第五章 相似理论与量纲分析

1 第五章 相似理论与量纲分析

实际工程中，由于流体粘性的存在和边界条件的多样性，流动现象极为复杂，往往难以通过解析的方法求解。此时，不得不依赖实验研究。

通常，实际工程或实物（统称原型）的尺寸太大，直接进行实验会耗费大量的人力和物力，有时甚至难以实现。因此，大多数实验都是在比原型小的模型上进行的（称为模型实验）。通过模型实验，得出实验结果，进而预测原型中将要发生的流动现象。那么怎样才能保证模型与原型有相同的流动规律呢？这就是相似理论要研究的问题。量纲分析则是在观测流动现象的基础上，建立流动各影响因素的正确关系。

§5.1 相似理论

5.1.1 流动相似

为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。

1. 几何相似

几何相似是指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。如图5-1所示，有

lp1lp3lp2θp3θp2θp1lm1lm3θm3θm2θm1lm2

图5-1 几何相似

lpm3p3m2p2m1p1mkllllllll （5-1）

p3m3p2m2p1m1，， （5-2） 2 式中kl称为长度比尺，则

面积比尺 2l2p2mpmAkllAAk （5-3）

体积比尺 3l3p3mpmVkllVVk （5-4）

第五章量纲分析与相似原理在长期的生产实践中，人们总结出两种方法去研究、解决各种工程流体力学问题。一种是数学分析方法，通过求解描述流动过程的微分方程式，获得各量之间的规律性关系。另一种是实验方法，通过实验获取流体的流动规律。然而，能够用数学分析方法求解的流体力学问题是有限的。在许多情况下，流体流动的现象很复杂，往往难以用微分方程式加以描述；而且即使能够建立微分方程式，由于不能确定初始条件和边界条件，也难以求解。所以日前大量的流体力学问题只能用实验方法求解。本章介绍的量纲分析(Dimensionalanalysis)和相似原理(lawofsimilarity)就是指导实验的理论。§5-1量纲分析当某一流动过程尚不能用微分方程描述时，量纲分析法是确定物理量间关系的有效方法。一. 量纲分析的基本知识“量纲”(或“因次”)是用以度量物理量单位的种类的。以小时、分、秒为例，它们是不同的时间测量单位，但这些单位都属于同一时间种类。若将这些属于同一种类的单位用[t]表示，则[t]就是上述时间单位的“量纲”。因此，量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。例如[t]表示时间量纲,[L]—表示长度量纲。SI制中的基本量纲：dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英制单位制量纲基本量纲量纲幂次式§5-1量纲分析§5-1量纲分析导出量纲可用三个基本量纲的指数乘积形式表示。例如B为任一物理量，其量纲可用下式表示：[][]abcBLMt§5-1量纲分析上式称为量纲公式，式中a、b、c可正、负、整数、分数，它取决于物理量的定义和本质。例如密度的量纲是，动力黏度的量纲是。流体力学中常用量的量纲见下表。3[][]ML11[][]MLt§5-1量纲分析导出量物理方程量纲速度V力F压强p密度ρ动力黏度µ运动黏度dlVdt22dlFmamdtdFpdAdmdvFdVAdl1[][]VLt2[][]FMLt12[][]pMLt11[][]MLt3[][]ML21[][]Lt§5-1量纲分析在上式中，若a、b、c三个数中有一个不为零，则表明该物理量B是有量纲的量，当“a、b、c”全部为零时，则表明物理量B是无量纲的量，或称无量纲数(Non-dimensionalnumber)。无量纲数可以是两个同类量的比值，也可以是几个有量纲量通过乘积组合而成，组合的结果使a、b、c均为零。有量纲的量会因所选择的单位制不同而改变数值，而无量纲量则不随所选择的单位制不同而改变其数值。量纲分析的目的之一就是要找到正确地组合各有关量为无量纲量的方法。§5-1量纲分析值得注意的是有些方程中的常数是有量纲的，比如气体常数R，根据气体状态方程p=ρRT,R的量纲为。一个正确而完整的物理方程，其各项的量纲都是相同的，这一规律称为“量纲齐次原理”。可用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。一个不完全的物理方程，常常也是量纲不一致的。例如一些经验公式，其中的变量单位有一定限制，如果应用的单位制改变，经验公式的常数也作相应地改变，这一点正是和量纲齐次方程的区别。221[]LtT§5-1 量纲分析对于量纲齐次的方程．只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可使方程的每一项都变成无量纲量，方程化为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有量纲齐次原理，通过量纲分析和换算，将原来含有较多物理量的方程，转化为含有比原物理量少的无量纲数组方程，使方程变量减少，为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。gpzgv22常数（沿流线）LLTLTgv12212dim2L z dimLLTMLTMLgp1221-13 dimL常数dim§5-1 量纲分析f(x1,x2,…xn)=0F (П1, П2, П3, ……, Пn-m )=0Π定理方法充要条件n个物理量m个独立基本量n-m个导出量选m个独立基本量组成n-m个独立Π数量纲分析方法等§5-1量纲分析二.Π定理§5-1量纲分析若某现象由n个物理量所描述．把它写成数学表达式，即f(x1,x2,…xn)=0，设这些物理量包含m个基本量纲，则该现象可用n-m个无量纲数组的表达的关系式来描述，即。这就称为定理。或称白金汉(Buckingham)定理。无量纲数组是这样组成的：在变量x1,x2,…xn中选择k(＝m)个量纲不同的变量作为重复变量，并把重复变量与其余变量中的一个组成无量纲数组π,共组成(n—m)个无量纲数组。