参加《线性代数》课程培训的心得体会

参加《线性代数》课程培训的心得体会

祖建 西南石油大学理学院

尊敬的李老师,您好!

我是西南石油大学理学院的一名老师，教了《线性代数》这门课程两遍. 有幸参加了这次全国高校教师《线性代数》课程的网络培训，领悟到了李教授的授课风采.

在我们学校《线性代数》是《高等数学》的后继课程，它是工科学生必修的一门重要基础课. 《线性代数》是从解线性方程组和讨论二次方程的图形等问题的基础上而发展起来的一门数学学科. 《线性代数》介绍代数学中线性关系的经典理论，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性. 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此《线性代数》课程所介绍的理论和方法也具有广泛的实用性. 尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要. 《线性代数》课程主要讲授矩阵与行列式、向量、线性方程组、方阵相似对角化和二次型以及《线性代数》实验等内容. 《线性代数》教学不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养，《线性代数》教学既是科学的基础教育，又是文化的基础教育，是素质教育的一个重要的方面.

我们学校开设本课程的目的是不仅使学生掌握该课程的基本理论与基本方法，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物，为学生学习后继数学课程、其它基础课程和专业课程提供必要的基础知识和思想方法，而且培养学生较强的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和归纳判断能力，培养学生运用所学知识去分析问题、建立数学模型以及利用计算机解决实际问题的能力和意识，为学生将来从事科学研究工作奠定良好的理论基础，提供一种重要的数学工具，积累一定的运用计算机解决实际问题的实践经验.

通过这次培训，我领悟到了《线性代数》的抽象概念并非枯燥难懂，而是源于自然，充满魅力和威力. 我们对《线性代数》课程的教学设计要让抽象回归自然，代数几何熔一炉. 从几何直观引入抽象概念，易于接受，更容易懂. 我们工科学校要结合学校的特色，根据学生的实际情况进行教学，突出重点，突出我们的特色. 我们的课程设计要以学生为中心.

以下是我根据这次的学习，所设计的关于逆矩阵这一节的教案，敬请李教授指导. 谢谢！

§1.4 逆 矩 阵

在本章第三节里，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算. 而在矩阵乘法运算中，我们看到单位矩阵E的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n阶矩阵A，有

AAEAEnn.

（下面用类比于数的性质引出逆矩阵的概念）

在数的乘法运算中，对于非零数a，则存在唯一一个数b，使得

1baab.

我们自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？

我们先看下面的引例：

引例1

（1） 设A1000，则对任意dcbaB，都有100100dcAB.

（2）设A2111，则存在1112B，使得1001BAAB.

引例1说明，对于非零矩阵A，不一定存在矩阵B，使得EBAAB. 如果这样的矩阵B存在，我们就称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.

可逆矩阵是一类重要的矩阵，而它的逆矩阵在矩阵的运算中起着重要作用. 下面，我们来介绍可逆矩阵的定义、性质和矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求逆矩阵的方法.

1、逆矩阵的定义 定义1 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使EBAAB，则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作1AB，即，11AAAAE.

显然，1BA. 单位矩阵E是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵.

【说明】（1）、可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵，并且它们的阶数相同；

（2）、可逆矩阵与其逆矩阵可交换；

（3）、只有方阵才有逆矩阵.

【问题1】如何求引例1（2）中的矩阵A的逆矩阵？

【方法】由逆矩阵的定义，设dcbaB，由EBAAB，则可求出矩阵B. 即，采用待定元素的方法.

例1 设方阵A满足0234EAAA，证明A可逆.

证明 因为EAEAAEAAA)2()2(2323，所以A可逆.

2、可逆矩阵的性质

（以下均设A是n阶方阵）

a) 若A可逆，则A的逆矩阵唯一，记为1A，且1A也可逆，AA11)(，11AA.

b) 若A可逆，数0k，则kA可逆，且111)(AkkA.

c) 设A和B都是n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且111()ABBA.

一般地，若同阶矩阵sAAA,,,21都可逆，则sAAA21也可逆，且

11111121)(AAAAAAsss.

d) 若A可逆, 则kA也可逆，且11()()kkAA.

e) 若A可逆, 则TA也可逆，且11()()TTAA.

证明

a) 设B、C都是A的逆矩阵，则CCBAACBBEB)()(；由1AAE知，111AAAAE，0,A11AA.

b) 事实上，111111()()()()()()kAkAkAkAkkAAE.

c) 事实上，11111111()()()().ABBAABBAAEAAAEBAABE（），

d) 事实上，11111()().kkkkAAAAAAAAEAAE；

e) 事实上，因为，

111111,()(),()()TTTTTTAAAAEAAAAEAAAAE所以，即，.

【说明】（1）、不能将1A写为A1；

（2）、111().ABAB

（3）、如果A可逆，那么矩阵方程AXB有唯一解

111().XEXAAXAAXAB()

例2 设ACAB，且A可逆，证明CB. 证明 CCAAACAABABAAEBB)()()()(1111.

【问题2】在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求1A？

3、矩阵可逆的条件

定义2 设nnijaA)(，ijA为A中元素ija的代数余子式，则称矩阵

112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA

为A的伴随矩阵.

A的伴随矩阵A与A有如下重要关系；

命题1 设A为n阶方阵nnijaA)(的伴随矩阵，则nEAAAAA.

证明 由行列式按一行（列）展开和行列式的性质知，

jijiAAankjkik,0,1 ，

于是

111211121121222122221212...00...00...............00nnnnnnnnnnnnnaaaAAAAaaaAAAAAAAEaaaAAAA ，

同理nEAAA.

推论1 设A为n阶方阵nnijaA)(的伴随矩阵，则1.nAA

【说明】*00.AA

命题2 若0A，则AAA11，AAA1)(1*.

事实上，由命题1，有 EAAAAAA11；11.AAAAEAA

定理1 方阵A可逆0A.

证明 必要性 若A可逆，则存在n阶方阵B使EBAAB，从而1BA.

充分性 由命题2可得.

推论2 设方阵A满足)(EBAEAB或，则A可逆.

由推论2，我们只需验证)(EBAEAB或，就知道A可逆，且BA1.

推论3 设方阵A满足ABE，则BAE，且BA1，1.BA

例如，若,ABCDE 则下列成立的是：

(),(),().BCDAEBACDEDABCE成立不成立成立

【说明】

（1）、当0A时，A称为奇异矩阵（退化矩阵）； 当0A时，A称为非奇异矩阵（非退化矩阵）.

（2）、定理1不仅给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求矩阵的逆矩阵的公式，即提供了一种求矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）.

例3 设

2345A,

则1A532221，1312()522A.

事实上，因为1112212225432AAAAA，，，，，*5342A

AAA11=532221,AAA1)(1*312522.

【注意】一般地，*.abdbcdca

4、逆矩阵的应用举例

例4 设137020011A，求AA2211的值.

解 因为2A，所以A可逆，从而11221AA，112AAAA，

4222111AAA.

例5 设n阶方阵A满足2320AAE，求1.AAE-1，(-)

【分析】（1）、由2320AAE得，232,AAE即，13,22AAEE 所以，113;22AAE

（2）、（凑因式法）

2()(2)324,AEAEAAEE即，11(),42AEAEE所以，11.42AEAE-1(-)

例6 解矩阵方程XAAX2，其中410011103A.

【分析】求满足一定关系式的未知矩阵，一般应先根据矩阵的运算化简关系式，再求出出相关矩阵的逆矩阵，最后求出未知矩阵.

由XAAX2得，

12,2),22).AXXAAEXAAEXAEA即，(所以，当可逆时，( 因此，可以