2006年1月浙江省自考试题近世代数

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精选自学考料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯浙江省 2018 年 1 月高等教育自学考试近世代数试题课程代码： 10025一、单项选择题(在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每题 3 分，共 15分 )1. 设会合 A 含有 n 个元素，那么 A 的子集共有多少个 ?()A. n!B. n2C. 2nn(n1) D.22. 以下法例，哪个是集 A 的代数运算 ()。

A. A=N a b=a-bB. A=Z aab b=2C. A=Q aaD. A=R a b=a+ πb=b3.设 S={a,b,c,d}, S 中规定一个代数运算以下表，0a b c da d a a db ac b dc a b c dd d d d a则 S 对于所给代数运算作成的代数系统中的可逆元素为()。

A. a 与 bB. b 与 cC. c 与 dD. d 与 a4. 以下命题中，正确的选项是()。

A.随意一个环 R，必含有单位元B.环 R 中至多有一个单位元C.环 R 有单位元，则它的子环也有单位元D.一个环与其子环都有单位元，则两个单位元必定同样5. p(素数 )阶有限群的子群个数为()。

A. 0B. 1C. 2D. p二、填空题 (每空 3 分，共 27 分 )1.设 A={a,b,c,d} ，则 A 到 A 的一一映照共有 ____________个。

2.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有 ____________个。

3.非零复数乘群 C* 中由 -i 生成的子群是 ____________ 。

4.节余类环 Z7的零因子个数等于 ____________ 。

5.素数阶有限群 G 的非平庸子群个数等于 ____________ 。

6.节余类环 Z6的子环 S={ ［ 0］ ,［ 3］}, 则 S 的单位元是 ____________ 。

《近世代数初步》习题答案与解答引 论 章一、知识摘要1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=⨯的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈∀(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.则称G 为一个交换群.(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：I. F 对加法构成交换群.II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈∀就称F 为一个域.4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈∀ 就称R 为一个环.5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =⇒==⇒=∈∀且6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：个n n a aa a ...=, 个n n a a a a e a 1110...,----==.则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈∀∈∀有.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.二、习题解答 1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