12(,,...)0nmF§5-1量纲分析例如：选择x1,x2,x3为重复变量，无量纲数组为:根据物理方程量纲齐次原理，确定待定指数a、b、c的值，从而也就确定了每个π的值，最后可写出无量纲数组方程。mncbamncbacbaxxxxxxxxxxxxmnmnmn3215321243211222111§5-1量纲分析一般来说，要将某物理现象和无量纲数组的函数关系式表达出来，以白金汉π定理的方法，需要以下几个步骤：1．列出影响该物理现象的全部n个变量：f(x1,x2…xn)=0;2、选择m个基本量纲，例如L、M、t；3．从所列变量中选出k(＝m)个重复变量，重复变量应包括几何变量、运动变量和动力变量；§5-1量纲分析4．用重复变量与其余变量中的一个建立无量纲方程，从而获得(n-m)个无量纲数组；5．建立无量纲数组方程，F(π1,π2…πn-m)＝0§5-1量纲分析例5—1不可压缩黏性流体在管内作定常流动时，流体的压降损失Δp与管内径d、管长l、管壁粗糙度ε、流体的平均流速v、密度ρ和黏度µ有关。试用无量纲数组π表示压降。解根据题意，我们可按下面几步解题(1)该流动现象共有n＝7个变量：Δp、d、l、ε、v、ρ、µ。(2)选择基本量纲数目m＝3个，M、L、t。(3)选用k＝m＝3个重复变量：ρ、v、d.(4)组成n—m＝7—3＝4个无量纲数组，现求解π§5-1量纲分析1111112111:01:0312:020aMapLabcbVtbc1故)()()()(21130001111111tMLLLtMLtLMpdVcbacba§5-1量纲分析222222221:01:03121:020aMaLabcbVdtbc2故)()()()(11130002222222tMLLLtMLtLMdVcbacba§5-1量纲分析333333330:0:0310:01aMalLabcbdtbc3故)()()()(333333130003LLLtMLtLMldVcbacba§5-1量纲分析444444440:0:0310:01aMaLabcbdtbc4故)()()()(444444130004LLLtMLtLMdVcbacba§5-1量纲分析(5)建立无量纲数组方程上例中，描述该现象的物理量有7个，基本量纲有3个，得到7—3＝4个无量纲数组。对于其他现象，都存在如下的规律；某现象由n个物理量所描述，而这些物理量的基本量纲有m个，则可得到k＝n—m个独立的无量纲数组。通常将此规律称为“量纲分析π定理”。2,,,0plFVVddd§5-1量纲分析量纲分析方法表明，对一些较复杂的物理现象，即使无法建立微分方程式，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无量纲数组，为解决问题理出头绪，量纲分析的价值就在于此。§5-1量纲分析三.几点说明1.无量纲数组的形式对一定的现象，无量纲数组的个数是固定的，但形式不是惟一的，或者说π定理确定的无量纲数组的形式有一定的任意性，但组合的方式不改变这些无量纲数组的本质。无量纲数组的形式有以下几种：(1)(n为常数)仍是无量纲数。例如是无量纲数组，那么仍是无量纲数组，习惯上仍称为Fr数。。n2rglFV212()glVVgl§5-1量纲分析(2)(n1，n2，…，nk为常数)仍是无量纲数。例如仍是无量纲数组，称为伽利略数。(3)仍是无量纲数。例如1212,,....nnnkk1211122'2112'2(),()()()eglglWglGalgFr2322Re§5-1量纲分析式中σ为液体的表面张力系数，ρ、ρ’为液相、气相物质的密度。We仍是无量纲数，称为韦伯数。(4) (a为常数)仍是无量纲数。例如是无量纲速度,那么也是无量纲数。(5)无量纲数组中任一物理量用其差值代替仍是无量纲数。例如欧拉数中的压强可用Δp代替，仍称为欧拉数‘a0VV0001VVVVV2upEV2pV§5-1量纲分析2．作用在流体上的力如果用l代表特征尺寸，用V、Δp分别代表流场的速度和压强差，ρ、µ、σ分别代表流体的密度、动力黏度和表面张力系数。则作用在流动流体上常见的几个力，可用这些量的组合表示：惯性力inertial force黏性力viscous force2322inerVFmalVll2visduVFAAlVldyl§5-1量纲分析压力pressure force重力gravity force表面张力surface tension弹性力elasticity force22preFpAplpl或3graFmgglsurFl2()elaFkAklk式中为弹性模量§5-1量纲分析3. 流体力学中常见的无量纲数组下面列出流体力学中常见的几个无量纲数组。(1)雷诺数Reynolds number以英国工程师雷诺(Reynolds)的名字命名，可用它判别流态。一般可写成如下形式：可见它是惯性力与黏性力的比值。如果Re数大，则惯性力起主要作用，流动是湍流；如果Re数小，则黏性力起主要作用，流动是层流。22inerevisFVlVlRVlF§5-1量纲分析(2)欧拉数Euler number由瑞士数学家欧拉(Euler)在流体力学分析中提出。如果压强或压差对流动起主要作用，用欧拉数分析是很方便的。可见它足压力与惯性力的比值。和压力有关的现象由Eu数决定。为表征压强系数，一般采用2222preinerFpplEuVVlF20.5ppCV§5-1量纲分析(3)弗劳德数Froude number由英国造船工程师弗劳德(Froude)与他的儿子共同提出。它是在重力影响较大的流动场合或者流动是由重力引起的情况下，常常考虑的一个无量纲数组。它是惯件力与重力的比值．反映了重力对流体的作用。和重力有关的现象由Fr数决定。223inergraFVVlFrglFgl§5-1量纲分析(4)韦伯数Webernumber流体与边界接触必产生表面张力，当表面张力产生的影响不能忽略时，引入的一个无量纲数组，称为韦伯(Weber)数。(5)马赫数Machnumber奥地利物理学家马赫(Mach)在研究可压缩流体流动时，提出的无量纲数组。222inersurFVlVlWelFelainerFFkllVkVaVMa222

