高等数学教学大纲

《高等数学》课程教学大纲总学时：（90＋64）一、课程简介1、课程性质：必修课2、开课学期：第一学期和第二学期开设3、适用专业：4、课程修读条件：中学数学5、课程教学目的：通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、物理等实际问题的初步训练，为后继课程的学习和今后从事科研活动奠定必要的数学基础。

二、教学基本要求或建议：通过教学，使学生掌握高等数学的基本概念，帮助学生克服中学阶段形成的负迁移作用，尽快适应大学的学习方式，使学生注意高等数学与初等数学的衔接与结合，又体会二者的本质区别，从而准确地理解高等数学的有关内容，掌握高等数学处理问题的方法。

三、内容纲目及标准：（一）理论部分学时数（20）第一章函数与极限[教学目的] 掌握函数概念与几个特性；掌握反函数概念，图形与直接函数关系；掌握五类基本初等函数定义与性质；掌握复合函数及初等函数的概念；了解双曲，反双曲函数定义与性质；掌握数列极限与函数极限定义，对一般简单的极限会用定义证明；理解函数左右极限概念、及极限存在与左，右极限之间的关系；掌握无穷小，无穷大概念与性质；理解无穷小的阶；会用等价无穷小求极限；掌握极限性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解函数连续性概念，会判别函数间断点类型；掌握连续函数运算和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质，并学会应用这些性质。

[教学重点与难点] 函数的概念与几个特性；复合函数及初等函数的概念；无穷小，无穷大概念与性质；极限性质及四则运算法则；连续函数运算和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数第二节数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理学时数：12第二章导数与微分[教学目的] 掌握导数定义与几何意义；会求平面曲线切线，法线方程；掌握函数可导性与连续性之间的关系；掌握导数四则运算和复合函求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；会对双曲反双曲函数求导数，会求简单函数的n阶导数，理解高阶导数概念；掌握隐函数求导法则，掌握参数方程确定的函数求导法则，能正确使用对数求导法，会求反函数的导数；掌握微分定义与几何意义，掌握微分四则运算法则和一阶微分形式不变性，了解微分在近似计算中的应用。

[教学重点与难点] 导数定义与几何意义；函数可导性与连续性之间的关系；导数四则运算和复合函求导法则；基本初等函数的导数公式；隐函数求导法则，参数方程确定的函数求导法则。

第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义第二节函数的求导法则一、函数和，差，积，商求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、基本求导法则与导数公式第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用学时数：12第三章微分中值定理与导数的应用[教学目的] 了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义，理解泰勒定理；了解柯西中值定理，熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0×∞”、“∞－∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法；掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法；理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和两个充分条件）和最大（小）值的方法；会描绘简单函数的图形；了解曲率和曲率半径的概念。

[教学重点与难点] 罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；描绘简单函数的图形。

第一节微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二节洛必达法则第三节 Taylor公式第四节函数单调性和曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题第六节函数图形描绘第六节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径学时数12第四章不定积分[教学目的]: 掌握原函数与不定积分概念及不定积分性质，熟记基本积分表；掌握凑微分法和第二换元法求不定积分；掌握分部积分法求不定积分；会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分，会使用积分表[教学重点与难点]：原函数与不定积分概念及不定积分性质；凑微分法和第二换元法求不定积分；分部积分法求不定积分；有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分。

第一节不定积分概念与性质一、原函数与不定积分概念二、基本积分表三、不定积分的性质第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法第三节分部积分法第四节有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例第五节积分表的使用学时数12第五章定积分[教学目的]: 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件；掌握定积分的基本性质；理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法；掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法，了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。

[教学重点与难点]：牛顿—莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷区间广义积分的概念及其计算方法。

第一节定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质第二节微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第四节反常积分一、无穷限反常积分二、无界函数的反常积分学时数8第六章定积分的应用[教学目的]: 掌握定积分元素法要领，会用定积分求平面图形面积；会求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体的体积；掌握平面曲线弧长概念，掌握直角坐标，参数方程，极坐标情形下的弧微分公式，会求曲线的弧长；掌握功，水压力，引力等物理量的意义，会用元素法通过定积分计算这些物理量，掌握平均值，均方根等概念和求法；[教学重点与难点]：定积分元素法要领；用定积分表达和计算一些几何量与物理量。

第一节定积分的元素法第二节定积分在几何中的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长第三节定积分在物理中的应用一、变力沿直线所做的功二、水压力三、引力学时数14第七章空间解析几何与向量代数[教学目的]：理解空间直角坐标系，理解向量概念及其表示法；掌握向量的运算（线性运算，数量积，向量积，知道混合积），掌握两个向量垂直，平行的条件；掌握单位向量，方向导数与方向余弦，向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及求法，会利用平面，直线的相互关系（平行垂直，相交）解决有关问题；理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

[教学重点与难点]：空间直角坐标系；向量相关概念；平面方程和直线方程及求法；利用平面，直线的相互关系（平行垂直，相交）解决有关问题；曲面方程的概念；常用二次曲面的方程及其图形；求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程。

第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影第二节数量积，向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角第六节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例学时数14第八章多元函数微分法及其应用[教学目的]: 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）；会求二元函数的定义域，有界闭区域上连续函数的性质；理解多元函数偏导数和全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件，会求全微分；了解全微分形式的不变性；了解全微分在近似计算中的应用；掌握多元函数的一、二阶偏导数计算方法；掌握多元复合函数偏导数的求法；理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

[教学重点与难点]：多元函数偏导数和全微分的概念；多元函数的一、二阶偏导数计算方法；隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；多元函数极值和条件极值；拉格朗日乘数法求条件极值。

第一节多元函数的概念一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数第三节全微分一、全微分的定义第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及极大值、极小值二、条件极值拉格朗日数乘法学时数12第九章重积分[教学目的]: 理解二重积分、三重积分的概念；了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。