第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb 算 同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[试一试]
1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不相等的模 B．不共线
C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
答案：C
2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.
解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
答案：2
1．向量的中线公式
第四章 平面向量
第1讲 平面向量及其线性运算
1．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2014年新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( )
A.AD→ B.12AD→ C.BC→ D.12BC→
3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( )
A.12 B.13 C.14 D．1
4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
5．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝( )
A.23b＋13c B.53c－23b
C.23b－13c D.13b＋23c
6．(2013年广东珠海一模)如图X4-1-1所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝( )
图X4-1-1
A.FO→ B.OG→ C.OH→ D.EO→
7．(2014年福建)设点M为平行四边形ABCD对角线的交点，点O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝( )
A.OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→
8．向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线．其中所有正确结论的序号为________．
9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．
考向03 复数
【2022年全国甲卷】1.
若13iz
，则
1z
zz
（ ）
A. 13i
B.
13i
C. 13
i
33
D. 13
i
33
【答案】C
【解析】13i,(13i)(13i)134.zzz
13i13
i
1333z
zz
.故选 ：C
【2022年全国甲卷】2. 已知12zi
，且0zazb
，其中a，b为实数，则（ ）
A. 1,2ab
B. 1,2ab
C. 1,2ab
D. 1,2ab
【答案】A
【解析】12i(12i)(1)(22)izazbababa
由0zazb
,得10
220ab
a
,即1
2a
b
.故选:A
【2022年新高考1卷】3. 2. 若i(1)1z
，则zz
（ ）
A. 2B. 1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
由题设有
21i
1i
iiz
，故1+iz
，故
1i1i2zz
，故选：D
【2022年新高考2卷】4. 2. (22i)(12i)
（ ）
A. 24i
B. 24i
C. 62i
D. 62i
【答案】D
【解析】
22i12i244i2i62i
，故选：
D.【2022年浙江卷】2. 已知,,3i(i)iababR
（i
为虚数单位），则（ ）
A. 1,3ab
B. 1,3ab
C. 1,3ab
D. 1,3ab
【答案】B
【解析】3i1iab
，而,ab
为实数，故1,3ab
，故选：B.
【2022年北京卷】2. 若复数z满足i34iz
，则z
（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 25
【答案】B
【解析】
由题意有
34ii
34i
43i
iiiz
，故
22
3|54|z
．故选：B．
每年1题，稳得不得了，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，
目录
第一章 学好数学必备的几个能力和思想
第一节 数学的建模思想
第二节 函数与方程的思想
第三节 数形结合思想
第四节 特殊否定的思想
第五节 特殊到一般、有限到无限的归纳思想
第六节 正难则反、抽象到具体的转化思想
第七节 分类讨论与整合求解的思想
第八节 联想与类比的探讨思想
第九节 运算能力
第十节 构造与凑配的能力
第十一节 归类总结能力
第二章 函 数（函数是中学数学的基础和重点内容，尽管很少以独立的模块知识出现在解答题中，但是在高难度的题中，无处不渗透着函数的思想。缺少了函数思想，其它模块就是无血之肉，无源之水。
因而，我们不但将其作为一个专题模块，而且要细讲、深研究。）
第一节 函数的三要素------定义域
第二节 函数的三要素------对应法则
第三节 函数的三要素------值域
第四节 基本初等函数
第五节 函数的性质------函数的单调性
第六节 函数的性质------函数的奇、偶性
第七节 函数的性质------函数对称性
第八节 函数的性质------函数的周期性
第九节 函数图象及图象变换
第十节 常见特殊函数及其应用
第十一节 函数的零点及函数方程（既是高频高点，又是高考难点。）
第二章 三角函数与平面向量（这些是高考的重点内容，尽管难度不大，易错点还是不少的，同时，这里
面有很多技巧，有四两拨千斤的效果。）
第一节 三角函数的概念及三角变换
第二节 三角函数的图象及性质
第三节 解三角形
第四节 平面向量
第三章 不等式与线性规划
第一节 基本不等式的解法
第二节 均值不等式的应用
第三节 不等式的证明及应用
第四节 线性规划
第五节 线性规划的应用
第四章 数 列
第一节 数列的认识
第二节 等差、等比数列的通项公式、前n项和及性质