Chapter Five

Similitude and Dimensional Analysis

第五章 相似原理与量纲分析

仅仅依靠理论知识，一般是很难确定与流体流动相关的所有参变量是如何相互联系的。在确定函数、关系式、以及某些参变量与自变量的关系时，常常采用实验研究的方法。鉴于完整描述流体流动的变量数较多，需要进行的实验数目将是相当惊人的。然而，利用量纲分析与相似原理，可以大大减少需要进行实验的数目。

涉及到流体力学的大多数工程问题的求解，都依赖于实验所获得的数据。在很多情况下，经验数据已经足够满足工程师们的一般设计需求，这些数据，例如管道的阻力系数与钝头体的阻力系数，可以通过学术期刊及教科书查到。然而，在许多问题中，要么是引导流动的几何结构太特殊、要么是流动本身太稀少，需要对结构不同尺度的复制品进行专门的实验，以预测流态与压强的变化。在进行这样的实验时，在实际工程设计中所采用的结构称为原型，复制品称为模型。基于经济的原因，模型一般比原型小很多。

5.1 相似原理与模型实验

5.1.1 几何相似、运动相似、动力相似

相似最基本的、或许也是最明显的要求，就是在几何上模型是原型精确的复制品，如图5-1所示。

.

Fig.5-1 Prototype and Model 原型与模型

定义：所谓几何相似，就是模型与原型有完全相同的形状，它们只是尺寸不同。

用下标m表示模型，下标p表示原型，定义长度比尺为

(5.1)

模型与原型之间对应的面积和体积有如下的比例关系 Chapter Five

Similitude and Dimensional Analysis

A

mV

定义：所谓运动相似，指的是除了满足几何相似，在流动中所有对应点的速度之比相等。

速度比尺为

v (5.2)

第五章相似原理与量纲分析

对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解 决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量 纲分析方法等。

第一节流动相似

原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模 拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断 原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。

关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比 例关系，则这两个流动就是相似的。

模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似

1. 几何相似

几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的

比值均相等。

长度比尺：

（5-1）

面积比尺： 2 4 V ?2

（5-2）

体积比尺：

（5-3）

2.运动相似

运动相似： 是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度

度a方向相同， 且大小各具有同一比值。

速度比尺： 7 —旳—厶仏_ ? ? -1

（5-4）

加速度比尺: 3 _ T _ 旳仏 ? -2 _ ? 了-1

3-石-硕_的■以 （5-5） u及加速 3.动力相似

动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

4.初始条件和边界条件的相似

初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压

强为大气压强等 。