重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 A卷

B卷

20 — 20 学年 第 学期

开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式：开卷闭卷

其他 考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

得 分

一、 选择题(每小题3分,共18分)

1. 设,yuxyx则22ux__________.

答案:32.yx

难度等级：1；知识点：偏导数.

2. 已知级数1nnnax满足11lim,3nnnaa且lim2,nnnab则级数1nnnbx的收敛半径为__________. 答案:3.

难度等级：2；知识点：幂级数

分析:1111111limlim2,3.233nnnnnnnnnnbbaaRbaab

3. 若曲线上任一点(,)xy处的切线斜率等于(1),yx且过点(2,1),则该曲线方程是__________.

答案:14.2yxx

难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程

4. 设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)__________.Lxyydxxxdy

答案:18.

难度等级：2；知识点：格林公式

分析:利用格林公式可化为被积函数为2的二重积分,而积分区域面积为9,故得.

5. 设()ft具有连续导数, (0)0,(0)1,ff

2222(,,)|,xyzxyzt

则2221lim()40IfxyzdttV__________.

答案:1. 命题人:

组题人:

审题人:

命题时间:

教务处制

学院专业、班年级学号姓名考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线 密

考试提示

1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;

2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 难度等级：2；知识点：三重积分

6. 求以向量23amn和4bmn为边的平行四边形的面积为 ，其中,mn是互相垂直的单位向量.

答案：11.

难度等级：2；知识点：向量代数.

分析：为了便于计算,令,minj,则23aij,4bij,

230(0,0,11),140ijkab平行四边形的面积为22200(11)11ab

二、填空题(每小题3分,共18分)

7. 设非零向量,,abc满足条件0abc,则ab().

(A) cb (B) bc

(C) ac (D) ba

答案:(B).

难度等级：1；知识点：向量代数 分析:在0abc的两边左乘以b得到()0,babcb

0,babbbc即0.abbc于是.abbc

8. 设函数zfxy(,)在点(,)xy00处沿任何方向有方向导数,则zfxy(,)在点(,)xy00处().

(A)偏导数存在

(B)可微

(C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续

答案:(C).

难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数

分析:函数22zxy在点(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).

9. 微分方程22xyy的通解是().

(A)1221ln(1)CxyxCC (B) 1211ln(1)CxxyCCC

(C)12211ln(1)CxxyCCC (D) 12211ln(1)CxxyCCC

答案: (D).

难度等级：2；知识点：可降阶微分方程

分析:方程为二阶非线性方程.令,uy则方程降为一阶方程22,xuu这是变量可分离方程.分离变量得22,dudxux积分得 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 111.Cux将uy代入并积分可得12211,ln(1)CxxyCCC故应选(D).

10. 曲线2,4,xtytzt在点(4,8,16)处的法平面方程为().

(A) 8132xyz (B) 8140xyz

(C) x-y+8z=124 (D) 8116xyz

答案:(B).

难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用

分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.xyz

即 8140.xyz

与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).

11. 设有一分布非均匀的曲面,其面密度为(,,),xyz则曲面对x轴的转动惯量为().

(A)xdS (B)(,,)xxyzdS

(C)2xdS (D)22()(,,)yzxyzdS

答案:(D).

难度等级：1；知识点：曲面积分的应用 分析:A,C明显不对,B被积函数不对,D是转动惯量.

12. 设流速场{0,0,1},v则流过球面2222xyzR的流量值为().

(A)0 (B)24R

(C)334R (D)1

答案:(A).

难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.

分析:通量00.dxdydV

三、 计算题(每小题6分,共24分)

13. 求微分方程3dyydxxy的通解.

难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.

分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.

解 方程改写为

21dxxydyy,

这是关于()xxy的一阶线性非齐次方程，故通解为 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 2()dydyyyxeyedyC 21()2yyC

即32yxCy.

14. 设(,)zzxy由方程(,)0fyxyz所确定，其中f具有二阶连续偏导数，求22zx.

难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数.

分析 由方程(,,)0Fxyz所确定的隐函数的偏导数xzFzxF，求出zx后再对x求偏导数即可得22zx.

解 11221ffzxyfyf

21112221221222()()1zzfyfffyffzxxxyf

211121221232222fffffyfyfyf

15. 将函数2()ln(1)fxxx展成关于x的幂级数.

难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数

分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分 解: 22222222211(1)1211()1111xxxxxxxfxxxxxxxx

01(21)!!(1).(2)!!1nnnnxnx2201(21)!!(),.(2)!!1nnnfxxxRnx

2100(21)!!()(1),.(2)!!21nknnnxfxdxxRnn

210(21)!!()(1),.(21)(2)!!nnnnfxxxRnn

16. 计算2232(()(2),xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy其中为上半球体2220zaxy表面的外侧.

难度等级：2；知识点：高斯公式

分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.

解: 2232(()(2)xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy

222()xyzdxdydz

22220005sin2.5addrrdra

四、解答题(每小题6分,共12分) 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 17. 设),(yxzz是由0182106222zyzyxyx确定的函数,求函数),(yxzz的极值点和极值.

难度等级：3；知识点：多元函数极值

解:方程0182106222zyzyxyx两边分别对,xy求偏导数得到

26220,(1)6202220.(2)xxyyxyyzzzxyzyzzz

令00xyzz得260,62020xyxyz即3.xyzy

代入方程0182106222zyzyxyx得3.y因此有两个驻点(9,3),(9,3).相应的函数值为3,3.方程(1),(2)两边再次分别对,xy求偏导数得到

22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xxxxxxxyyxxyyyyyyyyzzzzzyzzzzzzyzzzz

将9,3,3,0,0xyxyzzz代入(3),(4),(5)得到

21150,,,0.623xxxyyyAzBzCzACB

故点(9,3)是(,)zzxy的极小值点,极小值(9,3)3.z