2006年1月线性代数与几何试题一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若向量组T T T 123(2,3,1),(2,,1),(0,0,1)t =-=-=ααα线性相关,则常数t = . (2). 若矩阵A 的伴随矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=86015400130001*A ,则)det(A = . (3). 已知T ),,(321αa a a =为3维向量, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=422211211Tαα,则ααT = . (4). 已知21α,α是齐次线性方程组0A =x 的基础解系,则向量组12222111ααβ,ααβt t +=+=也可作为0A =x 的基础解系的充要条件是常数21,t t 满足条件 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=122212221A ,则 (A) A 为正交矩阵 (B) A 31为正交矩阵.(C) A 31为正交矩阵. (D) TA =-1A . 【 】(2). 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60022082a A 相似于对角矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-266,则a 等于 (A) 0. (B) 2. (C) -2. (D) 6. 【 】(3). 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b bb a bb b a A 的伴随矩阵*A 的秩为1,则 (A) 0≠=b a . (B) b a ≠且02=+b a . (C) 02≠+b a . (D) b a ≠且02≠+b a .【 】 (4).22⨯R 的子空间⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+R b a b a b a ,0的维数是 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】三、(12分) 设3阶方阵A 、B 满足AB B A =+,(1) 证明矩阵I A -可逆; (2) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=30063022B 时,求A . 四、(13分) a 、b 取何值时,线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--b x x x x a a 11061071141231012314321 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.五、(12分) 求两相交直线⎩⎨⎧=-=23:1y z x L 与⎩⎨⎧-=--=-+6273:2z x z y x L 所确定的平面的一般式方程.六、(12分) 设3阶矩阵A 的特征值为3,2,1-,求方阵I A A B *32+-=的特征值及)det(B . 七、 (13分) 设矩阵T x x x ),,(50022042321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x ,B , (1) 写出二次型Bx x T =),,(321x x x f 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵;(3) 写出在正交变换Py x =下f 化成的标准形.八、(8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)设4R 的子空间V由向量组=--==321ααα,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(TTTT)2,10,6,2(,)4,1,2,3(--=-4α生成,求V 的基与维数.(2) 设321α,α,α为3维线性空间V 的基, V 上的线性算子T 在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=532221311A ,求T 的值域)(T R 的基与维数、T 的核)ker(T 的基. 九、(6分) 设A 、B 均为n 阶正定矩阵.证明:关于λ的方程0)det(=-B A λ的根全大于零.线性代数与解析几何(A 卷)参考答案与评分标准 (2006.1.8)一. (1) -3 ; (2) 32 ; (3) 6; (4) 0121≠-t t .二.三. (1)I I +=I A -可逆. (4分)(2) 解法1: 由(1)有1)(--=-I B I A , 1)(--+=I B I A (7分)而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--2100013025)(1I B (11分), 得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=230000324A 解法2:B I B A =-)(,1)(--=I B B A . (7分), 以下同解法1.四. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→=4101001231001231)6,(b a a A A(4分) (1) 当1≠a 时, 4)()(==A r A r 有唯一解; (6分) (2) 当1=a 且4≠b 时,)()(A r A r ≠无解; (8分)(3) 当1=a 且4=b 时, 42)()(<==A r A r 有无穷多解,此时,由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→000000000012310371101 A ,得所求通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=102701311001321c c x . (13分) 五. 1L 的方向向量为)1,0,1(1-=a ,1L 上有点)0,2,3(1p (2分) 2L 的方向向量为)1,1,2(2=a,2L 上有点)0,1,6(2--p (5分) 由0][2121=p p a a,知1L 与2L 共面 (8分) )1,3,1(12=⨯a a(10分)所求平面方程为0)2(33=+---z y x ,或033=++-z y x . (12分) 六. 6||-=A , 1115)3216(ααα-=+--=B , (3分) 2224)3416(ααα-=+--=B ,33311)3636(ααα=++--=B ,得B 的特征值为-5,-4,11, 对应特征向量分别为332211,,αααc c c )0(≠i c (8分) 由特征值的性质知1-B 的特征值为111,41,51--，对应特征向量分别为332211,,αααk k k )0(≠i k (11分)2201)111()41()51()det(1=⨯-⨯-=-B (12分)七. (1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=50023032)(21TB B A (3分) (2) A 的特征值为1,5321-===λλλ, (6分) 对应于,521==λλ的标准正交特征向量可取为Te )0,1,1(211=, Te )1,0,0(2= (9分)对应于13-=λ的单位特征向量可取为Te )0,1,1(213-=,令][321e e e p =,则p 为正交矩阵,使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1551p pA . (12分)(3) 33222155y y y -+. (3分)八. (1) 知道V 的基与维数分别等于向量组4321,,,αααα的极大无关组与秩. (3分)由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=00010041202311][行4321ααααA ,知V 基可取321,,ααα, (4分) 3)dim(=V (6分)因3)(=A r ,知0=Ax 基础解系含1个向量,再由242αα=知0=Ax 的基础解系可取为T)1,0,2,0(-=ξ (8分).(2) 知道)(T R 与A 的列空间同构, (2分) 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00110311行A 知)(T R 的基可取为 3212ααα++,2))(dim(32321=⇒++T R ααα. (6分)知道)ker(T 与0=Ax 的解空间同构,由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00110401行A 知0=Ax 的基础解系为T)1,1,4(-, )ker(T 的基可取为3214ααα++-. (8分)九. 因A 正定,有可逆矩阵P ,使P P A T =, (1分) 因B 正定,故11)(--BP P T 也正定, (2分)|))((||)(|||1111P BPP I P P BPP P P P B A T T T T T -----=-=-λλλ|)(||||)(|||1111=-=-=----BP PI A BPPI P P TTTλλ0|)(|11=-⇔--BPPI T λ(5分)方程的要即正定矩阵11)(--BPP T 的特征值,故全大于零. (6分)。

近世代数测试题（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:一、二、 3、或,或, 或4、五、或六、特点(或特点数) 7、没有八、一个极大理想九、不含真子域 10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D三、证明题（每题5分,共50分）:一、证明:显然是非空集合上的代数运算., 那么有即, 对此运算知足结合律.又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.二、证明: 第一易知,中的单位是.第二, 假设, 那么必是环的不可约元.事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.3、证明:1), 那么, 于是.再任取, 由知,. 故.2) 不成立.因为, 例如, 但.事实上,. 即是由8生成的主办想.4、证明：方式(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故.从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么.因是满射, 故有使,其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射. 因此.方式(二):利用群同态大体定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.又, 据群同态大体定理, .五、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：假设不然，G为互换群.于是在G中任取互异的2阶元，那么易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：假设不然，那么在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构映射，故G.近世代数测试题（B）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）：一、适合二、(未全对者,不给分) 3、4、五、8 六、是 7、2 八、主办想整环九、(未全对者,不给分) 10、扩域二、选择题（每题4分，共20分）：一、D 二、 D 3、D 4、B 五、A三、证明题（每题10分,共50分）：一、证明: 设是由互换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 假设，设. 因可换, 故, 从而。

