第七章 量纲分析与相似理论

1 第四章 相似理论与量纲分析

在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。

借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。

第一节 相似理论

为了能够使模型流动（以下标“m”表示）表现出原型流动（以下标“p”表示）的主要现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。

一、几何相似

几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应边长保持一定的比例关系，对应角相等。设原型的线性长度为pl，模型的线性长度为ml，两者的比值用l表示，称为尺度比例系数

mPlll

（4-1）

而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为

2lmPAAA

2 3lmPVVV

（4-2）

二、运动相似

运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者说，两个流动的速度场是几何相似的。设时间比例系数为t

第7章 量纲分析与相似原理自测题

一、思考题

7.1什么是量纲？量纲和单位有什么不同？

7.2什么是基本量纲？力学问题中常用哪些基本量纲？

7.3什么是无量纲量？无量纲量有何特点？

7.4如何判别几个基本物理量是相互独立的？

7.5什么是量纲和谐原理？

7.6何谓几何相似，运动相似和动力相似？试举例说明之。

7.7什么是相似指标？若两流动相似，相似指标应该满足什么条件？

7.8试写出佛劳德数、雷诺数、欧拉数的定义式及其物理意义。

7.9什么是相似准则？模型试验方法如何选择相似准则

7.10为什么工程中常常采用的近似模型试验方法？请举例说明之。

7.11对于有压的粘性管流或其它有压内流，应该考虑什么准则数？

二、选择题

7.1 速度、长度l、重力加速度g的无量纲集合是（ D ）。

（A）gl （B）gl （C）gl （D）gl2

7.2 速度、密度、压强p的无量纲集合是（ D ）。

（A）p （B）p （C）2p （D）2p

7.3 速度、长度l、时间t的无量纲集合是（ D ）。

（A）tl （B）lt （C）2tl （D）tl

7.4 压强差p、密度、长度l、流量Q的无量纲集合是（ D ）。

（A）2plQ （B）2pQl （C）plQ （D）2lQp

7.5 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是（ A ）。

（A）雷诺准则 （B）弗劳德准则 （C）欧拉准则 （D）其它

7.6 雷诺数的物理意义表示（ C ）

（A）粘性力与重力之比 （B）重力与惯性力之比

1 《力学实验原理与技术》复习提纲 （参考）

第一章 相似准则与量纲分析

1. 相似的概念

2. 相似准则的理论推导

3. 相似准则介绍

4． 量纲分析

1.1 相似的概念

1. 回顾相似的概念：三角形相似

如果两个三角形的三组对应边成比例那么这两个三角形相似。

模型试验中如何选择风洞参数？

 力学相似

 几何相似

 运动相似

 动力相似

 热相似

2. 力学相似

(1) 几何相似

 定义：模型的边界形状和原型的边界形状相似

δL模型比尺，Ly原型的特征长度，Lm模型的特征长度

思考题1: 几何相似＝几何尺寸相似？

（2）运动相似

 定义：原型流动与模型流动对应点处的速度向量平行且大小成比例。

δv速度比尺，Vy原型某点的速度，Vm模型对应点的速度。

推导：几何相似 时间相似

δt时间比尺，质点通过相应线段的时间成固定比例。

思考题2: 运动相似＝速度矢量图相似？

（3）动力相似

 定义：原型流动和模型流动中对应点作用的同名力互相平行、大小成比例。表达式：

力的比尺：

推导 加速度比尺：

力的比尺

思考3：几何相似和运动相似是否为动力相似的必要条件？

（4）热相似 ymLLConstLvvvymConstymLLConstLytmtConsttyFmFConstFv2LattConst322v2LFLLt 2 定义：原型流动和模型流动中对应点（微元）的温度成比例，热流量方向相同、大小成比例。表达式：

温度比尺：

热流量比尺：

本节小结

• 力学相似－－几何相似、运动相似 、动力相似及边界和初始条件相似；

• 动力相似 在流体力学实验中是基本的相似准则

1.2 相似准则的理论推导



原型流场的2维N-S方程x分量形式为

模型流场

 原型流场与模型流场相似的条件: 选δL为长度比尺，δv速度比尺。δt、δp、δρ、δν分别为时间、密度、压力、粘度的比尺：

1 第五章 相似理论与量纲分析

实际工程中，由于流体粘性的存在和边界条件的多样性，流动现象极为复杂，往往难以通过解析的方法求解。此时，不得不依赖实验研究。

通常，实际工程或实物（统称原型）的尺寸太大，直接进行实验会耗费大量的人力和物力，有时甚至难以实现。因此，大多数实验都是在比原型小的模型上进行的（称为模型实验）。通过模型实验，得出实验结果，进而预测原型中将要发生的流动现象。那么怎样才能保证模型与原型有相同的流动规律呢？这就是相似理论要研究的问题。量纲分析则是在观测流动现象的基础上，建立流动各影响因素的正确关系。

§5.1 相似理论

5.1.1 流动相似

为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。

1. 几何相似

几何相似是指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。如图5-1所示，有

lp1lp3lp2θp3θp2θp1lm1lm3θm3θm2θm1lm2

图5-1 几何相似

lpm3p3m2p2m1p1mkllllllll （5-1）

p3m3p2m2p1m1，， （5-2） 2 式中kl称为长度比尺，则

面积比尺 2l2p2mpmAkllAAk （5-3）

体积比尺 3l3p3mpmVkllVVk （5-4）