人教版九年级下册数学教案(含反思)--28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形

典案一教学设计课题第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人教学目标知识技能理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．数学思考结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经验．问题解决要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．情感态度运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学用数学的思想．教学重点利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．教学难点把实际问题转化为数学模型．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解直角三角形的主要依据是什么？2．解直角三角形主要有哪两种类型？1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.2．(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 k m的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少(地球半径约为6400 k m, π取3.142，结果取整数)?图28－2－37通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究交流新知1.解决问题：师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ︵的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数.2.仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)？仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，则AF＝(x－20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.例1主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力.【拓展提升】例2如图28－2－40，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测得点A的仰角为30°.已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40(10 3＋11.5)米例2主要是通过两次解直角三角形建立一元一次方程，通过解方程，求出相应的线段，从而解决求建筑物高的问题.【学习目标】1．知识技能(1)进一步掌握解直角三角形的方法；(2)比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．2．解决问题(1)通过学习懂得仰角、俯角的意义，学会把实际问题转化为数学模型，发展学生的抽象思维能力；(2)在研究有关仰角、俯角的问题的过程中，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想．3．数学思考通过解决与仰角、俯角有关的实际问题，发展学生的应用意识．4．情感态度(1)在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养生活中应用数学的意识；(2)通过一系列探究活动，培养与他人合作、交流的意识和探究精神．【学习重难点】1．重点：(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形；(2)能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．2．难点：(1)把实际问题转化为数学问题的能力的培养；(2)灵活应用解直角三角形的知识及仰角、俯角等知识解决实际问题．课前延伸【知识梳理】1．解直角三角形是指：__由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程__．2．解直角三角形主要依据什么？课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)如图28－2－44，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆33米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，求旗杆AB的高(精确到0.1米)．图28－2－44二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)例1如图28－2－45，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？图28－2－45 图28－2－46例2如图28－2－46, 在上海的黄浦江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄浦江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退340 m到点A测得塔尖D的仰角为30°.设塔底C与A，B在同一直线上，试求该塔的高度(结果保留根号)．三、反馈训练1．从1.5 m高的测量仪上，测得某建筑物顶端的仰角为30°，测量仪距建筑物60 m，则该建筑物的高大约为( B )A．34.65 m B．36.14 m C．28.28 m D．29.78 m2．如图28－2－47，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角a＝30°.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为42 .64 m，当时水位为＋2 .14 m，求观察所A 到船只B的水平距离BC＝________(精确到1 m)．图28－2－473．在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底D 测得点A的俯角β＝45°.已知塔高BD＝30米，求山高CD(结果保留根号)．图28－2－48课后提升如图28－2－49，测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度，在地面上一点B处测得楼顶A的仰角为30°，前进15米到点D，测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC 为15米，求天线AE的高度．图28－2－49。

