中考数学压轴题二次函数与圆

中考数学压轴题二次函数与圆

中考数学压轴题二次函数与圆

第四讲：二次函数与圆综合

一、二次函数与圆综合

0) B (x 2，0) 两点， 【例1】 已知：抛物线M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 与x

轴相交于A (x 1，，

（Ⅰ）若x 1x 2

（Ⅱ）若x 11，求m 的取值范围；

，2) ，若存在，求出（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点C (0

M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 的值；若不存在，试说明理由；

7) ，与（Ⅰ（Ⅳ）若直线l :y =kx +b 过点F (0，）中的抛物线M 相交于P ，Q

两点，且使

=，求直线l 的解FQ 2

【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，x 1x 2=m -2

m 为正整数，∴m =1．∴y =x 2-1．

解法二：由题意知，当x =0时，y =02+(m -1) ⨯0+(m -2)

解法三：∆=(m -1) 2-4(m -2) =(m -3) 2，

-(m -1) ±(m -3) ∴x =，∴x 1=-1，x 2=2-m ．

∴x 2=2-m >0．∴m

(x +1)(x +m -2) =0，∴．（以下同解法三．） x 1=-1，x 2=2-m （Ⅱ）解法一：

x 11，∴x 1-10．

，即x 1x 2-(x 1+x 2) +1

x 1+x 2=-(m -1) ，x 1x 2=m -2，

∴(m -2) +(m -1) +1 解法二：由题意知，当x =1时， y =1+(m -1) +(m -2)

∴m 的取值范围是m

∴2-m >1 x 11，

2) ，所以A ，B 两点在y 轴的同侧， 解法一：因为过A ，B 两点的圆与y 轴相切于点C (0，∴x 1x 2>0．

由切割线定理知，OC 2=OA OB ，

即22=x 1x 2．∴x 1x 2=4， ∴x 1x 2=4. ∴m -2=4. ∴m =6．

解法二：连接O 'B ，O 'C ．圆心所在直线x =-设直线x =

b m -11-m

与x 轴交于点D ，圆心为O '， 2

则O 'D =OC =2，O 'C =OD =．

AB ， AB =x 2-x 1==m -3，BD =2

在Rt △O 'DB 中， O 'D 2+DB 2=O 'B 2．

⎛m -3⎛⎛1-m ⎛

即2+ ⎛= ⎛．解得 m =6．

（Ⅳ）设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，则y 1=x 12-1，y 2=x 2-1．

0) Q (x 2，0) ． 则PP 过P ，Q 分别向x 轴引垂线，垂足分别为P 1(x 1，，1∥FO ∥QQ 1．

所以由平行线分线段成比例定理知，1=．

=，即x 2=-2x 1． 因此，

过P ，Q 分别向y 轴引垂线，垂足分别为P 2(0，y 1) ，Q 2(0，y 2) ，

则PP 2∥QQ 2．所以△FP 2P ∽△FQ 2Q ．∴2=．

∴21-2(x 12-1) =x 2-1. 7-y 11

∴=．∴21-2y 1=y 2． 22y 2-72∴23-2x 1=4x 1-1.

∴x 12=4，∴x 1=2，或x 1=-2． 3) ．直线l 过P (2，，3) F (0，7) ， 当x 1=2时，点P (2，

⎛7=k ⨯0+b ，⎛b =7，

3=k ⨯2+b . k =-2. ⎛⎛

3) ．直线l 过P (-2，，3) F (0，7) ， 当x 1=-2时，点P (-2，

⎛7=k ⨯0+b ，⎛b =7，

k =2. 3=k ⨯(-2) +b . ⎛⎛

故所求直线l 的解析式为：y =2x +7，或y =-2x +7．

【例2】 已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式

y =-x +2并且线段CM

的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM ：y=－x ＋2与y 轴交于点C （0,2）抛物线y =ax 2+bx +c ．过点C （0,2），

