第十二章 量纲分析与相似原理

流动相似相似原理相似准则及量纲分析全析

流动相似（Flow similarity）指的是两个或多个不同的流动在一些条件下具有相同的流动特征。流动相似原理是通过建立相似性准则，将一个实际流动问题转化为一个更简单的已知流动问题，以便进行分析和计算。相似准则是基于一些物理模型和经验关系建立的，用于确定相似性的判断依据。量纲分析是从基本物理方程出发，研究物理量之间的关系，通过将问题的不同物理量以相似形式表示，在相似性的约束条件下简化问题。

流动相似原理是建立在牛顿运动定律和连续性方程等基本方程的基础上。根据流动的基本物理规律，流体在各个点上都满足相同的动态和物质守恒方程。因此，流动相似原理可以表述为：如果两个流动有相同的动态和物质守恒方程，并且满足相同的边界条件，则这两个流动是相似的。这就是流动相似原理的基本思想。

相似准则是用于确定流动相似性的依据。常用的相似准则有尺寸相似准则和运动相似准则。尺寸相似准则是指，在相似条件下，物体的几何尺寸与速度、压力等物理量之间存在其中一种关系，如雷诺数、韦伯数等。运动相似准则是指，在相似条件下，流动的运动状态（如旋转、脉动等）与几何尺寸和流体的物性之间存在其中一种关系。

量纲分析是一种将问题中出现的各个物理量进行无量纲化处理的方法。通过选择适当的主量和无量纲化的方法，可以将含有多个物理量的复杂方程简化为只包含少数几个无量纲参数的简单方程。量纲分析的基本原理是，物理方程对不同的物理量的变化都具有相同的形式。通过消除物理量的量纲，可以得到不含量纲系数的无量纲方程，从而方便进行分析和计算。

量纲分析的具体步骤如下： 1.选择主量：根据问题的具体情况，选择与问题最为密切相关的几个主要物理量作为主量。

2.建立主量之间的关系：根据问题的物理性质和经验规律，建立主量之间的关系式，即原方程。

3.形成无量纲方程：通过引入适当的无量纲参数，将原方程化为不含量纲系数的无量纲方程。

4.判定主量的个数：通过判定无量纲方程中无量纲参数的个数，确定主量的个数。

相似原理与量纲分析

相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。

首先，我们来介绍相似原理。相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。

在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。

接下来，我们来介绍量纲分析。量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。

在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。

总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用相似原理和量纲分析，为科学研究和工程设计提供有益的参考。

