抽样分布

抽样分布习题

1.抽样分布是指（ C ）

A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布

C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布

2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。

A  B x C 2 D n2

3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。

A  B x C 2 D n2

4.从一个均值=10，标准差=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x小于9.9的近似概率为（ A ）。

A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324

5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ）

A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D服从2分布

6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）

A 保持不变 B 增加 C 减小 D无法确定

7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。

A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8

8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。

抽样分布与理论分布

一、抽样分布

总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。

样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。

抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。即从容量为N的总体中抽取容量为n的样本最多可抽取m个样本，m个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。

样本平均数的抽样分布：设变量X是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数x所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。它具有参数μx和σ2x，其中μx为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx和σ2x与X总体的两个参数μ和σ2有如下关系：

μx= μ σ2x = σ2 /n

由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x分布总是趋近于N（μ，n2)分布。

但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S估计σ。于是，以nS估计σx ，记为XS，称为样本标准误或均数标准误。

样本平均数差数的抽样分布：

二、正态分布

2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X的概率密度函数是

xexf22121)( （-∞＜x＜+∞）

则称随机变量X服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N（μ，σ2）。相应的随机变量X概率分布函数为

F（x）=xdxxf)(

它反映了随机变量X取值落在区间（-∞，x）的概率。

2.2 标准正态分布

当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N（0,1）。其概率密度函数用)(x表示。

抽样分布

根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。

定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。

由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。

（一）样本均值的抽样分布

从单位数为N的总体中抽取样本容量为n的随机样本，在重复抽样的条件下共有nN个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNNCnNn个可能样本。对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()xs或或p，因此，样本均值是一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。

[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：

12341234xxxx

总体分布为均匀分布，如图6.1所示。

图6.1

总体均值：102.54X

总体方差：22()1.25xxn 0.1 0.2 0.25 0.3

1 2 3 y

0 x 若重复抽样，n=2 则共有2416个可能样本。具体列示如表5.1.1。

表6.1 可能的样本及其均值

每个样本被抽中的概率相同，均值为116

样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。

样本均值x抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。

如果总体分布是非正态分布，当x为大样本（30n）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x为小样本时，其分布不是正态分布。

下面再让我们来看看样本均值x抽样分布的特征：数学期望和方差。

设总体共有N个元素，其均值为，方差为2，从中抽取容量为n的样本。

E()xxX （6.1）

22xn（重复抽样） （6.2）

抽样分布习题

1.抽样分布是指（C）

A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布

C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布

2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（A）。

A  B x C 2 D n2

3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（D）。

A  B x C 2 D n2

4.从一个均值=10，标准差=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x小于9.9的近似概率为（A）。

A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324

5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（B）

A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D服从2分布

6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（C）

A 保持不变 B 增加 C 减小D无法确定

7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（B）。

A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8

8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（B）。