第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时2 俯角、仰角问题【知识与技能】1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.【过程与方法】1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.多媒体课件.导入一:【复习提问】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)三边a,b,c有什么关系?(2)∠A,∠B有怎样的关系?(3)边与角之间有怎样的关系?2.解直角三角形应具备怎样的条件?【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.导入二:如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?【师生活动】学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.[设计意图]通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.[过渡语]刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?思路一师生合作探究:(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.(2)根据题意画出平面图形.(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?(如图②,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.【课件展示】解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形.∵cosα==≈0.9491,∴α≈18.36°.∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km).由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.思路二教师引导思考:(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)学生操作:画出平面示意图.(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解答同思路一.[设计意图]引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二【思考】平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?【归纳】视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?教师引导分析:(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图)(2)分析题意,已知条件有哪些?(3)你能直接求出AB的长吗?(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)(5)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长?(6)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长?【师生活动】教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解:如图,α=30°,β=60°,AD=120.∵tanα=,tanβ=,∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=40,CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120.∴BC=BD+CD=40+120=160≈277(m).因此,这栋楼高约为277m.[设计意图]学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.三、活动三:【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.【归纳】(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.[设计意图]通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.[知识拓展]仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.第1课时1.活动一2.活动二3.活动三一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是()A.12米B.8米C.24米D.24米2.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米3.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是()A.mB.mC.mD.4m4.一棵树因雪灾于A处折断,如图,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为米(答案保留根号).5.如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,则建筑物CD的高度为m.6.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)【能力提升】7.如图,小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为()A.9米B.28米C.(7+)米D.(14+2)米8.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为m(结果保留根号).9.如图,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18°,他向前走了20m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45°,已知小宇的眼睛距地面1.6m,则此时气球A距地面的高度约为(结果精确到1m).10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?结果保留整数,参考数据:sin32°≈,cos32°≈,tan32°≈【拓展探究】11.如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).【答案与解析】1.B解析:在Rt△ABC中,BC=24米,tan∠ACB=,∴AB=BC·tan30°=24×=8(米).故选B.2.C解析:由题意得OB=30米,tanα=,∴OA=OB tanα=30tanα(米).故选C.3.A解析:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE=5m,∴CD=AD tan30°=5×=(m),∴CE=CD+DE=CD+AB=m.故选A.4.(4+4)解析:在△ACB中,∠C=90°,∵∠ABC=45°,∴∠A=45°,∴∠ABC=∠A,∴AC=BC.∵BC=4,∴AC=4.由AC2+BC2=AB2，得AB==4,∴此树在未折断之前的高度为(4+4)米.5.12解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE是矩形.根据题意得∠ACB=β=60°,∠ADE=α=30°,BC=18m,∴DE=BC=18m,CD=BE.在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°=18(m).在Rt△ADE中,AE=DE·tan∠ADE=18×tan30°=6(m),∴DC=BE=AB-AE=18-6=12(m).6.解:如图,作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,∵∠ACH=30°,tan30°=,∴AH=CH·tan30°=9×=3(米).在Rt△CHB中,∵∠HCB=45°,tan45°=,∴BH=CH·tan45°=9米,∴旗杆顶点A离地面的高度为AH+BH+1=10+3（米）.7.D解析:如图,延长AD交BC的延长线于F点,作DE⊥CF于E点.DE=8sin30°=4,CE=8cos30°=4.∵测得1米杆的影长为2米，∴EF=2DE=8,∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4,∴电线杆AB的高度是(28+4)=14+2(米).故选D.8.(5+5)解析:作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中,BE=CD=5m,CE==5m.在Rt△ACE中,AE=CE·tan45°=5m,∴AB=BE+AE=5+5（m）.9.11m解析:如图,过点A作AD⊥BC于点D,交FG于点E.∵∠AGE=45°, ∴AE=GE.在Rt△AFE中,设AE长是x m,则tan∠AFE=,即tan18°=,解得x≈9.6.由题意知ED=FB=1.6,∴AD≈9.6+1.6=11.2≈11(m).10.解:(1)受影响.理由如下:如图,延长光线交CD于F,作FE⊥AB于E.在Rt△AEF中,tan∠AFE=tan32°==≈,解得AE≈=9,故可得FC=EB=20-9=10>5,即超市以上的居民住房采光要受影响.(2)要使采光不受影响,则EB=5米,AE=15米,tan32°=≈,解得EF≈24米,即要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距24米.11.解:如图,过点A作AH⊥CD,垂足为H.由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,∴DH=AB=1.5,AH=BD=6.在Rt△ACH中,tan∠CAH=,∴CH=AH·tan∠CAH,∴CH=6tan30°=6×=2.∵DH=1.5,∴CD=2+1.5.在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=,∴CE===4+(米).答:拉线CE的长为(4+)米.本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学设计,学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,充分调动学生参与课堂的积极性,让学生敢于提出问题、分析问题,使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展,提高了解决问题的能力,课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建模型的解决方法,很好地达到了本节课的教学目的.本节课是锐角三角函数的应用举例,学生对教材例1画出示意图,建立数学模型的理解较难,给学生思考、交流时间较少,造成学生认为本节课的学习较难,失去了学习兴趣,在以后对例1的教学中,教师多设计几个问题引导学生思考,给学生较长时间交流、计算,把理解的难度通过问题降低.另外,对基础较差的学生,对该数学的应用不是那么得心应手,不会合理找出边角关系,所以在以后教学中不宜多讲,多给学生时间思考与交流.。

