最新10月浙江自考近世代数试卷及答案解析

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精选自学考料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯浙江省 2018 年 1 月高等教育自学考试近世代数试题课程代码： 10025一、单项选择题(在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每题 3 分，共 15分 )1. 设会合 A 含有 n 个元素，那么 A 的子集共有多少个 ?()A. n!B. n2C. 2nn(n1) D.22. 以下法例，哪个是集 A 的代数运算 ()。

A. A=N a b=a-bB. A=Z aab b=2C. A=Q aaD. A=R a b=a+ πb=b3.设 S={a,b,c,d}, S 中规定一个代数运算以下表，0a b c da d a a db ac b dc a b c dd d d d a则 S 对于所给代数运算作成的代数系统中的可逆元素为()。

A. a 与 bB. b 与 cC. c 与 dD. d 与 a4. 以下命题中，正确的选项是()。

A.随意一个环 R，必含有单位元B.环 R 中至多有一个单位元C.环 R 有单位元，则它的子环也有单位元D.一个环与其子环都有单位元，则两个单位元必定同样5. p(素数 )阶有限群的子群个数为()。

A. 0B. 1C. 2D. p二、填空题 (每空 3 分，共 27 分 )1.设 A={a,b,c,d} ，则 A 到 A 的一一映照共有 ____________个。

2.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有 ____________个。

3.非零复数乘群 C* 中由 -i 生成的子群是 ____________ 。

4.节余类环 Z7的零因子个数等于 ____________ 。

5.素数阶有限群 G 的非平庸子群个数等于 ____________ 。

6.节余类环 Z6的子环 S={ ［ 0］ ,［ 3］}, 则 S 的单位元是 ____________ 。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

近世代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是群的三个基本性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律2. 在有限群中，以下哪个命题是正确的？A. 群的阶数等于群中元素的数量B. 群中每个元素的阶数都是群的阶数的因子C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元3. 若一个群G是阿贝尔群，那么以下哪个性质一定成立？A. 群G中的任意两个元素都满足交换律B. 群G中存在唯一的单位元C. 群G中的每个元素都有唯一的逆元D. 群G的阶数是奇数4. 以下哪个不是环的基本性质？A. 环中加法满足交换律B. 环中加法满足结合律C. 环中加法存在单位元D. 环中加法和乘法都满足分配律二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个群的阶数是______个元素的集合。

2. 群的单位元在群中具有唯一的______性质。

3. 阿贝尔群的元素满足______律。

4. 一个环的乘法如果满足交换律，则该环称为______环。

三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若群G的阶为素数，则G是循环群。

2. 给定一个群G和一个子群H，证明：若H是G的正规子群，则G/H 是群。

3. 描述群同态的基本性质，并给出一个具体的例子。

4. 证明：若环R是整环，则R中每个非零元素都有逆元。

5. 给定一个环R和一个理想I，证明：若I是R的主理想，则R/I是域。

6. 描述环同构和群同构的区别，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题10分，共20分）1. 计算群Z_6（整数模6的加法群）的子群，并确定它们是否是正规子群。

2. 给定环Z[x]（多项式环），计算理想（x^2+1）和（x-1）的和，并证明你的结论。

答案：一、选择题1. D2. B3. A4. A二、填空题1. 有限2. 唯一3. 交换4. 整三、解答题1. 略2. 略3. 略4. 略5. 略6. 略四、计算题1. 略2. 略。