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

1浙江省2018年1月自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?( )A.在有理数集Q 中关系～：a ～b ⇔a -b ∈ZB.在复数集C 中关系～：a ～b ⇔|a |=|b |C.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a ≤bD.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a =b2.设A =Z ，D =Z +，σ∶n |→⎩⎨⎧<--≥+0,120),1(2n n n n 则σ是Z 到Z +的( )A.单射B.满射C.一一映射D.不是映射3.在实数集R 中定义代数运算aob =a +b +ab ，则这个代数运算( )A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是( )A.非零有理数的全体Q *对普通数的加法B.非零有理数的全体Q *对普通数的减法C.非零有理数的全体Q *对普通数的乘法D.非零有理数的全体Q *对普通数的除法 5.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z d c b a d c b a ,,,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 ( )A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

2 6.设A ={a ,b ,c ,d ,e }，则A 的子集共有________个.7.在4次对称群S 4中，(143)2(132)-1=________.8.模12的剩余类加群Z 12的生成元有________个.9.设Z 6是模6的剩余类环，则Z 6中的零因子是________.10.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________.11.剩余类环Z 17的可逆元有________个.12.在高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }中,主理想(1+i )＝________.13.在整环I ＝｛所有复数a +b 3-(a ,b 是整数)｝中，1+3-的相伴元是________.14.设R 是实数域，则)1()2(-+i i R =________. 15.51+在有理数域Q 上的极小多项式是________.三、解答题（本大题共3小题，第16小题9分,第17、18小题各10分，共29分）16.找出3次对称群S 3的所有子群,这些子群中哪些是S 3的不变子群?17.设群G =Z 18子群H =(［6］),(1)商群G /H =?(2)商群G /H 与怎样的一个群同构?18.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b a ,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 000， 证明：I 是R 的理想，问商环R /I 由哪些元素组成？四、证明题（本大题共3小题，第19、21小题每小题8分，第20小题10分，共26分）19.设R 为全体实数组成的加法群,R +表示全体正实数组成的乘法群,则R +与R 同构.20.设M 2(Q )是有理数域Q 上的二阶矩阵环,证明:M 2(Q )只有零理想与单位理想,但不是除环.21.证明：3-2i 是高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }的素元.。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷（共 50分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则 A ∩B=（A ）．[0，2] （B ）．[1，2] （C ）．[0，4] （D ）．[1，4]（2）在二项式6(1)x +的展开式中，含3x 的项的系数是（A ）．15 （B ）．20 （C ）．30 （D ）．40（3）抛物线28y x =的准线方程是（A ）x=－2 （B ）x=－4 （C ）y=－2 （D ）y=－4（4）已知1122log log 0m n << 则（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1（C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m（5）设向量 a ，b ，c 满足 a+b+c=0，且 a ⊥b ，|a|=1，|b|=2，则|c| 2 =（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）5（6）函数 f （x ）=32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（A ）－2 （B ）0 （C ）2 （D ）4（7）“a ＞0，b ＞0”是“ab ＞0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）如图，正三棱柱 111ABC A B C -的各棱长都为 2，,E F 分别为（A ）2 （B（C（D（9）在平面直角坐标系中，不等式组2020,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（A）（B ）4 （C）（D ）2（10）对,a b R ∈，记,max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值是 （A ）0 （B ）12 （C ）32（D ）3 第Ⅱ卷（共 100分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。

浙江省2003年1月高等教育自学考试线性代数试题 课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，E 是单位矩阵，A *是方阵A 的伴随矩阵。