的邻边的对边AA∠∠28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边AA∠=cos斜边的对边AA∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。

的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。

部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第2课时《利用仰俯角解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用仰俯角解直角三角形》是直角三角形相关知识的一部分。

这部分内容主要让学生了解并掌握仰俯角的概念，学会利用仰俯角解直角三角形的方法。

教材通过实例引入仰俯角的概念，然后引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。

教材内容丰富，既有理论知识，也有实践操作，能够激发学生的学习兴趣，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的相关知识，对解直角三角形有一定的了解。

但是，对于仰俯角的概念和利用仰俯角解直角三角形的方法可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察、思考、探究，让他们在实践中掌握这部分知识。

同时，学生已经具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力，可以通过引导和启发，让他们自主发现和总结利用仰俯角解直角三角形的方法。

三. 教学目标1.让学生了解并掌握仰俯角的概念。

2.引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。

3.培养学生的动手能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.仰俯角的概念。

2.利用仰俯角解直角三角形的方法。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

2.实践法：让学生动手操作，通过实际操作加深对知识的理解和掌握。

3.总结法：引导学生自主发现和总结，培养学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际的例子，以便引导学生观察和思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何利用仰俯角解直角三角形。

例如，可以提出一个关于建筑物高度的问题，让学生思考如何通过测量角度来求解建筑物的高度。

2.呈现（10分钟）讲解仰俯角的概念，并通过实例展示仰俯角的含义和作用。

的邻边的对边A A ∠∠ 28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。

28．2 解直角三角形及其应用人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。

《左传》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形．2．掌握解直角三角形的根据．3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba.3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝45，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4 3.3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4(3).【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tanα米．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2 巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D 两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，∴tan∠ADE＝AE DE，即tan65°＝AE15≈2.1，解得AE≈31.5米．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，∴tan∠BCE＝BE CE，即tan42°＝BE21≈0.9，解得BE≈18.9米．∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α. 2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶ 3.(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝BD AD ，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CD AD ，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m,i＝1∶1.6,i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为65米．2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°.∵tan∠CAD＝CD AD，∴AD＝CDtan 30°＝3C D.在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°.∵tan∠CBD＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶3，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°.∵AB的坡比为1∶3，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE ＝90°.∵AB ＝3米，∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3(米)， ∴BE ＝2AE ＝23米．∵∠C ＝∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形．∵AC ＝6米，∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米，∴BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米)．即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)⎩⎪⎨⎪⎧ 坡度与坡角⎩⎨⎧ 坡度的概念→通常写成比的形式坡角的概念→坡度越大，坡面就越陡方向角：指正北、正南方向线与目标方向线所形 成的角练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】 海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰（俯）角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页 练习 第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本 第78页 习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:教案(学案)的基本格式及要领一、 教学目标1、 知识与能力2、 过程与方法33、情感、态度与价值观 二、【教学重点、难点】1、本课教学内容的框架结构2、重点3 、难点：三、【道具使用】PPt 直尺三角板等，根据教材内容定。

四、【课堂类型】教师引导，学生自主学习。

28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为x m，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x的值即可．解：设塔底面中心为O，塔高x m，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则x－（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，CPPN＝tan30°，即x－1.5x－1.5＋41.5＝33，解得x＝833＋894.答：塔高为833＋894m.方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在t △ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC 的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB tan∠BAC＝30×33＝10错误!未定义书签。