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结构力学薄壁杆件扭转

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薄壁箱梁扭转理论讲解

薄壁箱梁扭转理论讲解


基于扭转理论的优化设计目标是寻找 最优的梁截面尺寸、材料分布和结构 布局，以实现最小的重量、最大的承 载能力和最佳的稳定性。
03
优化设计的方法
常用的优化设计方法包括有限元法、 有限差分法和离散元素法等。这些方 法可以通过迭代计算，不断调整设计 方案，以实现最优的设计结果。
优化设计的目标与方法
优化设计的目标
转动惯量
薄壁箱梁的转动惯量决定 了其抵抗扭矩变化的稳定 性。
提高抗扭性能的措施
优化截面尺寸
通过调整薄壁箱梁的截面尺寸，提高其抗扭刚 度。
选择高强度材料
使用高强度材料可以降低扭矩作用下梁的变形。
加强连接构造
通过增加连接构造，提高薄壁箱梁的整体稳定性，从而提高其抗扭性能。
抗扭性能的实验研究
实验设备
需要使用专门的实验设备来模拟薄壁箱梁在扭矩作用 下的表现。
02 薄壁箱梁的扭转理论
扭转理论的定义与原理
定义
薄壁箱梁的扭转理论是指研究薄壁箱梁 在扭矩作用下的变形和应力分布的理论 。
VS
原理
薄壁箱梁的扭转理论基于弹性力学的基本 原理，考虑了剪切变形和剪切力的影响， 采用适当的简化假设和数学模型来描述扭 矩作用下薄壁箱梁的力学行为。
扭转理论的计算方法
解析法
优化设计的实践案例
案例一
某大型桥梁的薄壁箱梁设计。通过基于扭转理论的优化设计，成功地减小了梁 的重量，提高了承载能力和稳定性。同时，也降低了材料的消耗和成本。
案例二
某高速列车的车体结构设计。采用薄壁箱梁作为主要承重结构，通过优化设计， 实现了车体的轻量化和高强度。这提高了列车运行的安全性和稳定性。
实验过程
通过观察和记录薄壁箱梁在扭矩作用下的变形情况， 分析其抗扭性能。
材料力学第四章 扭转

材料力学第四章 扭转

则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒

薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒


6.3、等直圆杆在扭转时的应力


实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋 转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。 满足平面假设 横截面上只有剪应力

剪应力计算
G1G d tg dx dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。
2 D 2 d 2
(
d ) D

d O
d
D


32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
应力分布情况?

确定最大剪应力：
T 知：当 Ip d R , max 2 d T T T 2 max d Wt I I 2
解：①设计杆的外径
Tmax Wt [ ]
D Wt （ 1 4）
3
16
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得：
1 3
D 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
Tmax 180 32 40 180 max 1 . 89 9 2 4 4 GIP 80 10 D ( 1 )
③右端面转角为：
T 10 2 40 20x dx 0 dx ( 4 x x2 ) GIP GIP GIP
L 0
2 0
0.033 (弧度）

圆柱形密圈螺旋弹簧的应力计算 T Q
=
Q
+
T
T
P
近似值：
PD P d 8DP 2 3 2 1 3 d d 2D d 16 4
薄壁杆件力学

薄壁杆件力学

薄壁杆件力学一、引言薄壁杆件力学是结构力学的一个重要分支，主要研究薄壁杆件的受力和变形规律。

薄壁杆件广泛应用于航空、航天、汽车、机械等领域，因此对其力学性能的研究具有重要意义。

二、薄壁杆件的基本概念1. 薄壁杆件的定义薄壁杆件是指截面尺寸相对较小，且轴向载荷较大的结构元件。

在实际工程中常见的薄壁杆件有圆管、方管、角钢等。

2. 薄壁杆件的特点（1）强度高：由于其截面尺寸相对较小，因此强度相对较高。

（2）重量轻：由于其截面尺寸相对较小，因此重量相对较轻。

（3）易于加工：由于其截面尺寸相对较小，因此易于加工成各种形状。

三、薄壁杆件受力分析1. 轴向载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其受力分析可以采用杆件理论进行计算。

根据杆件理论，薄壁杆件的应力为：σ= F/A其中，σ为应力，F为轴向载荷，A为截面积。

2. 弯曲载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其受力分析可以采用梁理论进行计算。

根据梁理论，薄壁杆件的弯矩为：M= EI/ρ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为曲率半径。