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题2分，共20分)1.设A=792513802-，则代数余子式A 12=( )A.-31B.31C.0D.-11 2.设A 是n 阶方阵，X 是n ×1矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( ) A.X T AX B.XAX C.X T AX D.XAX T 3.1k 221k --≠0的充分必要条件是( )A.k ≠-1B.k ≠3C.k ≠-1且k ≠3D.k ≠-1或k ≠34.A 、B 、C 、E 为同阶矩阵，E 为单位阵，若ABC=E ，则下列各式中总是成立的有( )A.BAC=EB.ACB=EC.CBA=ED.CAB=E 5.已知A 有一个r 阶子式不等于零，则秩(A)( ) A.=r B.=r+1 C.≤r D.≥r6.向量组α1、α2、…αs 线性无关的充要条件是( ) A.α1、α2、…、αs 都不是零向量B.α1、α2、…、αs 中任意两个向量都线性无关C.α1、α2、…、αs 中任一向量都不能用其余向量线性表出D.α1、α2、…、αs 中任意s-1个向量都线性无关7.设非齐次线性方程组Ax=b ，下列结论正确的为( ) A.Ax=0仅有零解，则Ax=b 有唯一解 B.Ax=0有非零解，则Ax=b 有无穷多组解 C.Ax=b 有无穷多组解，则Ax=0有非零解 D.Ax=b 有唯一解，则Ax=0仍可能有非零解8.设A 是n 阶阵，且AB=AC ，则由( )可得出B=C.A.|A|≠0B.A ≠0C.秩(A)<nD.A 为任意n 阶矩阵9.齐次线性方程组A m ×n x=0有非零解时，它的基础解系中所含向量的个数等 于( )A.秩(A)-nB.秩(A)+nC.n-秩(A)D.秩(A) 10.如果( )，则A 与B 相似. A.|A|=|B| B.r(A)=r(B)C.A 与B 有相同的特征多项式D.n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题(每小题2分，共28分)1.132213321 =_______2.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余子式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112 x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121，则x=_______ 4.A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121123322111，则秩(A)=_______5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421421421964642321 =_____ 6.一个n 阶行列式的展开式中，带正号的项有_______个. 7.若A 2=A ，且A 不是单位阵，则|A|=_______ 8.|A|=4,则|A -1|=_______9.n0011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=_______ 10.A 、B 、C 均为阶可逆阵，则(ABC)-1=_______11.若设η1、η2、…、ηs 是n 元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，且秩(A)=r,则s=_______12.设A 是5阶方阵，|A|=-1,则|-2A|=_______ 13.3阶方阵A 的特征值为3，-1，2，则|A|=_______14.当λ_______时，二次型f(X 1,X 2,X 3)=X 12+2X 1X 2+4X 1X 3+2X 22+6X 2X 3+λx 32正定.三、计算题(每小题6分，共42分)1.32142143143243212.A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523012101，求A -13.A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5211，求B 2-A 2(B -1A)-14.解方程组求通解5.求向量组α1=(2,4,2),α2=(1,1,0),α3=(2,3,1),α4=(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出.6.A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201034011，求A 的特征值和特征向量.7.用配方法将二次型x 12+2x 1x 2+2x 1x 3+2x 22+4x 2x 3+x 23化为标准型. 四、证明题(每小题5分，共10分)1.n 阶方阵A 满足A 2-3A-2E=0，其中A 给定，证明A 可逆.2.若α1,α2线性无关，证明α1+α2、α1-α2也是线性无关的.。

近世代数复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备有一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元、逆元。

即对于任意的a, b属于G，有a*b属于G；对于任意的a, b, c属于G，有(a*b)*c = a*(b*c)；存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，有e*a = a*e = a；对于每一个a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。

2. 什么是子群？答：如果群G的一个非空子集H满足对于任意的a, b属于H，有a*b^(-1)属于H，则称H为G的一个子群。

3. 什么是正规子群？答：如果群G的一个子群N满足对于任意的g属于G和任意的n属于N，有g*n*g^(-1)属于N，则称N为G的一个正规子群。

4. 群同态的定义是什么？答：设G和H是两个群，如果存在一个映射φ: G → H，满足对于任意的a, b属于G，有φ(a*b) = φ(a)*φ(b)，则称φ为从G到H的一个群同态。

5. 什么是群的同构？答：如果群G和H之间存在一个双射的群同态φ，则称G和H是同构的，记作G ≅ H。

6. 什么是环？答：环是一个集合R，配备有两个二元运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群；(R, *)满足结合律；乘法对加法满足分配律。