第五章量纲分析与相似原理在长期的生产实践中，人们总结出两种方法去研究、解决各种工程流体力学问题。一种是数学分析方法，通过求解描述流动过程的微分方程式，获得各量之间的规律性关系。另一种是实验方法，通过实验获取流体的流动规律。然而，能够用数学分析方法求解的流体力学问题是有限的。在许多情况下，流体流动的现象很复杂，往往难以用微分方程式加以描述；而且即使能够建立微分方程式，由于不能确定初始条件和边界条件，也难以求解。所以日前大量的流体力学问题只能用实验方法求解。本章介绍的量纲分析(Dimensionalanalysis)和相似原理(lawofsimilarity)就是指导实验的理论。§5-1量纲分析当某一流动过程尚不能用微分方程描述时，量纲分析法是确定物理量间关系的有效方法。一. 量纲分析的基本知识“量纲”(或“因次”)是用以度量物理量单位的种类的。以小时、分、秒为例，它们是不同的时间测量单位，但这些单位都属于同一时间种类。若将这些属于同一种类的单位用[t]表示，则[t]就是上述时间单位的“量纲”。因此，量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。例如[t]表示时间量纲,[L]—表示长度量纲。SI制中的基本量纲：dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英制单位制量纲基本量纲量纲幂次式§5-1量纲分析§5-1量纲分析导出量纲可用三个基本量纲的指数乘积形式表示。例如B为任一物理量，其量纲可用下式表示：[][]abcBLMt§5-1量纲分析上式称为量纲公式，式中a、b、c可正、负、整数、分数，它取决于物理量的定义和本质。例如密度的量纲是，动力黏度的量纲是。流体力学中常用量的量纲见下表。3[][]ML11[][]MLt§5-1量纲分析导出量物理方程量纲速度V力F压强p密度ρ动力黏度µ运动黏度dlVdt22dlFmamdtdFpdAdmdvFdVAdl1[][]VLt2[][]FMLt12[][]pMLt11[][]MLt3[][]ML21[][]Lt§5-1量纲分析在上式中，若a、b、c三个数中有一个不为零，则表明该物理量B是有量纲的量，当“a、b、c”全部为零时，则表明物理量B是无量纲的量，或称无量纲数(Non-dimensionalnumber)。无量纲数可以是两个同类量的比值，也可以是几个有量纲量通过乘积组合而成，组合的结果使a、b、c均为零。有量纲的量会因所选择的单位制不同而改变数值，而无量纲量则不随所选择的单位制不同而改变其数值。量纲分析的目的之一就是要找到正确地组合各有关量为无量纲量的方法。§5-1量纲分析值得注意的是有些方程中的常数是有量纲的，比如气体常数R，根据气体状态方程p=ρRT,R的量纲为。一个正确而完整的物理方程，其各项的量纲都是相同的，这一规律称为“量纲齐次原理”。可用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。一个不完全的物理方程，常常也是量纲不一致的。例如一些经验公式，其中的变量单位有一定限制，如果应用的单位制改变，经验公式的常数也作相应地改变，这一点正是和量纲齐次方程的区别。221[]LtT§5-1 量纲分析对于量纲齐次的方程．只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可使方程的每一项都变成无量纲量，方程化为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有量纲齐次原理，通过量纲分析和换算，将原来含有较多物理量的方程，转化为含有比原物理量少的无量纲数组方程，使方程变量减少，为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。gpzgv22常数（沿流线）LLTLTgv12212dim2L z dimLLTMLTMLgp1221-13 dimL常数dim§5-1 量纲分析f(x1,x2,…xn)=0F (П1, П2, П3, ……, Пn-m )=0Π定理方法充要条件n个物理量m个独立基本量n-m个导出量选m个独立基本量组成n-m个独立Π数量纲分析方法等§5-1量纲分析二.Π定理§5-1量纲分析若某现象由n个物理量所描述．把它写成数学表达式，即f(x1,x2,…xn)=0，设这些物理量包含m个基本量纲，则该现象可用n-m个无量纲数组的表达的关系式来描述，即。这就称为定理。或称白金汉(Buckingham)定理。无量纲数组是这样组成的：在变量x1,x2,…xn中选择k(＝m)个量纲不同的变量作为重复变量，并把重复变量与其余变量中的一个组成无量纲数组π,共组成(n—m)个无量纲数组。12(,,...)0nmF§5-1量纲分析例如：选择x1,x2,x3为重复变量，无量纲数组为:根据物理方程量纲齐次原理，确定待定指数a、b、c的值，从而也就确定了每个π的值，最后可写出无量纲数组方程。mncbamncbacbaxxxxxxxxxxxxmnmnmn3215321243211222111§5-1量纲分析一般来说，要将某物理现象和无量纲数组的函数关系式表达出来，以白金汉π定理的方法，需要以下几个步骤：1．列出影响该物理现象的全部n个变量：f(x1,x2…xn)=0;2、选择m个基本量纲，例如L、M、t；3．从所列变量中选出k(＝m)个重复变量，重复变量应包括几何变量、运动变量和动力变量；§5-1量纲分析4．用重复变量与其余变量中的一个建立无量纲方程，从而获得(n-m)个无量纲数组；5．建立无量纲数组方程，F(π1,π2…πn-m)＝0§5-1量纲分析例5—1不可压缩黏性流体在管内作定常流动时，流体的压降损失Δp与管内径d、管长l、管壁粗糙度ε、流体的平均流速v、密度ρ和黏度µ有关。试用无量纲数组π表示压降。解根据题意，我们可按下面几步解题(1)该流动现象共有n＝7个变量：Δp、d、l、ε、v、ρ、µ。(2)选择基本量纲数目m＝3个，M、L、t。(3)选用k＝m＝3个重复变量：ρ、v、d.