2021年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷(含答案解析)
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2021年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1. |−9|的算术平方根是( )
A. −3 B. ±3 C. 3 D. 81
2. 若不等式(𝑎+1)𝑥>𝑎+1的解集为𝑥<1，则a必须满足( )
A. 𝑎<0 B. 𝑎≤−1 C. 𝑎<1 D. 𝑎<−1
3. 下列各数中，大小在−1和−2之间的数是( )
A. −3 B. −√2 C. 0 D. |−3|
4. 近一个月来某地区遭受暴雨袭击，水位上涨，小明以警戒水位为0点，用折线图表示某一天河水水位的情况，如图所示，请你结合图形判断下列叙述不正确的个数( )
①8时水位最高
②这一天水位均高于警戒水位
③8时到16时水位都在下降
④点P表示12时水位高于警戒水位0.6米．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 下列四个命题中，假命题是( )
A. 有两个内角相等的梯形是等腰梯形
B. 等腰梯形一定有两个内角相等
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
D. 等腰梯形的两条对角线相等
6. 2020年是共同抗击疫情的一年，如图所示，小明在一个正方体的表面展开图上，分别写上“共同抗击疫情”六个字，并将这个展开图折叠成正方体，则在这个正方体中，和“同”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 共 B. 同 C. 疫 D. 情
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 数轴上，若A，B表示互为相反数的两个点，A在B的左边，并且这两点的距离为6，则A点所表示的数是______．
8. 某种花粉颗粒的直径大约是0.00003米，用科学记数法表示0.00003是______．
9. 分解因式：−1+𝑥2=______．
10. 观察下列算式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52…，请你猜测1+3+5+⋯+(2𝑛−1)=
． 11. 如图，已知AD是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8，则𝐵𝐷=______．
12. 如图是一个腰长为4cm，底边长为3cm的等腰三角形，现在要利用这个等腰三角形加工出一个边长比是1：2的平行四边形，使平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长是______．
13. 如图，AD是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵⏜=𝐶𝐷⏜，若∠𝐴𝑂𝐵=36°，则圆周角∠𝐵𝑃𝐶的度数是______
14. 已知𝑥1，𝑥2是方程𝑥2+3𝑥−4=0的两个根，那么：𝑥12+𝑥22= ．
15. 如图，将直角三角形ABC绕C点顺时针旋转90°到三角形𝐴′𝐵′𝐶的位置，已知斜边𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=3，M为𝐴′𝐵′的中点，则𝐴𝑀= ．
16. 如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，且∠𝐸𝐵𝐷=70°，则∠𝐴𝐸𝐵=______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. (1)计算；(13)−2−(−1)2016−√25+(𝜋−1)0
(2)化简：𝑚2−93𝑚2−6𝑚÷(1−1𝑚−2)
四、解答题（本大题共10小题，共81.0分）
18. 解不等式组：{𝑥−2(𝑥−1)<35𝑥−4<3𝑥+2，并将解集在数轴上表示出来．
19. 如图，AD是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，过点D作𝐷𝐸//𝐴𝐵，𝐷𝐹//𝐴𝐶，分别交AC、AB于点E和F．
(1)在图中画出线段DE和DF；
(2)连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？
20. 一个盒子中装有2个红球，1个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，小明和小凡准备用这些球做游戏，游戏规则如下：从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次摸到的球的颜色都是红色，小明胜；若两次摸到的球的颜色能配成紫色，则小凡胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
(1)根据图中信息求出𝑚=______，𝑛=______． (2)请把图中的条形统计图补充完整．
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物？
22. 在平面直角坐标系中，定义：直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛的关联直线为𝑦=𝑛𝑥+𝑚(𝑚≠0,𝑛≠0,𝑚≠𝑛).例如：直线𝑦=2𝑥−3的关联直线为𝑦=−3𝑥+2．
(1)如图1，对于直线𝑦=−𝑥+2．
①该直线的关联直线为______，该直线与其关联直线的交点坐标为______；
②点P是直线𝑦=−𝑥+2上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交直线𝑦=−𝑥+2的关联直线于点𝑄.设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为𝑑(>0)，求当d随t的增大而减小时，d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
