材料在一定的循环载荷下可以承受的循环次数。
疲劳寿命与材料的本构关系密切相关，不同的材料具有不同的疲劳寿命。
2. 疲劳强度疲劳强度是指材料在一定循环次数下可以承受的最大循环应力。
疲劳强度与材料的本构关系和材料的强度有关。
3. 疲劳断裂机制疲劳断裂的机制是一个复杂的过程，包括裂纹的产生、扩展和最终的破裂。
疲劳断裂机制与材料的本构关系、载荷历史和材料的微观结构有关。
三、材料本构关系与疲劳断裂的关系材料本构关系和疲劳断裂之间存在着密切的关系。
首先，材料的本构关系会影响材料的疲劳寿命和疲劳强度。
不同的本构关系会导致材料在受到循环载荷时的应力分布和变形情况不同，从而影响材料的疲劳性能。
材料本构关系及滞回法则Concrete01 模型的应力-应变滞回关系曲线，如图所示。
Concrete01 模型没有考虑混凝土受拉力学性能，即受拉区混凝土的应力和刚度为零。
该模型特点：①该模型较为简单，骨架曲线的参数少，物理意义较明确，且数值稳定性好，故应用较为广泛。
②忽略了混凝土的受拉力学性能，在加载过程中应变小于等于残余塑性应变时混凝土的应力和刚度均为零。
③受压滞回规则简单，受压的卸载线、再加载线重合，未考虑混凝土加、卸载过程的滞回耗能，也未体现加、卸载的非线性特点。
④随着卸载压应变的增大，卸载线、再加载线的刚度减小，即考虑了混凝土反复荷载作用下的刚度退化。
但未考虑混凝土在反复荷载作用下的损伤引起的强度退化和同一卸载过程中的刚度退化。
Concrete01模型假定混凝图抗拉强度为零，即不能承受拉力。
而Concrete02模型假定受拉混凝±在开裂前通常被认为服从线弹性假设，而在开裂后，由于混凝土的粘结作用使得相邻两条裂缝之间的一部分混凝土仍然能承受一定的拉应力，即混凝±受拉刚化效应。
故混凝止骨架曲线分别采用线性上升段和线性下降段描述混凝土开裂前的线弹性行为和开裂后的受拉刚化行为。
其受拉骨架线为带有软化段的双线型，上升段弹性模量为Eo，达到轴心抗拉强度 后进入刚度为 的下降段。
Concrete01 该模型具有参数少，较简单，数值计算的稳定性好。
但加、卸载线重合，没有考虑混凝土的滞回耗能、混凝土的受拉力学性能、同一卸载过程刚度的退化、混凝土的强度退化等对混凝土力学性能的影响。
Concrete02 模型受压部分的骨架曲线与 Concrete01 一样，采用的是修正的Kent-Park 模型图 所示。
受压卸载采用的是两段直线，再加载线为直线。
Concrete02 模型的滞回规则如图 所示。
从骨架曲线上的卸载 D 点开始，按斜率为初始切线刚度的直线 DE 卸载到一定程度后再按斜率为再加载斜率一半的直线EH 卸载至残余塑性应变点 H ，再加载线为连接塑性应变点 H 到卸载点 D 的直线，回到骨架线上后沿骨架线加载。
第十七章材料本构关系
基本要求：
1． 掌握连续、均质、各向同性固体金属的塑性本构关系；
2． 了解金属粉末体和粘性材料的本构关系的特点。
第一节 弹性应力应变关系
单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。
将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律，即
式中，E 是弹性模量（MPa ）；ν 是泊松比；G 是剪切模量（MPa ）。
三个弹性常数E 、ν 、G 之间有如下关系
将式（17-1 ）的ε x 、ε y 、ε z 相加整理后得
即 上式表明，弹性变形时其单位体积变化率（θ=ε x +ε y +ε z = 3ε m ） 与平均应力σ m 成正比，说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变。
将式（17-1） εx 、εy 、εz 分别减去εm ，如
同理得
，因此应变偏量与应力偏量之间的关系，可写成如下形式
z
简记为
上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是由应力偏张量引起的。
由式（17-2）和式（17-3），广义虎克定律可写成张量形式
广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式
及上式表明，应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成正比。
由以上分析可知，弹性应力应变关系有如下特点：1）应力与应变成线性关系。
2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。
3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比ν< 5.0 。
4）应力主轴与应变主轴重合。
第二节塑性应力应变关系
当质点应力超过屈服极限进入塑性状态时，应力
应变关系一般不能一一对应，而是与加载路线有关。
由于加载路线不同，同一种应力状态可以对应不同的
应变状态，同一应变状态，也可以对应不同的应力状
态，而且应力与应变主轴不一定重合。
根据以上的分析，塑性应力与应变关系有如下特
点：
1） 应力与应变之间的关系是非线性的。
2） 塑性变形是不可逆的，应力应变关系不是单值对应的，与应变历史有关。
