高考数学一轮总复习 第四章 三角函数、平面向量与复数
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1 考点集训(二十六) 第26讲 平面向量的数量积及应用
1．已知a＝(1，－3)，b＝(4，6)，c＝(2，3)，则a·(b·c)等于
A．(26，－78) B．(－28，－42)
C．－52 D．－78
2．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝
A.π2 B．－π2 C.π4 D．－π4
3．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为
A．－23 B．23
C．43 D．63
4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
5．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为____________．
6．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是______________．
7．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1, 则AB的长为____________．
8．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值．
9．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
2
3 第26讲 平面向量的数量积及应用
【考点集训】
1．A 2.A 3.B 4.B 5.52 6.－98 7.12
8．【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin2θ＋π4＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
9．【解析】(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，
故a＋b与a－b垂直．
(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得
3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，
∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
