重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 A卷

B卷

20 — 20 学年 第 学期

开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

得 分

一、选择题(每小题3分,共18分)

1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,则当cos0时有().

(A) axoy面 (B) a//xoz面

(C) ayoz面 (D) axoz面

知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.

答案: (B)

分析:cos0,,2a垂直于y轴,a//xoz面.

2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,yCCxCx其中123,,CCC为独立的任意常数,则该方程为().

(A)0yy (B) 30yy

(C)0yy (D) 0y

知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.

答案: (D)

分析:由通解中的三个独立解21,,xx 知,方程对应的特征方程的特征根为1230.因此对应的特征方程是30.于是对应的微分方程应是0.y故应选(D).

3. 设D由14122yx确定.若1221,DIdxy222(),DIxyd223ln(),DIxyd则1,I2,I3I之间的大小顺序为().

(A)321III (B)231III

(C)132III (D)123III

知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.

答案:(D)

分析:积分区域D由22114xy确定.在D内,2222221ln(),xyxyxy故321.III只有D符合.

4．设曲线L是由(,0)Aa到(0,0)O的上半圆周22,xyax则曲线积分 命题人:

组题人:

审题人:

命题时间:

教务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线 密

考试提示

1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;

2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 (sin)(cos)().xxLeymydxeymdy

(A)0 (B)22ma (C)28ma (D)24ma

知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2.

答案:(B)

分析:补充直线段1:0(:0),Lyxa则1LL为封闭曲线在上使用格林公式可得

12,2LLDmmdxdya而10.L选B.

5. 已知向量23,amn则垂直于a且同时垂直于y轴的单位向量().e

(A) 3()3ijk (B) 3()3ijk

(C) 2()2ik (D) 2()2ik

知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1.

答案:(C)

分析:向量111010ijkik垂直于a且同时垂直于y轴,其模为22.

6. 设为球面2222,xyzR则22()().84xyIdS

(A)24R (B)545R (C)24R (D)R4 知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2.

答案:(C)

分析:

由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有

2222224114()4.333xdSxyzdSRRR利用上述结论所求I为23.8xdS故选C.

二、填空题(每小题3分,共18分)

7. 幂级数21!nnnnxn的收敛半径为__________.

知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1.

答案:1e

分析: 1`22222(1)(1)1(1)!limlim1.!nnnnnnnnnxnnxexxnnexn

8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(cba,此平面的方程为

__________.

知识点:平面方程,难度等级:1.

答案:23120.xyz

分析:该平面的法向量为22350,xyz且过点22350,xyz则其平面的方程23120.xyz

9. 设L为椭圆221,34xy其周长记为,a则求22(243)Lxyxyds

__________. 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.

答案:12.a

10. 设区域D为222,xyR则()DRydxdy__________.

知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2.

答案:3.R

分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得.

11. 3222(2cos)(12sin3)__________,Lxyyxdxyxxydy其中为抛物线22xy上由到的一段弧.

知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2

答案:2.4

解: 322cos,Pxyyx2212sin3,Qyxxy

262cos.QPxyyxxy

3222(2cos)(12sin3)Lxyyxdxyxxydy与积分路径无关.取L为由(0,0),(,0),(,1)22组成的折线,则

2132222203(2cos)(12sin3)0(12).44Lxyyxdxyxxydyyydy 12. 设为曲面2221xyz的外侧,则333Ixdydzydzdxzdxdy__________.

知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3.

答案:12.5

分析: 由高斯公式,

212224000123()3sin.5IxyzdVddrdr

三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 求初值问题2(2)|1xydyxydxy的解.

知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1.

分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yux化为可分离变量的微分方程.

解:将方程改写为

2.dyxydxy

这是齐次方程.

令,yxu则.dyduuxdxdx

代入上式得 L(0,0))1,2( 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

重庆大学2015版试卷标准格式 21.duuxdxu

这是变量分离方程,且有(2)1(2).22yu

积分得

21ln|2|ln|1|0.33xuuC

代入初值可解得32ln.2C

故原方程的特解为213ln|2|ln|1|2ln0.332yyxxx

14. 求级数11(4)!nn的和.

知识点:级数和,难度等级:3

分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导

解:

0,.!nxnxexRn

0(1),.!nnxnxexRn

20,.(2)!2nxxnxeexRn

又 20(1)cos,.(2)!nnnxxxRn

40cos2,.(4)!2xxnneexxxRn 111cos112.(4)!2neen

15. 计算222()Lydxxdyxy,其中L为圆周22(1)2,xyL的方向为逆时针方向.

知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.

分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.

解:当(,)(0,0)xy时,22222.2()PxyQyxyx

作小圆222:,Cxy取逆时针方向,则

222222222112.2()2()22LCCxyydxxdyydxxdyydxxdydxdyxyxy

16. 求力(,,)Fyzx沿有向闭曲线L所作的功,其中L为平面1xyz被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z轴正向看去,顺时针方向.

知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.

分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