⎛b 4ac -b 2⎛

, 所以c=2，抛物线y =ax +bx +c 的顶点M -⎛在直线CM 上， 2a 4a ⎛⎛

4a ⨯2-b 2b 所以=+2，解得b =0或b =-2

若b =0，点C 、M 重合，不合题意，舍去，所以b =-2．即M , 2-⎛

过M 点作y 轴的垂线，垂足为Q ，在Rt ∆CMQ 中，CM 2=CQ 2+QM 2

所以，8=() 2+[2-(2-)]2，解得，a =±。

∴所求抛物线为：y =-x 2-2x +2或y =x 2-2x +2以下同下。

解法二：由题意得C (0,2) , 设点M 的坐标为M (x , y )

y =-x +2

∵点M 在直线y =-x +2上，∴ 由勾股定理得CM

=x 2+(y -2) 2=8 ⎛x 1=-2⎛x 2=2⎛y =-x +2

解方程组⎛2，得，⎛ ⎛2

y =4y =0x +(y -2) =8⎛⎛1⎛2

M (-2, 0) 或M (2,0) ∴

当M (-2, 4) 时，设抛物线解析式为y =a (x +2) 2+4，∵抛物线过(0,2) 点，

11∴a =-，∴y =-x 2-2x +2

当M (2,0) 时，设抛物线解析式为y =a (x -2) 2

∵抛物线过(0,2) 点，∴a =，∴y =x 2-2x +2

∴所求抛物线为：y =-x 2-2x +2 或y =x 2-2x +2

（2）∵抛物线与x 轴有两个交点，

1∴y =x 2-2x +2不合题意，舍去。

∴抛物线应为：y =-x 2-2x +2

抛物线与x 轴有两个交点且点A 在B 的左侧，∴由-x 2-2x +2=0，得

AB =x 1-x 2=

（3）∵AB 是⊙N 的直径，∴

r =， N （－2，0），又∵M （－2，4），∴MN = 4 设直线y =-x +2与x 轴交于点D ，则D （2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴ ∠MDN =45︒，作NG ⊥NG =DN ⋅sin

45︒= CM 于G ，在Rt ∆

NGD 中，即圆心到直线CM 的距离等于⊙N 的半径．∴直线CM 与⊙N 相切

【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y =ax 2+bx +c 经过O ，

A 两点． ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA

为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D

内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足(2)

中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得

∠POA =∠OBA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】⑴解法一：∵一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A

∴点A 的坐标为(4，0) ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 两点 c =0，16a +4b

=0，∴b =-4a ∴

解法二：∵一次函数y =kx -4k 的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为(4，0)

∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线x =2

b =-4a ∴x =-=2，∴

2a ⑵由抛物线的对称性可知，DO =DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA =∠DAO

又由(1) 知抛物线的解析式为y =ax 2-4ax

-4a ) ∴点D 的坐标为(2，

①当a >0时，

如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA ，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ，显然OnA 所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D ' ∴点D ' 与点D 也关于x 轴对称

∵点O 在⊙D ' 上，且OD 与⊙D ' 相切 ∴点O 为切点，∴D ' O ⊥OD ∠DOA =∠D '

OA =45︒ ∴

∆ADO 为等腰直角三角形，

-4a =-2 ∴点D 的纵坐标为-2，∴

1∴a =，b =-4a =-2

∴抛物线的解析式为y =x 2-2x

同理可得：OD =

抛物线的解析式为y =-x 2+2x

x -2x 或y =-x 2+2x 224

⑶ 抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得∠POA =∠OBA

设点P 的坐标为(x , y ) ，且y >0

①当点P 在抛物线y =x 2-2x 上时(如图2)

∵点B 是⊙D 的优弧上的一点

∴∠OBA =∠ADO =45︒，∴∠POA =∠OBA =60︒ 过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴， tan ∠POE =

=tan 60︒，

⎛y =⎛⎛x 1=4+⎛x 2=0⎛

⎛由⎛解得：(舍去) ⎛12

y =0⎛⎛y =x -2x ⎛y 1=6+⎛2

半径的长为y =+ ∴点P

的坐标为4+(1②当点P 在抛物线y =-x 2+2x 上时(如图3)

，同理可得，y

⎛y =⎛⎛x 2=0⎛⎛x 1=4-由⎛解得：(舍去) ⎛⎛12

y =0y =-x +2x ⎛⎛⎛y 1=-6+⎛2

2-6+ ∴点P

的坐标为4-+或4--6+ 综上，存在满足条件的点P ，点P

的坐标为：4+

(点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x 轴翻折后的弧所在圆⊙D ' ，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质) ；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点C (0，4) 为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，