抽样与抽样分布

1 第6章 抽样与抽样分布

练习题

6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取100n的简单随机样本，用样本均值x估计总体均值。

（1） x的数学期望是多少？

（2） x的标准差是多少？

（3） x的抽样分布是什么？

（4） 样本方差2s的抽样分布是什么？

6.2 假定总体共有1000个单位，均值32，标准差5。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。

（1）x的数学期望是多少？

（2）x的标准差是多少？

6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的抽样标准差x等于多少?

6.4 设总体均值17，标准差10。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，其均值为25x；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为100x。

（1）描述25x的抽样分布。

（2）描述100x的抽样分布。

6.5 从10的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：

（1）重复抽样。

（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。

6.6 从4.0的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1）p的数学期望是多少?

（2）p的标准差是多少?

（3）p的分布是什么？

6.7 假定总体比例为55.0，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。 2 （1） 分别计算样本比例的标准差p。

（2） 当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？

6.8 假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元。从中随机抽取40个顾客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？

6.9 在校大学生每月的平均支出是448元，标准差是21元。随机抽取49名学生，样本均值在441～446之间的概率是多少？

6.10 假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。从该总体中按重复抽样方式抽取2n的随机样本。

抽样与抽样分布

一、 单项选择题

1．抽样调查的目的在于（ ）。

A、了解总体的基本情况 B、用样本指标推断总体指标

C、对样本进行全面调查 D、了解样本的基本情况

2．假定10亿人口大国和100万人口小国的居民年龄变异程度相同，现在各自用重复抽.样方法抽取本国的1％人口计算平均年龄，则抽样误差（ ）。

A、两者相等 B、前者大于后者

C、前者小于后者 D、不能确定

3、抽样调查，随着样本量的增加，调查的误差（ ）

A、减小 B、不变

C、扩大 D、不确定

4、对某单位职工的文化程度进行抽样调查，得知其中80%的人是高中毕业，抽样平均误差为2%，当概率为95.45%（Z=2）时，该单位职工中具有高中文化程度的比重是（ ）

A、等于78% B、大于84%

C、在76%与84%之间 D、小于76%

5、某银行想知道平均每户活期存款余额和估计其总量，根据存折账号的顺序，每50本存折抽出一本登记其余额。这样的抽样组织形式是（ ）

A、类型抽样 B、整群抽样

C、机械抽样 D、纯随机抽样

6、农户家计调查中，按地理区域划分所进行的区域抽样，其抽样组织方式属于（ ）

A、简单随机抽样 B、类型抽样

C、等距抽样 D、整群抽样

7、抽样平均误差是指样本平均数或样本成数的 （ ）

A、平均数 B、平均差

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第五章 抽样与抽样分布

第一节 抽样的基本概念

一、几个基本概念

1、目标总体和抽样总体

目标总体就是研究对象的全体。抽样总体是指从中抽取样本的总体。二者理应一致，但实际中有时难以保证。

2、抽样单元和抽样框

抽样总体的具体表现就是抽样框，通常是一份包含所有抽样单元的名单，好的抽样框应该尽可能多地提供与研究目标有关的辅助信息。抽样单元是构成抽样框的基本单位，可以是一个个体，也可以包含若干个个体，还可以分级。分级情况下，总体由若干个较大规模的抽样单元组成，为初级单元，每个初级单元又包含若干个规模较小的单元，为二级单元，以此类推。抽取哪一级，就需要有哪一级的抽样框。

3、抽样误差和非抽样误差

抽样误差是抽取样本的随机性造成的样本值和总体值之间的差异。只要采用抽样调查，抽样误差就不可避免，但可通过增大样本量来减小误差。非抽样误差是由于其他多种原因引起的样本值和总体值之间的差异。

三、抽样方案设计

1、抽样设计步骤：

明确调查目的，确定研究对象，确定目标量；

明确总体及抽样单元；（根据总体的定义，收集一份全部个案的名单）

对主要目标量的精度提出要求（误差控制在多大范围内）；

选择抽样方法；

根据抽样方法、精度要求等确定样本量，并估计抽样误差；

制定具体步骤。

2、设计原则

（1）随机性原则——总体中所有个体被抽中机会相等。

（2）抽样效果最佳原则——在固定费用下，抽样误差最小；在要求精度下，费用最少。

第二节 抽样方法

一、随机抽样

1、简单随机抽样：最基本的抽样方法，最符合随机原则，每个个体都有同样的被抽中概率。是其它复杂抽样设计的基础。使用随机数表。

2、分层抽样：将总体按照某些特征分成若干个层，在每一层当中独立抽取2

若干子样本。要求组内同质性强，组间差异大。由于在每层中都抽取出一些样本，样本具有较好的均匀性，代表性更强。

3、整群抽样：先将总体划分为若干群，然后以群为初级抽样单元，从中随即抽取n个群，对抽中的裙内的所有次级单元都进行调查。要求群内差异大，群间差异小。组织上方便，但抽样单元过于集中，抽样误差最大。

常用的典型抽样分布法

引言

在统计学中，抽样是指从一个总体中选择一部分个体，以便对整体进行估计或推断。常用的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样等。在进行抽样时，研究人员往往关心抽样分布，即根据抽样数据得到的统计量的分布情况。本文将介绍常见的典型抽样分布法，包括t分布、F分布和χ²（卡方）分布。

1. t分布

t分布是统计学中的一种概率分布，用于估计总体均值的分布情况。它在样本容量较小或总体标准差未知的情况下使用。t分布的形状取决于样本容量，随着样本容量增大，t分布逐渐接近于标准正态分布。

t分布的概率密度函数为： f(t) = Γ((v+1)/2) / (√(vπ) * Γ(v/2) * (1 +

t²/v)^(v+1)/2)

其中，v为自由度，表示样本容量减去1。

t分布的特点包括： - 期望值为0 - 方差为v/(v-2) (v>2时)

t分布的应用： - 进行单样本均值检验 - 构建置信区间 - 进行配对样本均值检验 - 进行相关系数的检验等

2. F分布

F分布是一种常见的概率分布，用于比较两个或多个总体方差是否具有显著差异。F分布的形状取决于两个自由度参数，分子自由度记为n₁，分母自由度记为n₂。

F分布的概率密度函数为：

f(x) = √((n₁ * x)^(n₁ * (n₂-2)) / (n₂^(n₁ * n₂) * (n₁

* x + n₂)^(n₁+n₂))) / [x * B(n₁/2, n₂/2)] 其中，B(·)为贝塔函数。

F分布的特点包括： - 右偏态分布 - 期望值为(n₂/(n₂-2)) (n₂>2时) -

方差为(2 * n₂² * (n₁+n₂-2)) / (n₁ * (n₂-2)^2 * (n₂-4)) (n₂>4时)

F分布的应用： - 进行方差分析 - 比较两个组的方差是否具有显著差异

3. χ²（卡方）分布

χ²（卡方）分布是一种常见的概率分布，用于描述不同类别之间的差异性或相关性。其形状取决于自由度参数。