(2)对于直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑎(𝑎≠0)．
直线𝑥=𝑎交直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑎于点M，交直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑎的关联直线于点N．
①设直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑎交y轴于点A，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值；
②设点M的纵坐标为b，点N的纵坐标为𝑐.当𝑐>𝑏时，直接写出a的取值范围．
23. 如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.已知旗杆与教学楼的距离𝐵𝐷=9𝑚，请你帮她求出旗杆的高度(结果保留根号)．
24. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过点𝐴(1,5)，𝐵(−1,9)，𝐶(0,8).求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．
25. 如图在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼接后的三角形是一个等腰三角形．
要求：要求在备用的图中分别画出四种与图例不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长．
26. (本小题满分14分)
如图，经过点𝐴(0,−4)的抛物线𝑦= 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与x轴相交于点𝐵(−2,0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线𝑦= 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐向上平移个单位长度、再向左平移𝑚(𝑚>0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△𝐴𝐵𝐶内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠𝑂𝑀𝐵+∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，求AM的长．
27. 如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，且∠𝐵= 60°.过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，𝐴𝐹⊥𝑙，垂足为F，𝐶𝐺⊥𝐴𝐷，垂足为G．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐶𝐺；
(2)若𝐴𝐹= 4，求图中阴影部分的面积．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：∵|−9|=9，
∴|−9|的算术平方根是：√9=3．
故选：C．
首先求出|−9|的值是多少，然后根据算术平方根的求法，求出|−9|的算术平方根是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出|−9|的值是多少．
2.答案：D
解析：试题分析：依据不等式的性质，因为求不等式的解集时，不等号的方向改变了，说明未知数的系数是负数，从而得到𝑎+1<0，解得a的解集．
因为不等式(𝑎+1)𝑥>𝑎+1的解集为𝑥<1，不等号的方向发生了改变，
所以𝑎+1<0，解得𝑎<−1．
3.答案：B
解析：解：𝐴.∵−3<−2，不在−1与−2之间，∴𝐴选项错误；
B.∵由于1<√2<2，则−2<−√2<−1，B选项正确；
C.∵0>−1，不在−1与−2之间，∴𝐶选项错误；
D.∵|−3|=3，∴|−3|>−1，不在−1与−2之间，∴𝐷选项错误；
故选：B．
根据各个数据与−1和−2的比较可以确定答案．
本题考查了估算有理数以及无理数的大小，也考查了算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解答此题的关键．
4.答案：A
解析：解：①由折线统计图可知：8时水位为1.0米，是最高的，正确；
②从图中可以看出，在这一天中所有的水位都在0点以上，所以这一天水位均高于警戒水位，正确；
③8时到12时水位在下降，而12时到16时水位保持不变，故本选项不正确；
④𝑃点表示12时水位为0.6米，又知以警戒水位为0点，则P点表示12时水位高于警戒水位0.6米，正确；
则不正确的个数1个； 故选A．
分析折线统计图表示每段时间中水位的高低，根据图形即可作出判断．
本题考查的是折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.答案：A
解析：解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故选：A．
利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.答案：C
解析：解：结合展开图可知，与“同”字所在面相对的面上的汉字是“疫”．
故选：C．
根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“同”字所在面相对的面上的汉字．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点．
7.答案：−3
解析：解：∵𝐴，B表示互为相反数的两个点
∴设表示点A的数为x，则表示点B的数为−𝑥
∵这两点的距离为6
∴|𝑥−(−𝑥)|=6
∴2|𝑥|=6
∴|𝑥|=3
∵𝐴在B的左边
∴𝑥<−𝑥
∴𝑥<0
