一元微积分(校本部理工A)期中试卷-2013-11-23

《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。

一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

34 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。

（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级 姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三 四 五 六七 八 九 十 十一 十二总 分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得 分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有 个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（ ）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（ ）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（ ）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（ ） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩， 求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。

一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）222012lim()12x nn n n n n n n→+++++++++; 解：因为22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++， 即22222(1)12(1)2()122(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++++. 而 22(1)(1)1limlim 2()2(1)2n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++，故 2220121lim()122x n n n n n n n n →+++=++++++.（2）0x →解：因为242444411(1)1122cos 1(1)()()22422!6x x x x x o x x o x -=-+--++=+，2424244421e1(1)()()2263x x x x x o x x o x --=-+--++=+，故 440441()16lim 12()3x x x o x x o x →→+==+. （3）求函数1(2cos )arcsin (01)1xx y x x x-=++<<+的导数. 解 l n (2c o s )21e a r c 1x x x y x+-=++ 2s i n 21(2c o s )[l n (2c o s )]s i n 12c o s (1)1x x xx y xx x x x -'=+⋅+---+++厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 理工类高数A 期中试卷（校本部） 试卷类型：（A 卷）（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定，求π2d d t yx =及22π2d d t y x =.解：d sin d 1cos y t x t =-，故π2d 1d t y x ==；22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=⋅=----，故22π2d 1d t y x ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f . 解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222fx x x x x x x ⨯=++++⨯+++⨯+， 则 (10)(0)19089f =-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）. 解：因为201ln ||lim 32x x x x x →-⋅=∞-+，故0x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第二类间断点（无穷间断点）；由于222ln ||lim ln 232x x x x x +→-⋅=-+，222ln ||lim ln 232x x x x x -→-⋅=--+，所以，2x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第一类间断点（跳跃间断点）；而2112ln ||(2)ln(11)limlim 132(2)(1)x x x x x x x x x x →→-⋅-⋅+-==--+--，故2x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第一类间断点（可去间断点）.3、(6分)设()y y x =是由方程22e 2xy x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点(0,2)处的切线方程和法线方程. 解 对方程22e2xyx y y +-=两边关于x 求导数，则有22e e ()0xyxyx yy y y y xy '''+--+=，令0x =，2y =，则有4(0)3y '=，于是所求切线斜率43k =. 于是，所求切线方程为423y x -=，即4360x y -+=，法线方程为324y x -=-，即3480x y +-=.4、（8分）设1e ,0(),0sin ,0e 1x x a x f x b x xx -⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<-⎩, 试问 （1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导? 解 只须考虑()f x 在0x =处的连续性和可导性. （1）为使()f x 在0x =处连续，则有lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==， 即 1a b ==. （2）101e 1(0)lim 0xx f x+-+→+-'==， 2000sin 1sin e 1sin e 1e 1(0)lim lim lim (e 1)x x x x x x x xx x f x x x----→→→--+-+-'===- 00cos e sin e 1lim lim 222x x x x x x x --→→---===-. 故()f x 在0x =处不可导.5、（8分）讨论函数22()ex f x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.解 2()(2)e (2)e xxf x x xx x --'=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x =.函数22()e x f x x -=在(,0)-∞及(2,)+∞上单调减少，在(0,2)上单调增加. 于是，函数22()e xf x x -=在0x =处取得极小值，极小值为(0)0f =，在2x =处取得极大值，极大值为2(2)4e f -=.由于lim ()x f x →-∞=+∞，而lim ()0x f x →+∞=，因此，函数()f x 没有最大值，在0x =处取得最小值0.6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()lim2e 1x x f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)x f x x x x →-+.解：因为函数()f x 在0x =处连续，故0()(0)lim ()lim(e 1)0e 1xx x x f x f f x →→==⋅-=-.（1）00()()e 1(0)limlim 2e 1x x x x f x f x f x x→→-'==⋅=-； （2）2200(tan sin )(tan sin )tan sin limlim ln(1)tan sin ln(1)x x f x x f x x x xx x x x x x →→---=⋅+-+ 3300tan sin tan (1cos )(0)lim 2lim 1x x x x x x f x x→→-⋅-'===. 7、（8分）设0xn x =（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞；解：1n x ==. 先用归纳法证明：1(2,3,)n n x x n ->=1n x <事实上，0x111x =<且10x x =>=. 假设结论对n k =11k k x x ->>>1n k =+时，111k x +=-<，1k x +=>且10k k x x +-=>，即1k k x x +>.故数列{}n x 单调增加，且有上界，于是极限lim n n x →∞存在，设lim n n x a →∞=.由n x =a =，解得12a ±=，因为n x1lim 2n n x →∞=. 二、应用题（10分）在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小.解：过椭圆上任意点00(,)x y 的切线斜率0()y x '满足0002222()0x y y x a b '+=，则20020()b x y x a y '=-，0(0)y ≠，切线方程为200020()b x y y x x a y -=--. 分别令0y =与0x =，求得,x y 轴上的截距为：2200,b a y x y x ==，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：2200011()24a b S x ab x y π=-其中0y ==，代入得3001(),(0,)4S x ab x a π=∈.问题是求：31()(0)4S x ab x a π=-<<的最小值，此问题又与求函数222()()f x x a x =-在闭区间[0,]a 上最大值等价. 由223()2()20f x x a x x '=--=，得2220a x -=，即0,02x x a x ===（舍去）， 注意到0(0)()0,()0f f a f x ==>，故0x =是()f x 在[0,]a上最大值点，因此)即为所求的点P .三、证明题（每题7分，共14分）（1）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对[0,1]上任意一点x 有0()1f x ≤≤，证明在[0,1]中必存在一点c ，使得()f c c =.证明：作辅助函数()()F x f x x =-，由于对[0,1]上任意一点x 有0()1f x ≤≤，则 (0)(0)0F f =≥，(1)(1)10F f =-≤.若(0)0F =，则取0c =；若(1)0F =，则取1c =；若(0)0F >且(1)0F <，利用零点定理，知在(0,1)内至少存在一点c ，使得()0F c =. 综上，在[0,1]上至少存在一点c ，使得()0F c =，即()f c c =.（2）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得4()()0f f ξξξ'+=.证明：做辅助函数4()()F x x f x =，由已知条件知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0F =，(1)(1)0F f ==，即(1)(0)F F =.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即344()()0f f ξξξξ'+=，也即4()()0f f ξξξ'+=.。