3. 剪切载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其受力分析可以采用剪切变形理论进行计算。

根据剪切变形理论，薄壁杆件的剪应力为：τ= F/As其中，τ为剪应力，F为剪切载荷，As为截面面积。

四、薄壁杆件的变形规律1. 轴向变形规律当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其轴向变形规律可以采用杆件理论进行计算。

根据杆件理论，薄壁杆件的轴向变形为：δ= FL/EA其中，δ为轴向变形，F为轴向载荷，L为杆件长度，E为弹性模量，A为截面积。

2. 弯曲变形规律当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其弯曲变形规律可以采用梁理论进行计算。

根据梁理论，薄壁杆件的弯曲变形为：δ= M L/ EI其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为跨度长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。

3. 剪切变形规律当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其剪切变形规律可以采用剪切变形理论进行计算。

5第五讲(薄壁圆筒扭转)

5第五讲(薄壁圆筒扭转)

薄壁圆筒扭转的应力
引进 A0 πr ，上式亦可写作
2 0
三峡大学 工程力学系
材料力学教案 薄壁圆筒横截面上的变形
Me
第三章 扭转 薄壁圆筒的扭转
Me
g
A D BC l
j
薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变 量称为切应变。该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动
了j角，这种角位移称为相对扭转角。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
Me2 Me3 Me1 Me4
T1 4780 Nm T2 9560 Nm T3 6370 Nm
作出扭矩图
B
C
A
D
6370
+
4780 9560
T
max
9560 N m
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
Me
薄壁圆筒的扭转
P 9549
常见的传动机构。如水轮机，发电机等。 这里的材料力学问题是：传动的这个圆轴承受什么样的荷
载，会不会破坏？它的变形是什么样的，有多大，会不会
影响正常的传动？ 三峡大学 工程力学系
扭转的实例
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
为解决上述问题，先选用一个相对简单的构件－薄壁圆筒
的扭转加以研究。
1 薄壁圆筒：壁厚 t r0 （r0：为平均半径） 10
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
上一讲学到：
（1）拉压杆应变能：了解应变能概念。 （2）拉压杆强度问题：许用应力、强度条 件、三种题型。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
第五讲
薄壁圆筒扭转内力、应力和变形
三峡大学 工程力学系
材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算

材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算


(a)
´ (b)
1. 点M的应力单元体
M
2. 斜截面上的应力；
´ (c)


x
´ (d)
(d)
n

x
转角规定：
´
t
Fn 0
Ft 0
dA (dAcos )sin ( dAsin )cos 0
dA (dAcos )cos ( dAsin )sin 0
剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比γ是
表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材 料：
G

E 2(1
)
三、等直圆杆扭转的应力 1、实验观察：
横截面仍为平面； 轴向无伸缩； 纵向线变形后仍为平行。
返回
2、横截面上的应力：
1）. 变形几何关系：


tg

G1G dx

d
dx

d4
32

n
G [ ]
M 32
d2

4

G [
n
]
4 32 4210 180 3.14 2 80 109 1
74.4mm
M d1
4
32
G [
n
]

4
32 7024180 3.142 80109 1
84mm
d1 85mm , d2 75mm
Mn Mn
2 r02 t 2A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
3、剪应力互等定理
mz 0
a


dy
´
c
z
dx
´
b
材料力学课件-第四章-扭转

材料力学课件-第四章-扭转


d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
Page27
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
Page31
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d
A
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
1. 几何方面
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
由此得
d dx
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d dx
2. 物理方面
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
M M
M
M
弹性力学课件07-杆件的扭转