(4)组成n—m＝7—3＝4个无量纲数组，现求解π§5-1量纲分析1111112111:01:0312:020aMapLabcbVtbc1故)()()()(21130001111111tMLLLtMLtLMpdVcbacba§5-1量纲分析222222221:01:03121:020aMaLabcbVdtbc2故)()()()(11130002222222tMLLLtMLtLMdVcbacba§5-1量纲分析333333330:0:0310:01aMalLabcbdtbc3故)()()()(333333130003LLLtMLtLMldVcbacba§5-1量纲分析444444440:0:0310:01aMaLabcbdtbc4故)()()()(444444130004LLLtMLtLMdVcbacba§5-1量纲分析(5)建立无量纲数组方程上例中，描述该现象的物理量有7个，基本量纲有3个，得到7—3＝4个无量纲数组。对于其他现象，都存在如下的规律；某现象由n个物理量所描述，而这些物理量的基本量纲有m个，则可得到k＝n—m个独立的无量纲数组。通常将此规律称为“量纲分析π定理”。2,,,0plFVVddd§5-1量纲分析量纲分析方法表明，对一些较复杂的物理现象，即使无法建立微分方程式，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无量纲数组，为解决问题理出头绪，量纲分析的价值就在于此。§5-1量纲分析三.几点说明1.无量纲数组的形式对一定的现象，无量纲数组的个数是固定的，但形式不是惟一的，或者说π定理确定的无量纲数组的形式有一定的任意性，但组合的方式不改变这些无量纲数组的本质。无量纲数组的形式有以下几种：(1)(n为常数)仍是无量纲数。例如是无量纲数组，那么仍是无量纲数组，习惯上仍称为Fr数。。n2rglFV212()glVVgl§5-1量纲分析(2)(n1，n2，…，nk为常数)仍是无量纲数。例如仍是无量纲数组，称为伽利略数。(3)仍是无量纲数。例如1212,,....nnnkk1211122'2112'2(),()()()eglglWglGalgFr2322Re§5-1量纲分析式中σ为液体的表面张力系数，ρ、ρ’为液相、气相物质的密度。We仍是无量纲数，称为韦伯数。(4) (a为常数)仍是无量纲数。例如是无量纲速度,那么也是无量纲数。(5)无量纲数组中任一物理量用其差值代替仍是无量纲数。例如欧拉数中的压强可用Δp代替，仍称为欧拉数‘a0VV0001VVVVV2upEV2pV§5-1量纲分析2．作用在流体上的力如果用l代表特征尺寸，用V、Δp分别代表流场的速度和压强差，ρ、µ、σ分别代表流体的密度、动力黏度和表面张力系数。则作用在流动流体上常见的几个力，可用这些量的组合表示：惯性力inertial force黏性力viscous force2322inerVFmalVll2visduVFAAlVldyl§5-1量纲分析压力pressure force重力gravity force表面张力surface tension弹性力elasticity force22preFpAplpl或3graFmgglsurFl2()elaFkAklk式中为弹性模量§5-1量纲分析3. 流体力学中常见的无量纲数组下面列出流体力学中常见的几个无量纲数组。(1)雷诺数Reynolds number以英国工程师雷诺(Reynolds)的名字命名，可用它判别流态。一般可写成如下形式：可见它是惯性力与黏性力的比值。如果Re数大，则惯性力起主要作用，流动是湍流；如果Re数小，则黏性力起主要作用，流动是层流。22inerevisFVlVlRVlF§5-1量纲分析(2)欧拉数Euler number由瑞士数学家欧拉(Euler)在流体力学分析中提出。如果压强或压差对流动起主要作用，用欧拉数分析是很方便的。可见它足压力与惯性力的比值。和压力有关的现象由Eu数决定。为表征压强系数，一般采用2222preinerFpplEuVVlF20.5ppCV§5-1量纲分析(3)弗劳德数Froude number由英国造船工程师弗劳德(Froude)与他的儿子共同提出。它是在重力影响较大的流动场合或者流动是由重力引起的情况下，常常考虑的一个无量纲数组。它是惯件力与重力的比值．反映了重力对流体的作用。和重力有关的现象由Fr数决定。223inergraFVVlFrglFgl§5-1量纲分析(4)韦伯数Webernumber流体与边界接触必产生表面张力，当表面张力产生的影响不能忽略时，引入的一个无量纲数组，称为韦伯(Weber)数。(5)马赫数Machnumber奥地利物理学家马赫(Mach)在研究可压缩流体流动时，提出的无量纲数组。222inersurFVlVlWelFelainerFFkllVkVaVMa222

第十二章 量纲分析与相似原理

实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。

量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。

要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。

第一节 量纲分析

一、量纲和单位

量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。量纲也称因次（Demension）。

单位：度量各种物理量数值大小的标准。即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。

同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。

二、 基本量纲与诱导量纲

量纲可分为基本量纲和诱导量纲。

基本量纲是指具有独立性的量纲。该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。