3） 塑性变形时可认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比ν= 5.0 。
4） 全量应变主轴与应力主轴不一定重合。
由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关。
因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的，一般只能建立应力与应变增量之间的关系，仅在简单加载下，才可以建立全量关系。
所谓简单加载，是指在加载过程中各应力分量按同一比例增加，应力主轴方向固定不变。
如图17-2b 中，由原点O 到F 点的直线所表示的就是简单加载。
第三节 增量理论
增量理论又称流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论，它是针对加载过程的每一瞬间的应力状态所确定的该瞬间的应变增量，这样就撇开加载历史的影响。
列维-密塞斯（Levy-Mises ）理论
Levy 和Mises 分别于1871 和1913 年建立了理想塑性材料的流动理论，该理论建立在下面四个假设基础上。
1） 材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量dε ij e 为零。
塑性应变增量dε ij p 就是总应变增量d εij 。
2） 材料符合Mises 屈服准则，即σ=σs 。
3） 每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。
4） 塑性变形时体积不变，即d ε 1 + d ε 2 + d ε 3 = d ε x + d ε y + d ε z = 0 所以塑性应变增量偏张量就是应变增量张量，即d ε ij = d ε ij ′ 在上述假设前提下，得到应变增量和应力偏量成正比的结论，即
式中，d λ 是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变化的，在卸载时d λ= 0 。
式（17-6 ）称为Levy-Mises 方程。
由于d ε ij = d ε ij ′ ， 所以式（17-6） 与广义虎克定律式（17-4） 形式上相似，也可以写成比例形式和差比形式：
经推导得出
将式（17-10）代入式（17-7），Levy-Mises 方程还可以写成广义表达式
由式（17-11）和式（17-6）可以证明平面变形和轴对称问题的一些结论。
1）平面塑性变形时，设z向没有变形，则有dε
= 0 ，由式（17-11），则得
z
2）若两个正应变增量相等，其对应的应力也相等。
例如在某些轴对称问题中，
由式（17-6）有因此
Levy-Mises 方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应变增量与应力偏量之间的关= 0 ，因而不能确定应力球张量。
因此，如果已知应变增量，只能求得应力偏系。
由于d ε
m
量分量，一般不能求出应力。
另一方面，如果已知应力分量，因为为常数，是不定值，也只能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。
应力-应变速率方程
将式（17-6）两边除以时间d t，可得
式中为应变速率张量，为等效应变速率。
则有
式（17-12）称为应力-应变速率方程，它同样可以写成比例形式和广义表达式。
式（17-12）由圣文南（B. Saint-Venant）于1870 年提出，由于与牛顿粘性流体公式相似，故又称为圣维南塑性流体方程。
如果不考虑应变速率对材料性能的影响，该式与列维-密塞斯方程是一致的。
普朗特-劳斯（Prandtl-Reuss）理论
Prandtl-Reuss 理论是在Levy-Mises 理论基础上进一步考虑弹性变形部分而发展起来的。
即总应变增量的分量由弹、塑性两部分组成，即
式中，塑性应变增量由Mises 理论确定，弹性应变增量由式（17-5）微分可得
所以Prandtl-Reuss 方程
式（17-14）也可写成
第四节全量理论
在小变形的简单加载过程中应力主轴保持不变，由于各瞬时应变增量主轴和应力主轴重合，所以应变主轴也将保持不变。
在这种情况下，对应变增量积分便可得到全量应变。
在这种情况下建立塑性变形的全量应变与应力之间的关系称为全量理论，亦称为形变理论。
全量理论最早是由汉基（H. Hencky）于1924年提出。
如果假定是刚塑性材料，而且不考虑
代替Mises方程中的应变增量，即
弹性变形，则可用全量应变ε
ij
式中，上式也可以写成比例形式和差比形式，进一步写成广义表达式。
如果是弹塑性材料的小变形，则同时要考虑弹性变形。
此时，Hencky 方程为
式（17-17）中第一式表示形状变形：前一项是塑性应变；后一项是弹性应变。
第二式表示弹性体积变形。
为了便于与广义虎克定律式（17-4）进行比较，令G′ 为塑性切变模量，使得
′于是式（17-17）第一式可写成
这样便与广义虎克定律式（17-4）在形式上是一样的，区别仅在于G是材料常数，而G′ 是随变形过程而变的。
且
所以，可以把小变形全量理论看成是广义虎克定律在小塑性变形中的推广。
第五、六、七节自学。