即对于任意的a, b, c属于R，有(a+b)+c = a+(b+c)；存在一个元素0属于R，使得对于任意的a属于R，有a+0 = 0+a = a；对于每一个a属于R，存在一个元素-a属于R，使得a+(-a) = (-a)+a = 0；对于任意的a, b属于R，有(a*b)*c = a*(b*c)；对于任意的a, b属于R，有a*(b+c) = a*b + a*c，(b+c)*a = b*a + c*a。

7. 什么是理想？答：如果环R的一个非空子集I满足对于任意的a属于I和任意的r 属于R，有a*r和r*a属于I，则称I为R的一个理想。

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

1做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!全国2006年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是3阶方阵，且|A|=2，则|-A|=（ ） A ．-6 B ．-2 C ．2D ．62．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡004300020，则A 的伴随矩阵A*=（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0800012600B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0068000120C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0068000120D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0800012600 3．秩A 是n 阶方阵，且A 的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．r(A)≤n-1 B ．A 有一个列向量可由其余列向量线性表示 C ．|A|=0D ．A 的n-1阶余子式全为零 4．设A 为n 阶方阵，AB=0，且B ≠0，则（ ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A=0C ．A 的列向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关5．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ） A ．21α+αB ．21α-αC ．21α+α+βD ．213231α+α+β26．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A 是3阶方阵时，（ ） A ．r(A)=0 B ．r(A)=1 C ．r(A)=2D ．r(A)=3 7．设A 与B 等价，则（ ） A ．A 与B 合同 B ．A 与B 相似 C ．|A|=|B|D ．r(A)=r(B)8．已知A 相似于∧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001，则|A|=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．29．设0λ是可逆阵A 的一个特征值，则A -2必有一个特征值是（ ） A ．2λ B ．21λ C ．201λ D ．2λ 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，0，-1，则（ ） A ．|A|≠0 B ．|A|=0 C ．A 负定D ．A 正定二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分。

做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!浙江省2006年10月高等教育自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设Z是整数集，M={2，4，6，…，2n,…}ϕ:n→2|n|+4 ∀n∈Z则ϕ是从Z到M的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射又非满射2.设R为实数集，以下关系中，哪个是集合A的元间的等价关系（）A.A=R，关系～：a～b⇔a2+b2=0B.A=R，关系～：a～b⇔a≥bC.A=R，关系～：a～b⇔|a-b|≤1D.A=M n(R)（实数域上n阶方阵集），关系～：a～b⇔秩（A）=秩（B）3.设a，b，c是群G的三个元，则以下等式成立的是（）A.（ab）-1=a-1b-1B.(ab)-2=b-2a-2C.若a2=e则a=a-1D.若ab=c则ba=c4.下列各数集，对于普通加法和乘法不能作成环的是（）A.R1={5n|n∈Z}B.R2={a+b5|a,b∈Z}C.R3={a+b2+c3|a,b,c∈Z}D.R4={a+bi|a,b∈Z,i2=-1}5.3次对称群S3中，与元（123）可交换的元有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.设A={a,b,c},则A 中可定义不同的代数运算有________个。

2.剩余类加群Z 6的全部生成元是________。

3.剩余类环Z 4的可逆元共有________个。

4.理想（3）∩（7）=________。

5.设循环群G=(a)，如果a 的周期无限，则(a)同构于________。

6.域F 的全部理想是________。

7.一个整环I 叫做主理想环，假如________。

《近世代数》试卷（时间120分钟）一、填空题（共20分） 1. 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有 。

2. 设A 、B 是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝ ，［10］·［5］＝ ，方程x 2＝[1]的所有根为 。

4. 在5次对称群S 5中，（12）（145）＝ ，（4521）－1＝ ， （354）的阶为 。

5. 整环Z 中的单位有 。

6. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （ ）若群G 的每一个元满足方程x 2=e(其中e 是G 的单位元)，则G 是交换群。

2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。

3. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

4. （ ）设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。

5. （ ）主理想整环R 上的一元多项式环R[x]是主理想整环。

6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。

7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

8. （ ）模21的剩余类环Z 21是域。

9. （ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。

10. （ ）除环只有零理想和单位理想。

姓 名：_______________专业：班级： 学号：______________ ------------------------------------------密-------------------------------封-------------------------------线-------------------------------------------------------三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。

全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错选、不填均无分。

1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。