弹性力学课件07-杆件的扭转

15
x 0
三、位移分量：
u x x v y y
x 0

不计刚体位移
y 0
z 0
xy 0
zy
zx
1 G x
u yz v zx
为单位长度的相对扭转角
z
w z
v u x y w v y z u w z x
2
弹性解：
x y z t xy 0
Mx t zy Ip
t zx
My Ip
(1 ) t zx
2
2 0 zx
2 2 2 2 2 2 2 x y z
4
2. 应变分量： x y z t xy 0
A
3
用应力表示的相容方程：
2 (1 ) x 0 2 x 2 2 (1 ) y 0 2 y 2 2 (1 ) z 0 2 z 2 2 (1 ) t xy 0 xy 2 (1 ) 2t yz 0 yz
12
2 2 2 2 2 2 2 x y z
边界条件：
侧面：
l dy dx ,m ,n 0 ds ds
o
dx dy ds
x
l x mt yx nt zx 0 lt xy m y nt zy 0 lt xz mt yz n z 0
l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz
A A
侧面： 端面：
x y l ,m ,n 0 R R
l 0, m 0, n 1
11-扭转内力+薄壁圆筒的扭转

11-扭转内力+薄壁圆筒的扭转

Me
往不是直接给出的，而是给出 其功率和转速。
功率：N 马力或 P 千瓦 转速：n转/分钟
Me每分钟做功 = M e ⋅ 2π ⋅ n 1千瓦 = 1kN.m/s = 60kN.m/min
P千瓦每分钟做功
= P ⋅ 60kN.m
P M e = 9.55 n
第八章 扭转
§8-4 薄壁圆筒的扭转
Me
γ δ
E G= 2(1 + υ )
r0 δ≤ 10
Me
可以观察到： ①圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变 ②所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同
第八章 扭转 Me
dy γ 放大
τ'
单元体 dy τ
γ
τ
dx
Me
τ'dx
δ
(τ ⋅ δ ⋅ dy ) ⋅ dx
(τ ′ ⋅ δ ⋅ dx ) ⋅ dy
τ′ =τ
切应力互等定理： 在单元体相互垂直的两个截面上，切应力的数值相 等，并且它们同时指向（或背离）这两个截面的交线。
第八章 扭转 Me
τ
dA
T r0
dA
τ
T r0
τ dA
T=
τ dA
∫
= ∫ τ ⋅ r0 dA = τ r0 ∫ dA = τ r0 A
A
T T τ= = Ar0 2π r02δ
第八章 扭转
τ'
dy τ
γ
τ ∝γ
τ
引入比例常数 G
τ'dx
δ
τ = Gγ
——剪切虎克定律 G — 剪切弹性模量，切变模量
M2 M3 M1 M4
A
B
C
4.68kN.m
薄壁箱梁扭转理论

薄壁箱梁扭转理论


05
结论与展望
研究结论
薄壁箱梁扭转理论在桥梁工程 中具有重要应用价值，能够为 桥梁设计和施工提供理论支持
。
通过研究和分析，薄壁箱梁的 扭转行为受到多种因素的影响 ，如截面尺寸、材料属性、支
撑条件等。
薄壁箱梁的扭转刚度与截面尺 寸、材料属性等因素密切相关 ，需要综合考虑这些因素以获 得准确的计算结果。
加强薄壁箱梁扭转理论的实验研究，通过实测数据验证 和完善相关理论模型和计算方法。
THANKS
感谢观看
薄壁箱梁的截面具有 较高的抗剪切能力， 能够承受较大的剪切 力和扭矩。
薄壁箱梁的截面尺寸 较小，有利于减轻结 构自重和降低工程成 本。
薄壁箱梁的截面形状 使得其具有较高的抗 弯刚度，能够承受较 大的弯矩。
03
薄壁箱梁的扭转理论
薄壁箱梁的扭转刚度
01
02
03
截面尺寸
截面尺寸越大，抗扭刚度 越强。
材料属性
通过对比理论计算和试验结果， 分析薄壁箱梁的扭转性能，找出 薄弱环节和优化方向。
薄壁箱梁的优化设计
设计目标
设计步骤
以提高薄壁箱梁的扭转性能为主要目 标，进行结构优化设计。
首先进行理论分析，建立数学模型； 然后进行有限元分析，找出最优设计 方案；最后进行试验验证，确保优化 效果。
设计方法
可以采用有限元分析、拓扑优化、形 状优化等方法，对薄壁箱梁的结构进 行优化设计，提高其抗扭刚度和承载 能力。
薄壁箱梁的剪切效应
01
剪切效应是指薄壁箱梁在受到扭矩作用时，其剪切 变形对整体结构的影响。
02
剪切效应的大小取决于薄壁箱梁的剪切模量和剪切 力的大小。
03
剪切效应对薄壁箱梁的承载能力和稳定性有一定影 响，需要考虑剪切效应对整体结构的影响。
闭口薄壁杆件

闭口薄壁杆件


于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错 动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是：
aa' Rd
m
n

d c
m
a e R a e b d b

e
e

d
dx
n

直角abc的角度改变量：
aa ' d R ad dx
1
MC
2
T2
x
B
1
C
2
M
x
0 M B MC T2 0 T2 M B MC＝477.5 2 955N m
3 T3 3
MD
x
D
M
x
0 M D T3 0 T3 M D＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
max 不超过材料的许用剪切应力
故强度条件为：
。 （4-10）
max
讨论： max 的确定 对于等截面直杆， max 发生在Tnmax 处（扭转最大的截面 处），即：
max
Tn max Wn
（4-11）
对于阶梯形轴，因为Wn不是常量， max 不一定发生在Tnmax 所在的截面。这就要求综合考虑扭矩Tn和抗扭截面模量Wn两 者的变化情况来确定。
§4-6 非圆截面杆扭转的概念 §4-7 薄壁杆件的自由扭转
§4-1 扭转的概念
一、引例
F
F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作 用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会 发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。

自由扭转和限制扭转

薄壁梁由薄板、薄壳及细长杆件组成的梁。

它的截面最大尺寸远小于纵向尺寸，有的还在横向有坚硬的框架薄壁梁根据其截面几何形状的不同，可分为三种类型：截面中线为开曲线的称为开截面薄壁梁，截面中线为单连闭曲线的为单闭截面薄壁梁，截面中线为多连闭曲线的称为多连闭截面薄壁梁，如图：薄壁梁上可能作用有三个方向的力和三个轴上的力矩。

在这些力和力矩的作用下，梁内产生两个未知内力：正应力和剪应力（或剪流）,但这两个未知内力可以通过沿梁轴方向的平衡方程组相联系，因此只剩一个量是独立的。

薄壁梁应力分析的任务就是根据其受力状态、截面几何形状和尺寸及端部支持等情况计算出梁中的内力值。

在外力和外力矩作用下，薄壁梁一般既产生弯曲变形，又产生扭转变形。

为了简化计算，可分别求出弯曲和扭转两种情况下的内力，然后再进行叠加。

薄壁梁的扭转1.自由扭转1）定义:如直线等截面杆件两端承受大小相等而方向相反的一对扭矩，而且两端的支承条件又不限制端部截面的自由翘曲(即截面处点的纵向位移)，则杆件产生沿全长均匀的扭转，称为自由扭转，亦称纯扭转或圣维南扭转。

2）自由扭转的特点：(1) 沿杆件全长扭矩M s 相等，单位长度的扭转角dϕ/dz相等，并在各截面内引起相同的扭转剪应力分布。

(2) 纵向纤维扭转后成为略为倾斜的螺旋线，ϕ较小时近似于直线，其长度没有改变，因而截面上不产生正应力。

(3) 对一般的截面(圆形、圆管形截面和某些特殊截面例外)情况，截面将发生翘曲，即原为平面的横截面不再保持平面而成为凹凸不平的面。

(4) 与纵向纤维长度不变相适应，沿杆件全长各截面将有不完全相同的翘曲情况。

3）自由扭转的必要条件：两端截面可以无约束地自由翘曲即自由纵向凹凸伸缩是自由扭转的必要条件。

2.限制扭转1）定义杆件受到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在扭转时不能自由变形，这种扭转叫做“约束扭转”，也叫做“限制扭转”。

约束扭转时，构件产生弯曲变形，截面上将产生纵向正应力，称为翘曲正应力。

材料力学第3章-扭转

第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。

2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。

又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。

规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。

3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。

（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。

γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。

弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。

dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。

则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。

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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9-2）
式中，—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dV
dx
2
2G
tds
dx
1 2G
Ms 2 At
2 tds
dx
Ms 8GA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
d
dx
Ms 4GA2
ds t
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
It
btb ata dx 0
或
q btb ata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
M s 2 Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i 1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例 如对于第2室，有
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q2
b a
ds t
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
ads b h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a
ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
4 A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds t
2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三 个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—bl 截tt 面11的00最 大宽度（；9l-—1）杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
则
It
1 3
s1 t 3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
Mst It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。